Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1944

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Путь	(цикл),			Достаточные условия

содержащий		все		существования
вершины	графа	по	1.	Всякий	полный граф
							Есть гамильтонов, но
одному	разу,		является гамильтоновым.
называется			2.	Если	граф,	помимо	нет эйлерова цикла.
гамильтоновым.			простого цикла, содержит и
Граф, обладающий			другие ребра, то он также
гамильтоновым			является гамильтоновым.
циклом	(путем),		3.	Если граф имеет гамильнов
							Нет ни эйлерова, ни
называется			цикл, то он		может	иметь и
							гамильтонова цикла
гамильтоновым			другие гамильтоновы циклы

Операции над графами

Название

Обозначение

Определение

операции

Дополнение

x V V;x X

G (V, X)

G(V, X)

Объединение

G (V , X

) G

, X

)

G(V, X):V V1

V2,

графов

X X1

(V1 V2

)

Пересечение

G1(V1, X1) G2

(V2, X2)

G(V, X):V V1

V2,

графов

X X1

Сумма по

G (V , X

) G

, X

)

G(V, X):V V1

V2,

модулю

(V1 V2

)

X X1

Cпособы задания графов

Название

Способ задания

П р и м е р

V 1,2,3,4

x, y R "x y"

Аналити-

Бинарное отношение R на

ческий

множестве

V vi ,i 1,n

109

Матрица			a		a	...	a
смежности				11	12			1n			vi			1		2		3			4
графа			a21		a22 ...		a2n
			a21		a22 ...		a2n				1			0		1		1			1
											1			0		1		1			1
G(V, X)			...		... ...			...
G(V, X)			...		... ...			...			2			0		0		1			1
V v ,...,v											2			0		0		1			1
	n		an1		an2 ...		ann
			an1		an2 ...		ann
1				1,	если (v		,v		) X;		3			0		0		0			1
				1,	если (v		,v		) X;		3			0		0		0			1
		aij				i		j			4			0		0		0			0
		aij			если (v		,v		) X		4			0		0		0			0
				0,	если (v		,v		) X
						i		j

Матрица			a		a	...	a
инцидент-				11	12			1m
ности			a21		a22 ...		a2m
ности			a21		a22 ...		a2m						x1		x2		x3		x4		x5	x6

орграфа			...		... ...		...
орграфа			...		... ...		...				1		1		0		0		1		0	1
G(V, X)											1		1		0		0		1		0	1
			an1		an2 ...		anm
			an1		an2 ...		anm				2		-1		1		0		0		1	0
V v1,...,vn				1, если xj		исходит изvi;					2		-1		1		0		0		1	0
V v1,...,vn				1, если xj		исходит изvi;
X x1,...,xm											3		0		-1		1		0		0	-1
X x1,...,xm		aij		1,если xj заходит в vi						;
		aij			если xj						4	0			0		-1		-1	-1		0
				0,
				0,

				не инцидентна vi

110

Раздел 21. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Операции над высказываниями

Высказыванием Р называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно И или ложно Л.

П р и м е р. «2+3=5» – И; « Москва – столица Казахстана» – Л.

Название

Определение

Таблица

операции и

истинности

обозначение

Отрицание

Высказывание Р (или Р )

( )

истинно Р ложно

связка «не»

Конъюнкция

Р Q

Высказывание Р Q истинно

( или &)

истинны оба высказывания

связка «и»

Дизъюнкция

Р Q

Высказывание Р Q ложно

( )

связка

ложны оба высказывания

«или»

Импликация

Р Q

Высказывание Р Q ложно

( )

связка

Р истинно, а Q – ложно

«если …, то…»

Эквиваленция

Высказывание Р ~ Q истинно

Р ~ Q

(~ или )

связка

истинности высказываний Р и Q

«тогда и только

совпадают

тогда»

С помощью таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул. Формулы эквивалентны, если им соответствуют одинаковые таблицы истинности.

101

Булевы функции

Булева функция f(X1, X2,…,Xn) – n-местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.

Если логические высказывания могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 1 или 0. Для булевых функций справедливы таблицы истинности и основные равносильности алгебры высказываний.

Дополнительно

вводятся операции:

Х1 | Х2=Х1 Х2 –

штрих

Шеффера и Х1 Х2 =

стрелка Пирса.

