1944

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

u v u v , C u

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Предел функции

Число

есть

y f (x)

предел

функции

A lim f(x)

x x0

f (x)

точке

0 (

x x0 :

x x0

f(x) A

x0 x0 x0

lim

f (x)(A

lim

f (x))

–

левый

(правый)

предел

x x0 0

x x0 :

функции

f (x)

точке

( ) 0

x0 x x0 (x0 x x0 )

f (x) A

Правила вычисления пределов

Операции над пределами

Замечательные пределы

lim(cf (x)) c lim

f (x), где с=сonst

Первый замечательный предел:

x x0

lim

sin x

lim

lim( f (x) g(x)) lim

f (x) lim g(x)

x x0

x 0

x 0 sin x

lim ( f (x)g(x)) lim f (x) lim g(x)

Второй замечательный предел:

x x0

e (1 форма);

f (x)

lim

f (x)

lim(1 x)x

lim

x x0

, где

lim g(x) 0

x 0

x x0

g(x)

lim

g(x)

x x0

e (2 форма).

x x0

lim

(x) – бесконечно

малая

функция

точке

x x0 ,

если

lim

(x) 0;

g(x) – бесконечно большая функция в точке x x0 , если

x x0

lim

g(x) ( ). Тогда

g(x)

(

(x) (

0).

(x)

g(x)

x x0

Виды определенностей

Виды

неопределенностей

1 0; 1 ; с ; с 0; 0 0 0;

0; ;0 ; ;

0 0; 0 0; ;

1 ;00; 0

(x) и

(x) – эквивалентные

бесконечно малые

( ~ ) при

x x0 lim 1.

x x0

Основные

эквивалентности

при

x 0:

sinx ~ x;

tgx ~ x;

arcsinx ~ x; arctgx ~ x; ax 1~ xlna; ln(1 x) ~ x;

1 x 1~ x .

Неоп-

Вид функции

f (x)

реде-

Рекомендации

лен-

к раскрытию неопределенностей

ность

Разделить

числитель и

знаменатель на

f (x)

высшую степень х.

0, если

n m;

a1x ... an xn

lim

b1 x ... bm xm

Pn(x) an , если n m;

x Q

(x)

, если n m

lim

x ... a

x x0 b

b x ... b

Сократить дробь на разность (x x0 )

f (x) содержит ирра-

1-й случай. Умножить и разделить

циональности:

функцию на сопряженное иррациональное

1-й случай:

0 ,

выражение

u1(x)

u2(x) и восполь-

f (x)

u1(x)

u2(x) ;

зоваться формулой (а b)(a b) a2 b2.

2-й случай:

2-й случай. Умножить и разделить функцию

f (x) 3

u1(x) 3 u2(x)

на неполный квадрат разности (суммы) и

воспользоваться

формулами

сокращен-

f (x)

ного умножения

(a b)(a2

ab b2) a3 b3

содержит

тригоно-

Воспользоваться

первым замечательным

метрические

функции и

пределом или эквивалентностями

обратные к ним функции

f (x)

содержит

разность

Привести дроби к общему знаменателю

алгебраических дробей

Убрать один из множителей в

f (x) содержит произве-

дение

бесконечно малой

знаменатель как обратную величину:

функции

на

бесконечно

или 0

большую функцию

1/0

f (x) g(x) (x) –		Воспользоваться одной из форм второго
показательно-степенная	1	замечательного предела
		замечательного предела
	00	Воспользоваться основным логариф-
функция	00	Воспользоваться основным логариф-
	0	мическим тождеством В eln B

Непрерывность функции

Первое определение.

Функция

y f (x)

непрерывна в точке x0 ,

если

lim

f (x): lim f (x) f (x0 ).

x x

x x0

Функция y f (x)

непрерывна в точке

x0 слева (справа), если

lim

f (x) f (x

)

lim

f (x) f (x

)

x x

(x x

0 0

Критерий непрерывности. Функция y f (x) непрерывна в точке

x0 lim

f (x) f (x0)

lim f (x).

x x0 0

Второе определение.

Функция

y f (x)

непрерывна в точке x0 ,

если lim y lim ( f (x x) f (x)) 0.

x 0

Типы разрывов в точке х0

1род

2 род

Устранимый

Неустранимый

Бесконечный

Асимптота

lim f (x) A,

x x0

однако А f (x0 ). В частности, функция может быть не определена в точке х0

	lim	f (x) A,			По крайней мере, один
	x x0 0				из односторонних пре-
	lim	f (x) B,			делов	в точке x x0
x x0 0
A B.			A B	–	( lim	f (x)) не сущест-

					x x0 0
величина скачка
					вует или бесконечен
функции

Всякая элементарная функция (т.е. составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, деления, умножения и операции взятия функции от функции) непрерывна в каждой точке, в которой она определена

Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Понятие производной

y x0 lim

lim

f (x0 x) f (x0)

x 0 x

x 0

y x0 f (x0

lim

– правая производная

x 0 0 x

y x0 f (x0

lim

– левая производная

x 0 0 x

Критерий производной:

y (x0 ) A y (x0 ) y (x0 ) A.

Геометрический

смысл

производной:

y x0 tg .

y0 y

y f (x)

y y0

y x0 x x0 − уравнение

касательной

к графику

функции

y f x в точке M x0, y0 .

производ-

Механический

смысл

ной:

v t ,

где

v t a t ,

s t −пройденный путь; v t − скорость; a t − ускорение.

Основные правила дифференцирования

1)С 0, С const ;

2)u v u v , u x , v x − дифференцируемые функции;

5) дифференцирование сложной функции: если y f u , где

ux , то yx fu ux ;

6)дифференцирование обратной функции: xy 1 .

