
1944
.pdf
Если x x0 − точка перегиба, то f x0 0.
Достаточные условия существования точки перегиба
|
Пусть x0 D( f ) – критическая точка II рода, |
т.е. в этой точке |
||||||||||||
f x0 0 или не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак производной |
|
Вид графика в |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
в окрестности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x) |
окрестности точки |
|
|
|
Вывод |
|
|||||||
|
точки x0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x0, f (x0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
Кривая вогнутая, точки |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
перегиба нет |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
Кривая выпуклая, точки |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
перегиба нет |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
x0, f (x0) − точка |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перегиба |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
x0, f (x0) − точка |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перегиба |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Схема исследования функции |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этапы исследования |
|
|
П р и м е р. y |
x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. Найти область определения |
|
D(y) , 1 1, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Исследовать функцию на |
|
|
y( x) |
x2 |
|
y(x) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
чётность, нечётность и |
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||
|
|
|
Функция общего вида, непериодиче- |
|
||||||||||
|
периодичность |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ская |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3. Найти точки пересечения |
|
|
x 0 y 0 |
|
|||||||||
|
графика с осями координат |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание таблицы |
31

|
lim |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 1 0 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 1 − вертикальная асимптота; |
||||||||||||||||||
|
lim |
x |
2 |
горизонтальных |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
4. Найти асимптоты графика |
x x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
асимптот нет; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
функции |
|
|
|
k |
|
lim |
|
|
|
x |
2 |
|
1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x(x 1) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||
|
|
b lim |
|
|
|
|
x |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
y x 1 − наклонная асимптота |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
x(x 2) |
|
, y |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
(x 1)2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. Найти интервалы возрастания и |
|
|
|
при x 2, |
x 0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
убывания, экстремумы функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
||||||||
|
|
|
|
-2 |
|
-1 |
0 |
|
|
|
f (x) |
||||||||
|
ymax y( 2) 4, |
ymin y(0) 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
, |
y 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
(x 1)3 |
||||||||||||||
6. Найти интервалы выпуклости и |
|
|
|
точек перегиба нет. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вогнутости, точки перегиба |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
||||
графика функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
||
|
( , 1) |
− интервал выпуклости, |
|||||||||||||||||
|
( 1, ) − интервал вогнутости |
y x 1
x 1
7. Построить график функции
32

Раздел 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Векторная функция скалярного аргумента
|
|
|
|
|
|
|
Основные понятия |
|
|
Определения и расчетные формулы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Способы задания пространственной |
Векторное уравнение кривой |
– |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривой |
r r(t) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параметрические уравнения кривой |
– |
||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
M |
|
r |
(t) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x(t), |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y(t), |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
r(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
(t t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z(t), |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где t – параметр, каждому значению |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которого соответствует определенная |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка М в пространстве |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Векторная функция скалярного |
|
|
|
|
r x(t)i y(t) j z(t)k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аргумента t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Годограф |
Линия |
|
, |
|
|
|
описываемая |
концом |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиуса-вектора r(t) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Производная вектора-функции |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
скалярного аргумента |
r |
|
(t) lim |
|
|
|
|
x |
(t)i |
y |
(t) j |
z (t)k |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Вектор скорости |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) характеризует направление и |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быстроту движения точки, направлен |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по касательной к кривой |
в точке М |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вектор ускорения |
r |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) r |
(t) |
|
|
(t)i y |
(t) j |
z (t)k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Репер Френе |
Система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
где 0 r (t) |
– |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательный вектор; |
b |
|
r (t) r (t) |
– |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
n0 0 b0 – |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
|
|
бинормали; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор главной нормали |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25

Числовые характеристики кривой
Характеристики |
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
Расчетные формулы |
||||||||||||||||||||||||||||||
Кривизна кривой |
Кривизна |
кривой |
– |
скорость |
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
отклонения |
|
кривой |
|
|
от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (f |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
касательной: |
k1 lim |
|
|
, |
|
|
|
|
|
(x)) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
– для плоской |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
где |
|
|
|
|
t 0 S |
|
|
|
|
|
кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
M |
– |
наименьший |
|
угол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между касательными к кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
M0 |
k1 |
|
|
|
– |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
в точках М и М0 , S − длина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
дуги ММ0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространственной |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Радиус кривизны, |
Радиус кривизны линии в |
|
|
|
|
Для плоской кривой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
центр кривизны, |
точке – величина, обратная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3/2 |
|
|
|
||||||||||||||||
эволюта и эвольвента |
кривизне кривой в |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
1 |
|
|
1 |
y |
|
|
|
|
|
– |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
рассматриваемой точке. |
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пусть в точке М0 |
проведена |
радиус кривизны, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
нормаль |
|
|
к |
|
|
кривой, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
направленная |
в |
|
|
сторону |
a x |
|
y |
(1 y |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
T |
вогнутости |
|
кривой. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
M0 |
отложить на ней отрезок М0С, |
b y |
1 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
R |
равный радиусу кривизны |
R, |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
то точка С – центр кривизны в |
– координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
С(a,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
точке М0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
центра кривизны |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
кривой |
|
|
– |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Эволюта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
множество |
|
центров |
|
|
ее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
кривизны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эвольвента |
|
кривой |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
кривая, для которой кривая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
является эволютой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Кручение кривой в точке – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Кручение |
скорость |
отклонения |
|
кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
от |
|
соприкасающейся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
плоскости: |
k2 lim |
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
M |
|
|
|
t 0 S |
|
|
|
|
k2 |
r (t),r |
(t),r |
|
(t) |
|||||||||||||||||||||||||
|
– наименьший угол между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
M0 |
соприкасающимися |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r (t) r |
(t) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
плоскостями, |
S – длина дуги |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26

