Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1944

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
2.26 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число

А

есть

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предел

 

 

функции

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A lim f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x x0

f (x)

 

в

точке

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 (

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 :

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

f(x) A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x0 x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

lim

f (x)(A

lim

f (x))

 

 

левый

 

 

(правый)

предел

 

 

 

 

 

x x0 0

 

 

 

 

 

x x0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 :

функции

 

f (x)

в

 

точке

x0

 

0

( ) 0

x0 x x0 (x0 x x0 )

 

f (x) A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правила вычисления пределов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операции над пределами

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечательные пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(cf (x)) c lim

f (x), где с=сonst

 

 

 

Первый замечательный предел:

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin x

 

lim

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim( f (x) g(x)) lim

f (x) lim g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

x 0

x

 

 

 

 

 

 

x 0 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim ( f (x)g(x)) lim f (x) lim g(x)

Второй замечательный предел:

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

x x0

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e (1 форма);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

lim

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(1 x)x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x x0

 

 

, где

lim g(x) 0

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

g(x)

lim

g(x)

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e (2 форма).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) бесконечно

малая

функция

 

в

 

 

точке

x x0 ,

если

 

lim

(x) 0;

g(x) бесконечно большая функция в точке x x0 , если

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

g(x) ( ). Тогда

 

 

g(x)

(

),

 

 

(x) (

0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виды определенностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неопределенностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

1 0; 1 ; с ; с 0; 0 0 0;

 

 

0; ;0 ; ;

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0; 0 0; ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ;00; 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) и

(x) эквивалентные

 

 

бесконечно малые

 

( ~ ) при

x x0 lim 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные

эквивалентности

при

x 0:

 

 

sinx ~ x;

tgx ~ x;

arcsinx ~ x; arctgx ~ x; ax 1~ xlna; ln(1 x) ~ x;

1 x 1~ x .

 

 

 

 

 

 

Неоп-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид функции

f (x)

реде-

 

 

 

 

 

 

Рекомендации

 

 

 

 

лен-

 

к раскрытию неопределенностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn

 

 

ность

Разделить

числитель и

знаменатель на

f (x)

 

 

 

 

 

 

высшую степень х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, если

 

 

n m;

 

 

 

 

a0

a1x ... an xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b0

b1 x ... bm xm

Pn(x) an , если n m;

 

 

 

 

 

x Q

 

 

(x)

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если n m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

lim

a

 

a

x ... a

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 b

0

b x ... b

m

xm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сократить дробь на разность (x x0 )

 

 

 

 

 

 

 

f (x) содержит ирра-

 

1-й случай. Умножить и разделить

циональности:

 

 

функцию на сопряженное иррациональное

1-й случай:

 

 

0 ,

выражение

 

u1(x)

u2(x) и восполь-

f (x)

u1(x)

u2(x) ;

зоваться формулой (а b)(a b) a2 b2.

2-й случай:

 

 

0

2-й случай. Умножить и разделить функцию

 

 

 

f (x) 3

u1(x) 3 u2(x)

 

на неполный квадрат разности (суммы) и

 

 

 

 

 

 

 

воспользоваться

формулами

сокращен-

f (x)

 

 

 

 

 

ного умножения

(a b)(a2

ab b2) a3 b3

содержит

тригоно-

0

Воспользоваться

первым замечательным

метрические

функции и

пределом или эквивалентностями

 

0

 

обратные к ним функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

содержит

разность

 

Привести дроби к общему знаменателю

алгебраических дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Убрать один из множителей в

 

f (x) содержит произве-

 

 

дение

бесконечно малой

0

знаменатель как обратную величину:

функции

на

бесконечно

0

 

 

 

или 0

0

 

0

 

большую функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/0

 

 

 

 

1/

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) g(x) (x)

 

Воспользоваться одной из форм второго

показательно-степенная

1

замечательного предела

 

00

Воспользоваться основным логариф-

функция

 

0

мическим тождеством В eln B

 

 

 

 

 

Непрерывность функции

 

 

 

Первое определение.

Функция

y f (x)

непрерывна в точке x0 ,

если

lim

f (x): lim f (x) f (x0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция y f (x)

непрерывна в точке

x0 слева (справа), если

lim

f (x) f (x

0

)

lim

f (x) f (x

0

)

).