Х1

Х2

X1 X2

Х1 | Х2

Х1 Х2

Основные законы математической логики

Название

Закон относительно

операции конъюнкции

операции дизъюнкции

Тавтология

х х х

Коммутативность

х у у х

Ассоциативность

(х у) z x (y z)

Дистрибутив-

x (y z) (x y) (x z)

х (у z) (x y) (x z)

ность

Законы де

х y x y

x y x y

Моргана

Законы

x (x y) x

поглощения

Операции с 0 и 1

х 1 х; х 0 0

х 1 1; х 0 х

Закон

дополнитель-

ности

Закон склеивания

(y x) (y

) y

(y x) (y

) y

Закон

x (x y) x y

ортогонализации

Закон

у х y

импликации

Инверсия

x x

102

П р и м е р. Доказать с помощью таблиц истинности справедливость формул де Моргана x y x y.

	x			y					x y
	x			y					x y		x y		x		y		x y
	0			0				0		1		1		1		1
	0			1				1		0		1		0		0
	1			0				1		0		0		1		0
	1			1				1		0		0		0		0
		Закон		справедлив, так как совпадают столбцы истинности для
формул					и				.
формул			x y		и	x	y		.

Формы представления булевых функций

х,если 1

Пусть

x0 x,

x1 x, 0,1 . х

– литера.

x, если

Совершенные формы

Формула

Совершенная конъюнктивная

нормальная форма (СКНФ)–

f (x1, x2

,...,xn )

конъюнкция конституент нуля

по всем наборам

i 1

( 1, 2,..., n)

на которых

f ( 1, 2,..., n) 0

Совершенная дизъюнктивная

нормальная форма (СДНФ) –

f (x1, x2

,...,xn )

дизъюнкция конституент

по всем наборам i 1

( 1, 2,..., n)

единицы

на которых

f ( 1, 2,..., n) 1

П р и м е р

f (x, y)

Элементарные

x y

конъюнкции

дизъюнкции

x0 y0

y1 x1 y0 x

x1 y

x0 y1

x1 y1 x0 y0

СДНФ:

f (x, y)

СКНФ:

f (x, y) (x

) (

y) (

103

Раздел 22. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события и действия над ними

Событие – явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий.

Событие называется достоверным ( ), если оно обязательно произойдет в результате данного опыта. Событие называется невозможным (Ø), если оно заведомо не произойдет в результате данного опыта. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте. В противном случае события называются

совместными. Полная группа событий ( ) – это совокупность единственно возможных событий испытания.

Действия над событиями

Название

Теоретико-

операции

Определение множественная трактовка операций

Сумма

Событие C состоит в наступлении

C A B

хотя бы одного из событий (или

или B, или A и B вместе)

Произве-

Событие С состоит в совместном

дение

наступлении событий ( A и

C A B

одновременно)

Разность	Событие С означает, что происходит
C A B событие		A,	но	не	происходит	С
	событие B					С
					A	B
						B

Противо-	Событие С происходит тогда и
положное	только тогда, когда не происходит		A
событие	событие A
событие	событие A	A

С = A
С = A

104

Вероятность события

1) Классическое определение вероятности: Р(А) m,

здесь m число случаев, благоприятствующих событию A; n общее число равновозможных и попарно несовместных случаев.

Следствия. 0 Р(А) 1; Р(Ø)=0; Р( ) 1, P A 1 P A .

2) Статистическое определение вероятности.

m – относительная частота события, где m число случаев

наступления события (частота); n общее число испытаний. Статистической вероятностью события A в данном испытании

называют число Р(А), около которого колеблется относительная частота события A при достаточно большом числе испытаний.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения

Теоремы умножения

1.Если A, B несовместные события,

1.Условная вероятность P (B):

тоP(A B) P(A) P(B)

вероятность события

B при

2. Если A, B совместные события, то

условии, что произошло событие

P(A B) P(A) P(B) P(AB)

3. Если A1,A2,...,An

образуют полную

P (B)

P(AB)

группу событий, то

P(A)

2. Если A, B – зависимые

P(A1) P(A2) ... P(An ) 1,

4. Если A1,A2,...,An – совместные

события, то

P(AB) P(A) PA (B) P(B) PB (A)

события, то

3. Если A, B – независимые

P(A1 ... An ) 1 P

... An

события, то P(AB) P(A) P(B)

1 P(

...

