Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1944

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Основные законы распределения вероятностей

Законы распределения дискретной случайной величины

Закон

Биномиальный

Распределение

Геометрическое

Пуассона

распределение

Pn (k) Cnk pk qn k ,

P (k)

e ,

P (k) qk 1 p,

Формула

где Сn

здесь np

здесь k 1,2,...

k!(n k)!

MX np ,

MX a

Числовые

Наивероятнейшее

MX ,

число k0

характерис-

, DX

наступлений

стики

события:

np q k0

np p

Законы распределения непрерывной случайной величины

Закон

Равномерный

Нормальный

Показательный

Обозна-

R a,b

N(a, )

–

чение

Функция

плот-

(x a)2

ности

x a,b ,

0, x

при

f x b a

f (x)

;

f (x)

при

x a,b

, x 0

x ,

где 0

− пара-

a , − параметры

метр закона распре-

закона распреде-

деления

ления

f (x)

b a

109

Окончание таблицы

Интег-

0, x a,

x a

x 0,

F(x) 0,5 Ф

F(x)

ральная

F(x)

x a

a x b,

1 e

, x 0.

функция

b a

F(x)

1, b x

F(x)

Ф(x)

e 2 dz

2 0

функция Лапласа,

значения которой

табулированы

(прил. 2)

Число-

a b

вые

MX a,

харак-

терис-

b a 2

тики

Вероят-

P( X )

ность

попа-

e xdx

b a

дания в

Вероятность того,

интер-

что абсолютная

e x

вал

величина отклонения

меньше

e x

положительного

числа :

X a

2Ф

Правило трех сигм

X a

3 0,997

Закон больших чисел

1) Неравенство Чебышева: P

X MX

2) Теорема Чебышева. Если

X1, X2,...,Xn

−

последовательность

попарно

независимых

случайных величин,

имеющих

дисперсии,

ограниченные одной и той же постоянной С

____

DXi C,

i 1,n , то

1 n

0 lim

MXi

n i 1

110

Раздел 23. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Выборки

X − некоторая случайная величина. Совокупность результатов n

измерений x1,x2,...,xn

случайной величины X

называют выборкой, а

случайную величину X − генеральной совокупностью.

Разобьем действительную ось на конечное число промежутков

1, 2,..., k . Подсчитаем число ni

− выборочных значений, лежащих

в промежутке i,

(1 i k). ni

n, где n − объем выборки.

i 1

Статистический ряд распределения

…

Графическое изображение

интерваль-

ного статистического

ряда

называют

гистограммой.

Эмпирическая функция распределения:

F (x)

, где nx

−

число выборочных

xi xi 1

значений, меньших x; n − объем выборки.

Статистические оценки параметров распределения

Точечные оценки основных параметров распределения

Выборочная точечная оценка

Сгруппированная выборка

…

Оцениваемый

Простая выборка

…

параметр

x1,x2,...,xn,

генеральной

−

число

выборочных

совокупности

где n − объем выборки

значений

признака

xi ,

n − объем выборки

i 1

101

Окончание таблицы

Генеральная

Средняя арифметическая

средняя или

1 n

1 k

математическое

x n

ожидание MX=a

n i 1

i i

Генеральная

Выборочная дисперсия S2

дисперсия 2

(математическое

ожидание a

n i 1

известно)

Генеральная

x 2

x 2ni

дисперсия 2

n i 1

Исправленная выборочная дисперсия

(математическое

ожидание

неизвестно)

n 1

Генеральное

Выборочное среднее квадратическое отклонение S

среднее

квадратическое

отклонение

Метод моментов нахождения точечных оценок параметров распределения

Идея метода – приравнивание теоретических моментов распределения соответствующим эмпирическим моментам, найденным по вы-

борке, т. е. k

k ,

k k . Имеем: 1

MX,

DX .

Предполагаемый

X ~ N a,

X ~ R a,b

Показательный

закон

распределения

закон

a b

MX x,

Метод моментов

(b a)2

DX S2

S2,

Оценки

параметров

b x 3S

102

Интервальные оценки

Доверительный интервал – это интервал, который с заданной

доверительной

вероятностью

(надежностью)

покрывает

оцениваемый параметр.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Оцениваемый

Допол-

Интервальная оценка параметра

нительные

параметр

условия

Генеральная

средняя

или

математическое

Ф t

ожидание

известно

где

− из равенства

по

таблице

MX=a

функции Лапласа (прил. 2)

x t

,x t

неизвестно

где

t находят по таблице

− распределения

Стьюдента (прил. 3) для заданных n и

Генеральная

n S

дисперсия 2

− квантили

известно

где 1

, 2

n 30

распределения с n степенями свободы (прил.

n 1 S

где

−

квантили

неизвестно

,n 1

2 -

распределения

степенями

свободы

(прил. 4)

Проверка статистических гипотез о законе распределения

генеральной совокупности

Статистическая гипотеза – это любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах.

