1944

Общее

Ax By C 0,

n

где n(A,B) − нормаль

уравнение

прямой

к прямой, A2 B2 0

Уравнение

x

y

прямой

«в отрезках»

1

b

a

b

y kx b,

k tg

коэффициентом

Уравнение

прямой,

x x1

y y1

проходящей

x2 x1

y2 y1

через точки

Нормальное

xcos ysin p 0

p

уравнение

прямой

Взаимное расположение прямых

Условия расположения прямых по способу

Расположение прямых

задания

y k1x b1

A1x B1y C1 0

Параллельность

y k2x b2

A2x B2 y C2 0

A1 B1 ;

A2

B2

k1 k2

если прямые

совпадают, то

A1 B1

С1

A2

B2

С2

Перпендикулярность

k1 k2 1

A1 A2 B1B2 0

Пересечение

tg A1B2 A2B1

k2 k1

A1A2 B1B2

tg

n1 n2

1 k1k2

или соs

n1 n2

Нахождение общих точек

y k1x b1;

A1x B2y C1

0;

прямых

0

y k2x b2

A2x B2y C2

Расстояние от точки M0 x0, y0 до прямой Ax By C 0:

_______

M0

d прn M0M M

d

d Ax0 By0

C

A2 B2

Определение

Рисунок

Уравнение

кривой

Эллипс – гео-

Каноническое уравнение:

метрическое

Y

x2

y2

1,

место

точек

b

a

2

b

2

плоскости,

для

M

a – боль-

где а2 с2

b2;

каждой

из

ко-

a

шая полуось, b – малая

торых

сумма

расстояний

до

F2

с F1

X

полуось.

Уравнение эллипса со

двух

фиксиро-

смещенным центром

ванных

точек

С(x0, y0 ):

(фокусов)

F1,

F (c,0),

F ( c,0) –

x x

0

2

y y

0

2

F

есть вели-

1

2

1

2

фокусы; c – половина

a2

b2

чина

постоян-

расстояния между

c

a2

b2

ная

(равная

–

2a),

большая

фокусами;

a

a

чем

расстояние

M − произвольная точка

эксцентриситет эллипса,

между

фоку-

эллипса, тогда

характеризующий степень

F M

F M

2a 2c;

сами

сжатия кривой, 0 1

1

2

С(0,0) – центр эллипса

Параметрические

уравнения

эллипса

с

центром С (0,0):

x acost,

0 t 2

y bsint,

Окружность

Каноническое уравнение:

− частный

Y

x2 y2 R2 , С(0,0).

случай эллипса

Уравнение

окружности

(a b)

R

y0

со

смещенным

центром

С(x0, y0 ):

x x

2

y y

0

2

R2

0

O

x0

X

Уравнение окружности в

полярных координатах:

С(x0 , y0 )– центр

1) С(0,0) r R,

2) С(R,0) r 2Rcos ;

окружности, R – радиус

3) С(0,R) r 2Rsin .

окружности

Параметрические

уравнения

окружности

с

центром

x Rcost,

0 t 2

С(0,0):

Rsint,

y

Гипербола –

Каноническое

геометричес-

уравнение:

x

2

y

2

1,

кое

место

то-

b

M(x, y)

a2

b2

чек плоскости,

где с2 а2

b2; a –

для каждой из

F2

a

F1

которых

абсо-

действительная полуось

лютная

вели-

c

полуось, b – мнимая

чина

разности

полуось.

расстояний

до

Каноническое уравне-

двух

фиксиро-

F (c,0), F ( c,0) – фокусы;

ние сопряженной гипер-

ванных

точек

1

2

болы (изображена на рис.

(фокусов)

F ,

c – половина

расстояния

штриховой линией):

1

между

фокусами;

M −

2

2

F2

есть

вели-

y

x

1

произвольная точка

эллипса,

2

2

чина

постоян-

тогда

b

a

Уравнение гиперболы с

ная

(равная

F1M

F2M

2a 2c

центром в точке С(x0 , y0 ):

2a), меньшая,

чем расстояние

x x0 2

y y0 2

1

между фоку-

a2

b2

сами

Эксцентриситет

гиперболы:

c

a2 b

2

1

a

a

Уравнения

асимптот

гиперболы: y

b

x

a

Парабола

–

Если F(

p

;0), то

M(x, y)

геометричес-

2

кое

место

то-

каноническое уравнение

чек плоскости,

A

O F

параболы:

y2 2px;

для каждой из

уравнение директрисы

которых

рас-

p

стояние

до

параболы: x

точки (фокуса)

р

2

F

равно

рас-

AF

p – параметр параболы,

Если F(0;

), то

стоянию

до

F(

p

;0)

– фокус, тогда

2

некоторой

каноническое уравнение

фиксирован-

2

параболы:

x2 2py ;

MF

MN

,

ной

прямой –

уравнение директрисы

директрисы

AN – директриса

параболы:

x

p

a

В ПРОСТРАНСТВЕ

прba b

Системы координат в пространстве

Z

O −

начало

коор-

динат;

M x,y,z

OX

− ось абсцисс;

z

OY

− ось ординат;

O

y

Y

OZ

−

ось

x

аппликат;

x,y,z − коор-

X

динаты точки M

Цилиндрическая система координат

Z

M r, ,z

r − длина радиуса-

вектора

проекции

x rcos ,

z

точки

M

на

Y

плоскость

XOY ;

O

y rsin ,

r

− угол, образован-

z z

ный

радиус-век-

r 0, 0 2 , z R

X

тором

M

проекции

точки

с

осью

OX ;

z

−

аппликата точки M ; r, ,z − координаты точки M

Сферическая система координат

Z

M r, ,

O − начало координат;

r

r − длина радиуса-

x rcos sin ,

z

вектора точки M ; −

Y

угол,

образованный

O

y rsin sin ,

радиус-вектором

z rcos

проекции

точки

M с

X

осью OX ; −

угол

r 0, 0 2 , 0

отклонения

радиуса-

вектора

____

от оси

OM

OZ ; r, , − координаты точки M

Способ задания

Вид уравнения

Уравнение плоскости, про-

A x x0 B y y0 C z z0 0

ходящей

через

точку

M0 x0,y0,z0 ,

перпендику-

N A,B,C

лярно вектору N A,B,C .