)

Следствия из теорем сложения и умножения

Формула полной вероятности

P(A) P(Hi ) PHi (A) P(H1) PH1 (A) ... P(Hn ) PHn (A),

i 1

где H1,H2,...,Hn

гипотезы

(попарно несовместные

события,

, Hi H j Ø i j).

образующие полную группу, т.е. Hi

i 1

Формула Байеса PA(Hi ) P(Hi ) PHi (A)

P(A)

105

Последовательность независимых испытаний

Pn(k) вероятность появления события A k раз в n независимых испытаниях

Точная формула

Локальная формула

Формула

(формула Бернулли)

Муавра–Лапласа

Пуассона

Условия применения формул

n невелико

n велико;

np 10

n велико;

np невелико

Формула

P (k)

x ,

npq

Р k Сk рk qn k,

где x 1

e 2 –

где P(A) p,

P (k)

функция Гаусса,

q 1 p,

где

значения которой

табулированы (прил. 1),

( x) (x),

k! n k !

npq

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0< p<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближённо равна

P(k1,k2) Ф(x ) Ф(x ),

	1			x		z2

здесь	Ф(x)			e	2

		2
			0

dz функция Лапласа, значения которой

табулированы (прил. 2), Ф( x) Ф(x); x k1 np, x k2 np. npq npq

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в схеме независимых испытаниях:

	m			n

P		p				0.
			2Ф		,
	n			pq

106

Формы закона распределения случайной величины

Случайная величина (СВ) – величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее неизвестное. Дискретная случайная величина (ДСВ) принимает конечное или счетное множество значений, непрерывная случайная величина (НСВ) принимает значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Закон распределения СВ – любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий.

СВ

Форма закона распределения СВ

Ряд распределения

Функция распределения

F x P X x , x .

…

Геометрическая

ДСВ

…

интерпретация

где pi P X xi ; pi 1

X<x

i 1

Плотность распределения

Свойства F(x)

вероятностей

1. F 0;

f (x) F (x)

2. F 1;

Свойства f(x):

3. 0 F x 1, x ;

1. Неотрицательность:

f x 0

4. F x – неубывающая

функция, т.е.

2.Условие нормировки: f x dx 1

x1, x2 : x1

x2 F x1 F x2

5. P(a x b) F(b) F(a)

График F(x) для НСВ

3. P(a x b) f (x)dx

F(x)

НСВ

4. Связь с функцией распределения:

F(x)

f (x)dx.

f(x)

График F(x) для ДСВ

F(x)

P(a<x<b)

F(x)

a b

107

Числовые характеристики случайной величины

Числовые

Дискретная

Непрерывная

характерис-

случайная величина

тики

Матема-

x f x dx,

MX xi pi,

тическое

i 1

где f x – функция

ожидание

где pi P X xi

плотности

DX M X MX 2 или DX MX2

MX 2.

Дисперсия

x2 f x dx

x dx

DX x2 p

x p

i i

i 1

Среднее

квадратичес-

кое откло-

нение

Свойства числовых характеристик

Математическое ожидание

Дисперсия

MC C,

где С – константа;

DC 0, где С – константа;

M CX CMX;

D CX С2DX ;

3. M X Y MX MY;

D X Y DX DY для

M X Y MX MY для

независимых случайных величин.

Моменты случайных величин

Моменты

ДСВ

НСВ

Начальный

k M(X k )

момент

k xik

f (x)dx

порядка k

Цент-

M(X MX)k ,A

– коэффициент асимметрии

ральный

момент

– коэффициент эксцесса («островершинности»)

порядка k

(xi MX)k pi

k (x MX)k f (x)dx

108

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021341.93 Кб9194.pdf
#
07.01.20212.25 Mб11940.pdf
#
07.01.20212.25 Mб51941.pdf
#
07.01.20212.25 Mб161942.pdf
#
07.01.20212.26 Mб421943.pdf
#
07.01.20212.26 Mб91944.pdf
#
07.01.20212.27 Mб51945.pdf
#
07.01.20212.27 Mб31946.pdf
#
07.01.20212.27 Mб21947.pdf
#
07.01.20212.27 Mб81948.pdf
#
07.01.20212.28 Mб91949.pdf