Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1944

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
2.26 Mб
Скачать

Если x x0 − точка перегиба, то f x0 0.

Достаточные условия существования точки перегиба

 

Пусть x0 D( f ) – критическая точка II рода,

т.е. в этой точке

f x0 0 или не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знак производной

 

Вид графика в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в окрестности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

окрестности точки

 

 

 

Вывод

 

 

точки x0

 

 

 

 

 

 

 

x0, f (x0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

 

Кривая вогнутая, точки

 

 

 

 

 

 

 

 

перегиба нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривая выпуклая, точки

 

 

 

 

 

 

 

 

перегиба нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

x0, f (x0) − точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перегиба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

x0, f (x0) − точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перегиба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема исследования функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этапы исследования

 

 

П р и м е р. y

x2

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Найти область определения

 

D(y) , 1 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Исследовать функцию на

 

 

y( x)

x2

 

y(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

чётность, нечётность и

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

Функция общего вида, непериодиче-

 

 

периодичность

 

 

 

 

 

 

ская

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти точки пересечения

 

 

x 0 y 0

 

 

графика с осями координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончание таблицы

31

 

lim

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 0 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 − вертикальная асимптота;

 

lim

x

2

горизонтальных

 

 

 

4. Найти асимптоты графика

x x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

асимптот нет;

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

 

 

k

 

lim

 

 

 

x

2

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

b lim

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1

 

 

 

 

y x 1 − наклонная асимптота

 

 

 

 

y

 

 

 

x(x 2)

 

, y

 

0

 

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти интервалы возрастания и

 

 

 

при x 2,

x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

убывания, экстремумы функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

-

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

-2

 

-1

0

 

 

 

f (x)

 

ymax y( 2) 4,

ymin y(0) 0

 

 

 

 

y

2

 

 

,

y 0

 

 

 

 

 

(x 1)3

6. Найти интервалы выпуклости и

 

 

 

точек перегиба нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вогнутости, точки перегиба

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

графика функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

( , 1)

− интервал выпуклости,

 

( 1, ) − интервал вогнутости

y x 1

x 1

7. Построить график функции

32

Раздел 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Векторная функция скалярного аргумента

 

 

 

 

 

 

 

Основные понятия

 

 

Определения и расчетные формулы

 

Способы задания пространственной

Векторное уравнение кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой

r r(t)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параметрические уравнения кривой

 

Z

 

 

 

 

 

M

 

r

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y(t),

 

 

 

 

 

 

r(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

(t t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где t – параметр, каждому значению

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которого соответствует определенная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка М в пространстве

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторная функция скалярного

 

 

 

 

r x(t)i y(t) j z(t)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аргумента t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Годограф

Линия

 

,

 

 

 

описываемая

концом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

радиуса-вектора r(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная вектора-функции

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скалярного аргумента

r

 

(t) lim

 

 

 

 

x

(t)i

y

(t) j

z (t)k

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор скорости

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) характеризует направление и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

быстроту движения точки, направлен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по касательной к кривой

в точке М

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор ускорения

r

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) r

(t)

 

 

(t)i y

(t) j

z (t)k

 

 

 

 

 

 

 

 

Репер Френе

Система

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0,

 

 

 

,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

,

 

где 0 r (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

касательный вектор;

b

 

r (t) r (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

n0 0 b0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор

 

 

бинормали;

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор главной нормали

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

Числовые характеристики кривой

Характеристики

Определение

 

 

 

 

 

 

 

Расчетные формулы

Кривизна кривой

Кривизна

кривой

скорость

k1

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отклонения

 

кривой

 

 

от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (f

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

касательной:

k1 lim

 

 

,

 

 

 

 

 

(x))

 

 

 

 

 

для плоской

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

t 0 S

 

 

 

 

 

кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

наименьший

 

угол

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

между касательными к кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

k1

 

 

 

 

 

 

в точках М и М0 , S длина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дуги ММ0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространственной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Радиус кривизны,

Радиус кривизны линии в

 

 

 

 

Для плоской кривой

центр кривизны,

точке – величина, обратная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3/2

 

 

 

эволюта и эвольвента

кривизне кривой в

 

 

 

 

 

 

 

 

R

1

 

 

1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рассматриваемой точке.

 

 

 

 

 

k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в точке М0

проведена

радиус кривизны,

 

 

 

 

 

нормаль

 

 

к

 

 

кривой,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направленная

в

 

 

сторону

a x

 

y

(1 y

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

вогнутости

 

кривой.