 

 

 

 

x x

 

 

 

(x x

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерий непрерывности. Функция y f (x) непрерывна в точке

x0 lim

f (x) f (x0)

lim f (x).

 

 

 

 

 

x x0 0

 

 

 

 

 

x x0 0

 

 

 

 

 

 

 

Второе определение.

Функция

y f (x)

непрерывна в точке x0 ,

если lim y lim ( f (x x) f (x)) 0.

 

 

 

 

x 0

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Типы разрывов в точке х0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1род

 

 

 

 

 

 

2 род

 

Устранимый

 

 

 

 

Неустранимый

Бесконечный

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

Y

Асимптота

 

 

A

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

X

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

X

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (x) A,

x x0

однако А f (x0 ). В частности, функция может быть не определена в точке х0

 

lim

f (x) A,

По крайней мере, один

 

x x0 0

из односторонних пре-

 

lim

f (x) B,

делов

в точке x x0

x x0 0

 

 

 

 

 

A B.

 

A B

 

( lim

f (x)) не сущест-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 0

 

величина скачка

 

вует или бесконечен

функции

 

 

 

 

 

 

 

33

Всякая элементарная функция (т.е. составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, деления, умножения и операции взятия функции от функции) непрерывна в каждой точке, в которой она определена

34

Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Понятие производной

 

y x0 lim

y

 

lim

f (x0 x) f (x0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x 0 x

 

x 0

 

y

 

 

 

 

 

 

y x0 f (x0

0)

lim

 

правая производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 0 x

 

 

 

 

 

 

 

y x0 f (x0

0)

lim

 

 

y

левая производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 0 x

 

 

 

 

 

 

Критерий производной:

y (x0 ) A y (x0 ) y (x0 ) A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический

 

 

 

смысл

 

 

 

 

производной:

y x0 tg .

 

 

y0 y

y f (x)

 

y y0

y x0 x x0 − уравнение

 

 

 

 

касательной

к графику

функции

 

x

 

 

y f x в точке M x0, y0 .

производ-

 

x0

 

 

 

Механический

смысл

 

 

 

 

ной:

 

 

 

 

v t ,

 

 

где

 

 

 

 

 

 

s

t

v t a t ,

s t −пройденный путь; v t − скорость; a t − ускорение.

Основные правила дифференцирования

1)С 0, С const ;

2)u v u v , u x , v x − дифференцируемые функции;

 

 

 

 

 

 

3) u v

u v u v , C u

C u ;

4)

u

 

u v u v

;

 

 

v2

 

v

 

 

 

5) дифференцирование сложной функции: если y f u , где

ux , то yx fu ux ;

6)дифференцирование обратной функции: xy 1 .

П р и м е р. y ln x3 3x2 .

 

 

 

yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3x

2

6x

 

y lnu, u x3 3x2 y (lnu)u ux

 

x3

3x2

 

 

.

u

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 3x2

25

Таблица производных

 

x

n

 

nx

n 1

,

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

u

n

 

nu

n 1

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax ax lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

au

au lna u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eu u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosu u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinu u

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 u u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 u u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsinu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctgu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctgu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

loga x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

loga u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

xlna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ulna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnu

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch x

 

 

 

 

 

chu u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sh u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

 

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

shx

 

 

 

 

 

shu u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

ch u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

thu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

th x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch

2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцирование различных функций

26

 

Способ

 

Вид

 

 

Формула для дифференцирования

 

 

 

задания

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

 

 

 

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неявный

 

F x, y 0

 

 

y

Fx x, y

 

 

 

 

 

 

 

 

Fy x, y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметричес-

 

x x t ,

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

t

, y

 

 

 

 

x

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt

 

 

 

 

 

кие уравнения

 

y y t

 

x

 

 

xt

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательно-

 

 

 

 

Логарифмическая производная:

 

 

 

степенная

 

 

v(x)

 

 

 

 

v(x)

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция

 

y u(x)

 

 

ln y lnu

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

v(x)lnu(x)

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциал функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y f (x)

 

Приращение функции y f x :

 

 

 

 

 

 

y f (x x) f (x; y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

dy

 

 

Функция y f x

дифференцируема

 

y0

 

 

в точке х,

если

 

y A x x , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

( x) 0

при x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциал

функции –

главная

 

x0

 

 

 

 

часть приращения: dy A x

f

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx.