Раздел 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частные производные функции и их нахождение
Понятия |
Формула |
Поясняющий рисунок |
Частные |
xz f (x x; y) |
|
|
|
|
|||||
f (x; y); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
прираще- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния по х и |
y z f (x; y y) |
Z |
|
|
|
|||||
по y |
f (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частная |
zx |
lim |
x z |
|
|
z f (x; y) |
||||
производ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|||||
ная по х |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частная |
|
|
|
y z |
|
z |
|
|||
z |
lim |
|
|
|
|
|||||
производ- |
|
|
|
|
x |
Y |
||||
|
|
|||||||||
y |
y 0 |
|
|
y0 |
||||||
ная по y |
|
|
|
y |
|
|
|
|||
Геометриче |
zx (x0; y0) tg , где |
x0 |
|
|
|
|||||
– угол между осью |
x0 x |
|
|
|
||||||
ский смысл |
ОХ и касательной, |
|
|
|
||||||
частных |
проведенной к кривой |
X |
|
|
|
|||||
производ- |
z f (x; y0 ) в точке N0 |
|
|
|
|
|||||
ных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
|
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x ( y) |
y x zyx ; |
Для функции z (x2 2xy |
): |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zxx |
zx=[y const]= |
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
2x 2y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частные |
|
y ( x) x y |
|
zxy; |
zy =[x const ]=0 2x |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
производ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
высших |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
zyy |
; |
zxx 2 0 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
порядков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zyy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
2 |
zxxy |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Если частные |
|
|
zxy zyx 2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
производные 2-го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
порядка непрерывны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
zxy zyx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Дифференцирование различных функций |
|
|
|
|
25
|
Способ задания |
|
Вид функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула для |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
функции |
|
|
|
|
дифференцирования |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Неявно |
заданная |
|
F(x, y,z) 0 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
Fx |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
Fy |
|
|||||||||||||||||
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
Fz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Сложная |
функция, |
|
|
|
|
|
Полная производная |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x x t , |
|
z f (x(t); y(t)) |
|
|
|
|
dz z dx |
|
|
|
z dy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
для которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
y y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dt |
|
|
|
y dt |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Сложная функция, |
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
x |
|
|
z |
|
|
y |
; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
для которой |
x x(u,v) |
|
z f (x(u;v), y(u;v)) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
u |
|
y |
|
|
u |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y y(u,v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
x |
v |
|
|
v |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Дифференциал и его приложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Полное приращение функцииz f (x; y): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z f (x x; y y) f (x; y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Функция z f (x; y) |
дифференцируема |
в |
точке |
(x; y), если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z A x B y x y, где ( x, y) 0 |
|
и ( x, y) 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при x 0, y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полный дифференциал функции – главная часть приращения, линейная относительно x и y: dz A x B y.
Для дифференцируемой функции в точке полный дифференциал:
dz zx (x; y) x zy (x; y) y, |
где |
z |
A, |
z |
B. |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|||||
Приложения |
|
|
Формула |
|
|
|
|
||||
дифференциала |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула для |
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y) x fy (x, y) y |
||||||||||
приближенных |
|||||||||||
вычислений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательной |
z f (x0; y0) fx (x0; y0 )(x x0 ) fy (x0; y0 )(y y0 ) |
||||||||||
плоскости |
|||||||||||
в точке(x0, y0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение нормали |
|
x x0 |
|
y y0 |
|
|
z z0 |
|
|||
в точке(x0, y0) |
|
fx (x0; y0 ) |
fy (x0; y0) |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
Исследование функции двух переменных на экстремум
26