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

отложить на ней отрезок М0С,

b y

1 y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

равный радиусу кривизны

R,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то точка С – центр кривизны в

– координаты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С(a,b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точке М0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

центра кривизны

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

Эволюта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

множество

 

центров

 

 

ее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривизны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эвольвента

 

кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривая, для которой кривая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является эволютой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кручение кривой в точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кручение

скорость

отклонения

 

кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от

 

соприкасающейся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости:

k2 lim

 

 

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

t 0 S

 

 

 

 

k2

r (t),r

(t),r

 

(t)

 

– наименьший угол между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

M0

соприкасающимися

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r (t) r

(t)

 

 

 

 

 

 

плоскостями,

S длина дуги

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

Раздел 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Частные производные функции и их нахождение

Понятия

Формула

Поясняющий рисунок

Частные

xz f (x x; y)

 

 

 

 

f (x; y);

 

 

 

 

 

 

 

 

прираще-

 

 

 

 

 

 

 

 

ния по х и

y z f (x; y y)

Z

 

 

 

по y

f (x; y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частная

zx

lim

x z

 

 

z f (x; y)

производ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

ная по х

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частная

 

 

 

y z

 

z

 

z

lim

 

 

 

 

производ-

 

 

 

 

x

Y

 

 

y

y 0

 

 

y0

ная по y

 

 

 

y

 

 

 

Геометриче

zx (x0; y0) tg , где

x0

 

 

 

– угол между осью

x0 x

 

 

 

ский смысл

ОХ и касательной,

 

 

 

частных

проведенной к кривой

X

 

 

 

производ-

z f (x; y0 ) в точке N0

 

 

 

 

ных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( y)

y x zyx ;

Для функции z (x2 2xy

):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2 z

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zxx

zx=[y const]=

;

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

x2

 

 

 

 

2x 2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные

 

y ( x) x y

 

zxy;

zy =[x const ]=0 2x

 

;

 

 

 

 

y2

 

 

 

производ-

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

высших

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

zyy

;

zxx 2 0 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zyy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

y

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

2

zxxy

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если частные

 

 

zxy zyx 2

 

y2

 

 

 

 

 

производные 2-го

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядка непрерывны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zxy zyx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцирование различных функций

 

 

 

 

25

 

Способ задания

 

Вид функции

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула для

 

 

функции

 

 

 

 

дифференцирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неявно

заданная

 

F(x, y,z) 0

 

z

 

 

 

 

 

 

Fx

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

Fy

 

 

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

Fz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложная

функция,

 

 

 

 

 

Полная производная

 

 

 

x x t ,

 

z f (x(t); y(t))

 

 

 

 

dz z dx

 

 

 

z dy

 

 

для которой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dt

 

 

 

y dt

 

 

Сложная функция,

 

 

 

 

 

z

 

 

z

 

x

 

 

z

 

 

y

;

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для которой

x x(u,v)

 

z f (x(u;v), y(u;v))

 

 

 

 

 

 

x

 

u

 

y

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

x

 

 

 

z

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y(u,v)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

x

v

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

Дифференциал и его приложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полное приращение функцииz f (x; y):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z f (x x; y y) f (x; y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция z f (x; y)

дифференцируема

в

точке

(x; y), если

z A x B y x y, где ( x, y) 0

 

и ( x, y) 0

при x 0, y 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полный дифференциал функции – главная часть приращения, линейная относительно x и y: dz A x B y.

Для дифференцируемой функции в точке полный дифференциал:

dz zx (x; y) x zy (x; y) y,

где

z

A,

z

B.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

Приложения

 

 

Формула

 

 

 

 

дифференциала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула для

f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y) x fy (x, y) y

приближенных

вычислений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

касательной

z f (x0; y0) fx (x0; y0 )(x x0 ) fy (x0; y0 )(y y0 )

плоскости

в точке(x0, y0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение нормали

 

x x0

 

y y0

 

 

z z0

 

в точке(x0, y0)

 

fx (x0; y0 )

fy (x0; y0)

 

 

 

 

 

 

1

Исследование функции двух переменных на экстремум

26

Пусть N – точка локального экстремума (максимума или минимума), О (N) − -окрестность точки N .

N – точка локального максимума,

N – точка локального минимума,

если

 

 

 

 

 

если

 

(x;y) O (N) f (x;y) f (N)

(x;y) O (N) f (x;y) f (N)

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

Y

 

Y

X

 

N

 

 

 

X

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимое условие существования экстремума

Если точка N – точка экстремума дифференцируемой функции

z f (x, y), то fx (N) 0; fy (N) 0

 

 

 

Достаточные условия существования экстремума

Пусть

 

fxx(N)

fxy (N)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

fxy (N)

fyy (N)

 

 

 

 

Если 0

, fxx (N) 0

, то N – точка локального максимума.