П р и м е р. y ln x3 3x2 .			yx
П р и м е р. y ln x3 3x2 .
	1			3x	2	6x
y lnu, u x3 3x2 y (lnu)u ux	1	x3	3x2	3x		6x	.
y lnu, u x3 3x2 y (lnu)u ux	u	x3	3x2				.
	u			x3 3x2

Таблица производных

n 1

ax ax lna

au lna u

eu u

ex ex

cos x

cosu u

sin x

sinu

sin x

sinu u

cosx

cosu

tgx

tgu

cos2 x

cos2 u u

ctgx

ctgu

sin2 x

sin2 u u

arcsinx

arcsinu

1 x2

1 u2

arccosx

1 x2

1 u2

arctgx

arctgu

1 x2

1 u2

arcctgx

arcctgu

1 x2

1 u2

loga x

loga u

xlna

ulna

ln x

lnu

ex e x

sh x

ch x

chu u

sh u

ex e x

ch x

shx

shu u

ch u

sh x

thu

th x

ch x

Дифференцирование различных функций

Способ

Вид

Формула для дифференцирования

задания

функции

Неявный

F x, y 0

Fx x, y

Fy x, y

Параметричес-

x x t ,

, y

кие уравнения

y y t

Показательно-

Логарифмическая производная:

степенная

v(x)

функция

y u(x)

ln y lnu

(x)

v(x)lnu(x)

Дифференциал функции

y f (x)

Приращение функции y f x :

y f (x x) f (x; y).

Функция y f x

дифференцируема

в точке х,

если

y A x x , где

( x) 0

при x 0.

Дифференциал

функции –

главная

часть приращения: dy A x

x dx.

При x 0, y dy

f x x f x f x x – формула

для приближённых вычислений.

Свойства дифференциала

du v u dv

d(c) 0; d u v du dv; d u v du v u dv; d

;

инвариантность формы дифференциала: если y f ( (x)), u (x)– промежуточный аргумент, то dy yxdx yuuxdx yudu.

П р и м е р. d(cosx2) cosх2 x dx sin(x2)dx2 sinudu.

Правило Лопиталя

lim

f x

lim

f x

, если lim

f x

существует.

x a g x

П р и м е р.

lim

x 1 x3

0 x 1 3x2

Исследование функций и построение графиков

Исследование графика функции на наличие асимптот

Название	Уравнение	П р и м е р
Вертикальная асимптота		y	1
Y	x x0,	y		(x 2)2
Y				(x 2)2
		lim	1
	где точка х = х0	lim
	где точка х = х0	x 2 0 (x 2)2
	точка бесконечного	x 2	вертикальная
	разрыва	асимптота
		асимптота

Оx0 X

Наклонная асимптота	x	2
y	x
Y	x 1

k lim

y kx b,

y kx b

x x 1

где k lim

f x

b lim

x x 1

b lim f x kx

lim

0 y x

x x 1

наклонная асимптота

	Горизонтальная			у arctgx
	Горизонтальная			lim arctgx
	асимптота

				x	2
				x	2
		y A,		lim arctgx
Y		y A,	f x	lim arctgx
Y		где А lim	f x	x		2
A		x		y	−
		x
		( k 0 )
				2
				2
				односторонние
				горизонтальные
О				асимптоты
О		X
		X

Исследование функции на монотонность

y f (x)

y1	y1	y f (x)
y1	y2
	y2

x1	x2
x1 x2

y f x − возрастающая функ-							y f x – убывающая функция
ция на (a,b), если x ,x					2	(a,b) и	на (a,b), если x1,x2 (a,b) и
				1	2		x1 x2 f x1 f x2 .
x x	2	f x f x	2	.			x1 x2 f x1 f x2 .
1	2	1	2
x (a,b): f x 0, то f x
x (a,b): f x 0, то f x							x (a,b): f x 0, то f x
возрастает на (a,b).							убывает на (a,b).

Исследование функции на экстремум

		X
О a	x0 b	О

x0 − точка локального	x0 − точка локального
максимума, если	минимума, если
f x f x0 x a,b .	f x f x0 x a,b .

Необходимое условие существования экстремума

Если x x0 − точка локального экстремума, то в этой точке производная функции либо равна нулю ( f x0 0), либо не существует.

Достаточные условия существования экстремума

Пусть		x0 D( f ) –	критическая точка I		рода, т.е. в этой точке
	или не существует.
f x0 0	или не существует.
				Вид графика в
Знак производной f (x) в				Вид графика в
окрестности точки x0				окрестности точки		Вывод
				x0, f (x0)
x x0		x x0		x0, f (x0)
+		−				x x0 − точка
						максимума

−		+				x x0 − точка
						минимума

+		+				x x0 − не является
+		+				точкой экстремума,
						функция возрастает

−		−				x x0 − не является
−		−				точкой экстремума,
						функция убывает

Исследование кривой на вогнутость, выпуклость и точки перегиба

Поясняющий рисунок

Определение

Выпуклая кривая расположена ниже любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка

Вогнутая кривая расположена выше любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка

Точка перегиба отделяет участок выпуклости от вогнутости

Необходимое условие существования точки перегиба

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021341.93 Кб13194.pdf
#
07.01.20212.25 Mб21940.pdf
#
07.01.20212.25 Mб71941.pdf
#
07.01.20212.25 Mб241942.pdf
#
07.01.20212.26 Mб661943.pdf
#
07.01.20212.26 Mб141944.pdf
#
07.01.20212.27 Mб91945.pdf
#
07.01.20212.27 Mб91946.pdf
#
07.01.20212.27 Mб41947.pdf
#
07.01.20212.27 Mб201948.pdf
#
07.01.20212.28 Mб181949.pdf