103

Проверить статистическую гипотезу – значит проверить, согласуются ли выборочные данные с выдвинутой гипотезой. При этом возможны следующие ошибки:

1)ошибка первого рода – отвергнуть верную гипотезу;

2)ошибка второго рода – принять неверную гипотезу.

Уровень значимости – вероятность совершения ошибки первого рода. Чем меньше уровень значимости (обычно полагают равным 0,05; 0,01 и т.д.), тем меньше вероятность совершить ошибку первого рода.

Метод проверки гипотезы с помощью критерия Пирсона 2

1. Определить меру расхождения между теоретическим и выборочным распределениями по формуле 2 k npi* npi 2 ,

i 1

npi

где p*

– относительная частота;

− вероятность попадания

возможных значений случайной величины в промежуток i .

Для

вычисления

вероятностей

используют

следующие

формулы:

xi 1

xi xi 1

а) pi P xi

X xi 1 f xi

dx, где

;

б) в случае гипотезы о нормальном распределении

i 1

P x

X x

i 1

;

в) приближенная формула pi

f xi i .

где k −

2. Определить

число степеней

свободы r k l 1,

число интервалов; l

− число параметров распределения.

Например,

если

X ~ N a, ,

то

оценивают

два

параметра

(математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), следовательно, число степеней свободы r k 3.


3.	Выбрать	уровень значимости 1 .				По таблице
распределения 2		(прил.4) по уровню значимости и числу степеней
свободы r найти 2			,r .
4.	Если 2 2			,r , то гипотеза отвергается; если		2 2	,r, то с
вероятностью p 1 гипотеза 2					,r принимается.

104

ЛИТЕРАТУРА

1.Алиев И.И. Краткий справочник по высшей математике / И.И. Алиев. – М.: ИП РадиоСОФТ, 2006.

2.Алимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы / О.Е. Алимов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

3.Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986.

4.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2003.

5.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006.

6.Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю.И. Галушкина. – М.: Айрис-пресс, 2007.

7.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 2000.

8.Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974.

9.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. для втузов / Н.С. Пискунов. В 2-х т. Т. I: Интеграл-Пресс, 2002.

10.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. для втузов / Н.С. Пискунов. В 2-х т. Т. II: Интеграл-Пресс, 2002.

11.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005.

12.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2008.

13.Цикунов А.Е. Сборник математических формул / А.Е. Цикунов. – СПб.: Питер, 2006.

14.Цыпкин А.Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ / А.Г. Цыпкин, Г.Г. Цыпкин. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

101

Предметный указатель

Абсолютная величина числа 45 Абсолютная сходимость ряда 106 Аддитивность по области интегрирования 76,82,89

−по функции 76, 82,89, Алгебраическая форма комплексного числа 68 Алгебраическое дополнение 17 Антирефлексивность 115 Аппроксимация 101

Аргумент комплексного числа 67 Арифметическая прогрессия 9 Архимедова спираль 35 Асимптота вертикальная 57

−гиперболы 34

−горизонтальная 57

−наклонная 57

Астроида 35

Базис ортонормированный 25 Байеса формула 124 Бесконечно малые (большие) величины 51 ,52 Бинарные отношения 114

Биномиальное распределение 128 Булева функция 121

Векторное произведение 28 Вектор геометрический 25

–нормали

–– к прямой 31

–– к плоскости 37

–противоположный 25

–скорости 62

–ускорения 62 Векторы равные 25

–сонаправленные (противоположно направленные) 25

–коллинеарные 25

–компланарные 25

Векторная линия поля 93

– трубка 93

–функция скалярного аргумента 62 Вероятность классическая 124

−статистическая 124

−попадания в интервал 126

−условная 124

Вершины графа связные 126

– инцидентные 126 Взаимное расположение плоскостей

39 −прямой и плоскости 42

−прямых в пространстве 41

−прямых на плоскости 32 Вогнутая кривая 59 Возрастающая функция 58 Волновое уравнение 111 Выборки 130 Выборочная дисперсия 131

Вычисление объемов тел 16, 79

– площадей поверхностей 16, 79

– площадей фигур 14, 78, 79, 83 Выборочное среднее квадратическое отклонение 131 Выпуклая кривая 59 Высказывание 120

Вычисление определителей 17

Гамильтонов путь 118

– цикл 118

Гармонический ряд 106 Генеральная дисперсия 131

−совокупность 130

−среднее квадратическое отклонение 127 Геометрическая прогрессия 9 Геометрические приложения определенного интеграла 78, 79 Геометрический смысл производной 54