 

При x 0, y dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x x f x f x x – формула

для приближённых вычислений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства дифференциала

u

 

 

 

 

 

 

du v u dv

 

 

d(c) 0; d u v du dv; d u v du v u dv; d

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

инвариантность формы дифференциала: если y f ( (x)), u (x)– промежуточный аргумент, то dy yxdx yuuxdx yudu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р. d(cosx2) cosх2 x dx sin(x2)dx2 sinudu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правило Лопиталя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

f x

 

 

0

,

 

lim

f x

 

, если lim

 

f x

существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a g x

 

 

x a g x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a g x

 

П р и м е р.

lim

x2

1

 

0

lim

2x

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x3

 

 

 

0 x 1 3x2

 

 

 

Исследование функций и построение графиков

27

Исследование графика функции на наличие асимптот

Название

Уравнение

П р и м е р

 

 

Вертикальная асимптота

 

y

1

 

 

 

Y

x x0,

 

(x 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1

 

 

 

где точка х = х0

 

 

 

 

 

x 2 0 (x 2)2

 

 

 

точка бесконечного

x 2

вертикальная

 

разрыва

асимптота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оx0 X

Наклонная асимптота

x

2

y

 

Y

x 1

 

 

 

 

 

k lim

 

 

 

x

1,

 

 

 

y kx b,

 

 

 

 

 

 

 

y kx b

x x 1

 

 

 

 

где k lim

f x

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

,

b lim

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1

 

 

 

 

b lim f x kx

 

 

1

 

 

 

 

 

 

О

X

x

 

 

lim

 

 

0 y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1

 

 

 

 

 

 

 

наклонная асимптота

 

Горизонтальная

 

у arctgx

 

 

 

lim arctgx

 

 

 

асимптота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y A,

 

lim arctgx

 

 

Y

f x

 

 

где А lim

x

 

 

2

A

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( k 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

односторонние

 

 

 

 

 

горизонтальные

 

О

 

 

 

асимптоты

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование функции на монотонность

28

y f (x)

y2

y1

y1

y f (x)

y2

 

 

 

x1

x2

x1 x2

 

y f x возрастающая функ-

y f x убывающая функция

ция на (a,b), если x ,x

2

(a,b) и

на (a,b), если x1,x2 (a,b) и

 

 

 

 

1

 

x1 x2 f x1 f x2 .

x x

2

f x f x

2

.

 

 

1

1

 

 

 

 

x (a,b): f x 0, то f x

x (a,b): f x 0, то f x

возрастает на (a,b).

 

 

убывает на (a,b).

Исследование функции на экстремум

Y

Y

 

 

X

О a

x0 b

О

X

a

x0

b

x0 − точка локального

x0 − точка локального

максимума, если

минимума, если

f x f x0 x a,b .

f x f x0 x a,b .

Необходимое условие существования экстремума

Если x x0 − точка локального экстремума, то в этой точке производная функции либо равна нулю ( f x0 0), либо не существует.

Достаточные условия существования экстремума

29

Пусть

x0 D( f ) –

критическая точка I

рода, т.е. в этой точке

 

или не существует.

 

 

 

f x0 0

 

 

 

 

 

 

 

Вид графика в

 

 

 

Знак производной f (x) в

 

 

 

 

окрестности точки x0

 

окрестности точки

 

Вывод

 

 

 

 

 

x0, f (x0)

 

 

 

x x0

 

x x0

 

 

 

 

+

 

 

 

 

x x0 − точка

 

 

 

 

 

 

 

максимума

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

x x0 − точка

 

 

 

 

 

 

 

минимума

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

x x0 − не является

 

 

 

 

 

точкой экстремума,

 

 

 

 

 

 

 

функция возрастает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 − не является

 

 

 

 

 

точкой экстремума,

 

 

 

 

 

 

 

функция убывает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование кривой на вогнутость, выпуклость и точки перегиба

Поясняющий рисунок

Определение

Выпуклая кривая расположена ниже любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка

Вогнутая кривая расположена выше любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка

Точка перегиба отделяет участок выпуклости от вогнутости

Необходимое условие существования точки перегиба

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]