Пусть N – точка локального экстремума (максимума или минимума), О (N) − -окрестность точки N .
N – точка локального максимума, |
N – точка локального минимума, |
||||||
если |
|
|
|
|
|
если |
|
(x;y) O (N) f (x;y) f (N) |
(x;y) O (N) f (x;y) f (N) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
Y |
|
Y |
X |
|
N |
|
|
|
X |
N |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Необходимое условие существования экстремума |
|||||
Если точка N – точка экстремума дифференцируемой функции |
|||||||
z f (x, y), то fx (N) 0; fy (N) 0 |
|
||||||
|
|
Достаточные условия существования экстремума |
|||||
Пусть |
|
fxx(N) |
fxy (N) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
fxy (N) |
fyy (N) |
|
|
|
|
Если 0 |
, fxx (N) 0 |
, то N – точка локального максимума. |
Если 0, fxx (N) 0 |
, то N – точка локального минимума. |
|
Если 0 |
, то N не является точкой локального экстремума. |
Если 0, то требуются дополнительные исследования в окрестности точки N
Замечание. Нахождение наибольшего М и наименьшего m
значений дифференцируемой в замкнутой области D функции z f (x; y):
1)найти критические точки функции, принадлежащие D и вычислить значения в них;
2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе D;
3)сравнить полученные значения и выбрать среди них М и m.
27

Раздел 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Понятие комплексного числа
Основные понятия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Определение |
z x iy |
– комплексное число, гдеx Rez – |
|||||||||||||||||||||||||
действительная часть z, y Im z – мнимая |
|||||||||||||||||||||||||||
комплексного |
|||||||||||||||||||||||||||
часть z, i |
|
– мнимая единица, |
|||||||||||||||||||||||||
числа |
|
||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющая условию: i2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
Равенство комплексных |
x1 iy1= x2 |
iy2 x1 |
|
x2; |
y1 y2. |
||||||||||||||||||||||
чисел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x iy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сопряженное число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z R |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y=Imz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Изображение |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
комплексного числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=Rez |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Модуль комплексного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
z |
|
|
x2 y2 |
; |
|
z |
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
arg z; |
|
|
arg z |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сos |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аргумент комплексного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
числа (главное значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
если |
|
x 0, |
|
|||||||||||
аргумента) |
|
arctg |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= arctg |
, |
|
|
если |
|
x 0, |
y 0, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
x 0, |
y 0 |
|||||||||
|
arctg |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Множество значений |
|
Arg z 2 k, |
|
k Z |
|
||||||||||||||||||||||
аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25

Формы записи и операции над комплексными числами
|
Формы |
|
Алгебраическая |
|
Тригонометрическая |
|
|
|
|
Показательная |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z1 x1 |
|
iy1 |
|
z |
1 |
|
r |
cos |
1 |
|
isin |
1 |
|
|
z |
1 |
r ei 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
x2 |
|
iy2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Операции |
|
|
|
|
z |
2 |
r |
2 |
|
isin |
2 |
|
|
|
z2 |
r2e |
i 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Сложение |
|
z1 z2 x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
||||||||||||||
|
|
i y |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Умножение |
|
z1z2 (x1x2 |
|
y1y2) |
|
z1z2 r1r2 (сos( 1 2) |
|
|
|
z |
|
|
z |
2 |
r r ei( 1 2 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i(x1y2 x2y1) |
|
|
|
|
isin( 1 |
2 )) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z1 |
|
|
z1 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
z2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x x |
2 |
y y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(cos( 1 2 ) |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Деление |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
ei( 1 |
2) |
|
|||||||||||||
|
x |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
r |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
isin( 1 2)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
x2 y1 x1y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x22 y22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Возведение |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn rn(cosn |
|
|
|
|
|
|
zn |
rnen |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
в степень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
isinn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
(cos |
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Извлечение |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
корня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0,1,2, ,n 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основная теорема алгебры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Формулировка теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Любое |
|
|
уравнение |
типа |
|
Решить уравнение x2 2x 5 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a0 a1x a2x2 |
... anxn 0 |
|
|
имеет |
|
Р е ш е н и е. D 4 4 5 16 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ровно n корней (действительных или |
|
Имеем |
|
|
|
|
комплексно-сопряженные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
комплексных). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
корни : |
x1,2 |
|
1 2i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иллюстративные примеры
26

Необходи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение примеров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
операция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложение |
|
|
|
2 3i 5 4i (2 5) i( 3 4) 3 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Умножение |
|
|
|
|
2 3i 5 4i = 10 8i 15i 12i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 23i 12 2 23i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Деление |
|
|
|
2 3i |
|
|
|
|
|
|
2 3i 5 4i |
|
|
10 8i 15i 12 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 4i 5 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 7i |
|
22 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
i 60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
1 2 |
|
|
|
2 |
2, |
arctg( |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в степень |
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
3i=2 cos |
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
3i |
260 |
cos 60 |
|
|
|
|
|
isin |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
260 cos40 isin 40 260 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решить уравнение z4 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 4 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
cos |
isin |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
1 |
cos isin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
При k 0 имеем z1 |
cos |
|
isin |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Извлечение |
|
при k 1 имеем z2 |
cos |
3 |
|
isin |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
i ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
корня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при k 2 имеем z3 |
cos |
5 |
|
isin |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
i ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
при k 3 |
|
имеем z4 cos |
7 |
isin |
7 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
i. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На комплексной плоскости корни расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность единичного радиуса.
27