102

Геометрическое распределение 128 Гипербола 34 Гиперболоид двуполостный 43 −однополостный 43

Гиперболический параболоид 44

−тип уравнения 111

−цилиндр 44

Гипотеза статистическая 132 Гистограмма 130 Годограф 62 Градиент 92

Граничные условия 111, 112 Граф гамильтонов 1ё18

–дерево 117

–лес 117

–ориентированный 117

–планарный 116

–полный 117

–связный 117

–эйлеров 118

График функции, приемы построения 47, 50

Даламбера признак 105 Двойной интеграл 81 Двуполостный гиперболоид 43 Действия над матрицами 19

−над событиями 123

−с дробями 7

−со степенями и корнями 8 Декартова система координат н плоскости 29

– в пространстве 36 Деление отрезка в данном отношении 30 Десятичный логарифм 8

Действия над матрицами 19

– со степенями и корнями 8 Дивергенция 93 Диагональная матрица 18 Диаграмма Венна 113

Дизъюнкция для высказывания 120 Директриса параболы 34 Дисперсия выборочная 131

−генеральная 132

−исправленная выборочная 131

– случайной величины 127 Дифференциал приближенных вычислениях 56

−функции 56 Дифференцирование векторфункции 62

– логарифмическое 56

−неявной функции 56

−обратной функции 54

−показательно-степенной функции

−сложной функции 54

−степенного ряда 107 Дифференцируемая функция 56 Дифференциальные уравнения в Полных дифференциалах 97

– допускающие понижение порядка

– линейные однородные 97 Длина вектора 25

– дуги кривой 79 Доверительный интервал 132 Дополнение алгебраическое 17

– графа 118

– множества 113 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 105

−условия существования точки перегиба 60

– – точки экстремума 59 Достоверное событие 123 Дробь рациональная Неправильная 72

−правильная 72

−простейшая 72

Единичный вектор 25 Единичная матрица 18

Задача Дирихле для круга 112

102

–Коши для дифференциального уравнения 96 Закон больших чисел 129

Законы математической логики 121

–распределения

дискретной случайной величины

–– биномиальный 128

–– геометрическое распределение

128

–– распределение Пуассона 128

− непрерывной случайной величины

–– нормальный 129

–– равномерный 129

––показательный

(экспоненциальный) 129 Замечательные пределы 51 Знакопеременный ряд 104 Знакоположительный ряд 104 Знакочередующийся ряд Знаменатель геометрической прогрессии 9 Значение функции наибольшее 66

– наименьшее 66

Изоморфные графы 116 Импликация 120 Инвариантность формы дифференциала 56

–формулы интегрирования 70 Интеграл двойной 81

–кратный 83

–криволинейный I рода 85

–II рода 88

–– по замкнутому контуру 88

–неопределенный 70

−несобственный 77

−определенный 76

–поверхностный I рода 85

–II рода 88

–– по замкнутому контуру 88 − табличный 70

–тройной 81

Интегральный признак сходимости ряда 105

Интегрирование биноминальных выражений 75

−иррациональных функций 75

−непосредственное 71

−неравенств 76

−подстановкой 71

−по частям 71

−рациональных дробей 72

−тригонометрических функций 74 Интервал доверительный 132 Интерполяция 101 Инцидентность 116

Исправленная выборочная дисперсия

131

Исследование функций с помощью производной 57 Источник 117

Канонические уравнения гиперболы

−окружности 33

−параболы 34

−прямой 40

−эллипса 33 Кардиоида 35

Касательная к графику функции 54

– плосоксть к поверхности 65 Квадратное уравнение 7 Квадратный трехчлен 7 Коллинеарные векторы 25

– условие коллинеарности 28 Компланарные векторы 25

– условие компланарности 28 Комплексное число 67

– алгебраическая форма 67

– аргумент 67

– геометрическое изображение 76

– действия 68

– комплексно-сопряженное число 67

– модуль 68

– показательная форма 68

– тригонометрическая форма 68 Конус 43 Конъюнкция для высказывания 120

103

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021341.93 Кб9194.pdf
#
07.01.20212.25 Mб11940.pdf
#
07.01.20212.25 Mб51941.pdf
#
07.01.20212.25 Mб161942.pdf
#
07.01.20212.26 Mб421943.pdf
#
07.01.20212.26 Mб91944.pdf
#
07.01.20212.27 Mб51945.pdf
#
07.01.20212.27 Mб31946.pdf
#
07.01.20212.27 Mб21947.pdf
#
07.01.20212.27 Mб81948.pdf
#
07.01.20212.28 Mб91949.pdf