Если 0, fxx (N) 0

, то N – точка локального минимума.

Если 0

, то N не является точкой локального экстремума.

Если 0, то требуются дополнительные исследования в окрестности точки N

Замечание. Нахождение наибольшего М и наименьшего m

значений дифференцируемой в замкнутой области D функции z f (x; y):

1)найти критические точки функции, принадлежащие D и вычислить значения в них;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе D;

3)сравнить полученные значения и выбрать среди них М и m.

27

Раздел 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Понятие комплексного числа

Основные понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

 

 

 

 

 

 

 

Определение

z x iy

– комплексное число, гдеx Rez

действительная часть z, y Im z – мнимая

комплексного

часть z, i

 

– мнимая единица,

числа

 

удовлетворяющая условию: i2 1

 

Равенство комплексных

x1 iy1= x2

iy2 x1

 

x2;

y1 y2.

чисел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комплексно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

x iy

 

 

 

 

 

 

 

сопряженное число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=Imz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изображение

 

 

 

 

 

 

 

r

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексного числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=Rez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль комплексного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

z

 

 

x2 y2

;

 

z

 

0

 

 

 

 

 

 

 

числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arg z;

 

 

arg z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сos

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аргумент комплексного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числа (главное значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

если

 

x 0,

 

аргумента)

 

arctg

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= arctg

,

 

 

если

 

x 0,

y 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

x 0,

y 0

 

arctg

 

 

,

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество значений

 

Arg z 2 k,

 

k Z

 

аргумента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

Формы записи и операции над комплексными числами

 

Формы

 

Алгебраическая

 

Тригонометрическая

 

 

 

 

Показательная

 

 

 

 

 

 

z1 x1

 

iy1

 

z

1

 

r

cos

1

 

isin

1

 

 

z

1

r ei 1

 

 

 

 

 

 

z2

x2

 

iy2

 

 

 

 

 

 

1

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Операции

 

 

 

 

z

2

r

2

 

isin

2

 

 

 

z2

r2e

i 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение

 

z1 z2 x1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i y

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение

 

z1z2 (x1x2

 

y1y2)

 

z1z2 r1r2 (сos( 1 2)

 

 

 

z

 

 

z

2

r r ei( 1 2 )

 

 

 

 

i(x1y2 x2y1)

 

 

 

 

isin( 1

2 ))

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

z1

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

z2

z

2

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

2

y y

2

 

 

 

 

 

 

 

(cos( 1 2 )

 

 

 

 

z

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Деление

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z2

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

ei( 1

2)

 

 

x

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

isin( 1 2))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

i

x2 y1 x1y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x22 y22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn rn(cosn

 

 

 

 

 

 

zn

rnen

 

 

 

в степень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

isinn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

(cos

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Извлечение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0,1,2, ,n 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основная теорема алгебры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулировка теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

Любое

 

 

уравнение

типа

 

Решить уравнение x2 2x 5 0.

 

 

a0 a1x a2x2

... anxn 0

 

 

имеет

 

Р е ш е н и е. D 4 4 5 16 0.

ровно n корней (действительных или

 

Имеем

 

 

 

 

комплексно-сопряженные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексных).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корни :

x1,2

 

1 2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иллюстративные примеры

26

Необходи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение примеров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

операция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение

 

 

 

2 3i 5 4i (2 5) i( 3 4) 3 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение

 

 

 

 

2 3i 5 4i = 10 8i 15i 12i2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 23i 12 2 23i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Деление

 

 

 

2 3i

 

 

 

 

 

 

2 3i 5 4i

 

 

10 8i 15i 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 4i 5 4i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 4i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22 7i

 

22

 

 

 

 

7

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

i 60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

,

r

 

 

1 2

 

 

 

2

2,

arctg(

 

3

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Возведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в степень

 

 

 

 

 

 

z 1

 

3i=2 cos

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3i

260

cos 60

 

 

 

 

 

isin

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

260 cos40 isin 40 260

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить уравнение z4 1 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

 

 

 

z 4

 

4

 

4

 

 

 

cos

isin

.

z

1

cos isin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k 0 имеем z1

cos

 

isin

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Извлечение

 

при k 1 имеем z2

cos

3

 

isin

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

i ;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при k 2 имеем z3

cos

5

 

isin

5

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

i ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

при k 3

 

имеем z4 cos

7

isin

7

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На комплексной плоскости корни расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность единичного радиуса.

27

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]