1944

Условие задачи

Решение

Вычислить

площадь фигуры,

Найдём

абсциссы

точек

ограниченной

следующими ли-

пересечения графиков данных функций.

ниями: y x2 4x , x y 4 0.

Для

этого решаем систему

уравнений

y

x2 4x,

Откуда

находим

Y

y x 4.

x1 4, x2 1.

3

1

64

125

(кв.ед.)

4

16 24

6

2

3

3

-4

1

X

-4

Найти длину дуги кривой

Так как x (t) 3(1 cost),

x 3(t sint),

0 t

y (t) 3sint , то

y 3(1 cost),

x 2 (t) y 2 (t)

9(1 cos t)2

9sin 2 t

3

6sin

t

.

6

2(1 cos t)

Циклоида

2

t

t

l 6

0

sin

dt 12cos

12(ед.)

2

2

0

Вычислить объём тела,

V

12

4 2

dx 16

12 dx

1

12

16

которое получается при вращении

3

3 x2

x

OX

x

3

вокруг оси ОХ криволинейной

=4 (куб.ед)

трапеции, ограниченной

гиперболой xy 4, прямыми

x 3, x 12 и осью абсцисс

Найти площадь поверхности

y 3x2

вращения вокруг оси ОХ дуги

1/ 2

3

1/ 2

кубической параболы y x3 при

SOX

2 x3

1 9x4 dx

(1 9x4)

2

27

1

0

0

0 x

125

61

(кв.ед.)

2

1

27 64

1728

Свойства

Формула

Аддитивность

по

( f (x, y) g(x, y))dxdy f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy

функции

D

D

D

Аддитивность

f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy,

по области

D

D1

D2

интегрирования

если область D D1 D2

Однородность

f (x, y)dxdy

f (x, y)dxdy

D

D

Теорема

М0 (х0, y0) D: f (x, y)dxdy f (x0 , y0 )SD ,

о среднем

D

где S – площадь D

Интегрирование

(x; y) D: f (x, y) g(x, y)

f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy

неравенств

D

D

Оценка

(x, y) D:m f (x, y) M mS f (x, y)dS MS

интеграла

D

Интеграл

f (x, y)dxdy

f (x, y)

dxdy

по

модулю

D

D

Приложения

Двойной интеграл

Тройной интеграл

Ix

y

2

(x, y)dxdy

Ixy

z2 (x, y, z)dxdydz

Моменты

V

Ixz

y2 (x, y, z)dxdydz

I y

D

инерции

x2 (x, y)dxdy

V

2

D

I yz

x

(x, y, z)dxdydz

V

M x y (x, y)dxdy

M xy

z (x, y, z)dxdydz

Статические

V

D

M xz y (x, y, z)dxdydz

моменты

M y x (x, y)dxdy

V

D

M yz x (x, y, z)dxdydz

V

Координаты

x

My

; y

Mx

xc

Myz

;

yc

M

xz

;

zc

Mxy

центра тяжести

c

m

c

m

D

D

mV

mV

mV

Формулы

П р и м е р

Пусть областью интегрирования V

является тело, ограниченное снизу

Вычислить (x z)dxdydz,

поверхностью

z z1(x, y),

сверху

–

V

поверхностью

z z2 (x, y),

причем

гдеобластьVограниченаплоскостями

x 0, y 0, z 1, x y z 2.

z1(x, y) и z2 (x, y) – непрерывные

функции

в

замкнутой

области

D,

Z

являющейся

проекцией

тела

на

плоскость

ОXY. Тогда

область V

–

2

правильная в направлении оси OZ.

x y z 2

Z

z2(x,y)

Y

z1(x,y)

1

1

Y

X

X

D

Р е ш е н и е

В декартовых координатах

Область V является правильной в

направлении оси ОZ.

f (x, y, z)dxdydz dxdy

z2(x,y)

f (x, y,z)dz

Y

V

D

z1(x,y)

1

x y 1

В цилиндрических координатах

D

f (x,y,z)dxdydz

1

X

V

f (rcos ,rsin ,z)rdrd dz

Ее проекция D на плоскость ОXY

V

является

правильной

в

z2

направлении оси OY.

rdrd f (r, ,z)dz.

D

z1

2 x y

В сферических координатах

(x z)dxdydz dxdy (x z)dz

М

D

1

1

1 x

2 x y

1

f (x, y,z)dxdydz

dx dy

(x z)dz

4

V

0

0

1

Определение и обозначение