
1944
.pdfОсновные понятия
|
a11x1 |
a12x2 |
... a1n xn |
b1, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a22x2 |
... a2nxn |
b2 , |
|
|
|
||||||||||
|
a21x1 |
|
|
|
|||||||||||||||
Общий вид |
............................................. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
a |
|
x |
|
... a |
|
|
x |
|
|
b |
|
, |
|
|
||
|
a |
m1 |
m2 |
2 |
mn |
n |
|
m |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
где aij − коэффициенты системы; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
b1,b2 ,...,bm − свободные члены; х1,х2,...,хn |
||||||||||||||||||
|
– неизвестные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a |
|
|
a |
... |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
Матрица системы |
|
|
|
a21 |
|
|
a22 ... |
|
a2n |
|
|
|
|
||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
... |
|
|
... ... |
|
... |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
am1 |
|
|
amn |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A X B, |
где |
X |
x2 |
|
− |
матрица- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛАУ в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
столбец |
из |
неизвестных |
|
xi . |
|
B |
b2 |
|
− |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bm |
|
|
|
|
матрица-столбец из свободных членов bi |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____ |
|
|
|
|
|
Совокупность чисел xi |
i |
, i 1,n , |
|
|
||||||||||||||
|
которые обращают все уравнения системы |
||||||||||||||||||
Решение СЛАУ |
в тождества. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Каждое решение СЛАУ – частное |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
решение. Совокупность всех частных |
|
|
||||||||||||||||
|
решений – общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разновидности СЛАУ
20
|
|
|
Признак |
|
|
|
|
Название |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
|
|
|
|
|||||||||||||
По |
|
Совместная |
|
|
Имеет хотя бы одно решение. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Несовместная |
|
Не имеет решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
количеству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Определенная |
|
Имеет одно решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
решений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Неопределенная |
|
Имеет бесконечно много решений |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Однородная |
|
|
В=0 (все bi 0). Всегда совместна, |
так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||
По виду |
|
|
|
|
|
|
|
нулевое |
|
|
|
|
(тривиальное) |
|
|
|
|
|
решение (т.е. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
|
... xn 0) |
|
является решением |
|||||||||||||||||||||||||||||||
правой части |
|
|
|
|
|
|
|
однородной системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Неоднородная |
|
В 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вырожденная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 ... |
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
По значению |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
a21 |
a22 ... |
|
a2n |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
А |
|
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 ... |
|
ann |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
случая m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Невырожденная |
|
|
А |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная матрица и ее нахождение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A 1 − обратная матрица к A a |
|
, если A A 1 |
A 1 A E . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
n,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Этапы решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если A |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
, то |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
определитель матрицы. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
a22 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
A |
|
0, то A 1 |
|
не существует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
=a11 a22 |
a12 |
a21 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
~ |
|
Составить |
матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
где |
Aij |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
a22 |
|
a21 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
A Aij , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
алгебраические |
дополнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
a12 |
|
|
a11 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
элементов aij |
матрицы A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
T |
= |
|
a |
22 |
|
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AT |
A |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Транспонировать A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
Записать обратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
~ |
T |
|
1 |
|
|
|
|
a22 |
a12 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
~ T |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
a11a22 a12a21 a21 |
a11 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методы решения СЛАУ
21

|
|
|
|
Метод решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение невырожденной СЛАУ |
|
|
|
|
|
x 2y 3z 6, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
по формулам Крамера (m=n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
4x 5y 6z 9, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
, |
x |
2 |
|
|
, ...,x |
n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
7x 8y 6. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где – определитель СЛАУ 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
6 |
27, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
i |
− определитель, полученный из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
определителя системы заменой i-го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
столбца столбцом свободных членов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
9 |
5 |
6 |
|
|
54, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
4 |
9 |
|
|
6 |
|
27, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
4 |
5 |
|
9 |
54, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
54 |
2, y |
27 |
1, z |
54 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|||||
Решение невырожденной СЛАУ |
|
|
|
|
|
x 2y 3z 6, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
матричным способом (m=n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
AX B |
X A 1 B |
|
|
|
|
|
4x 5y 6z 9, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 8y 6. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 4 5 |
6 , B 9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
48 |
24 |
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
21 |
6 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
16/9 |
8/9 |
|
1/9 |
6 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
14/9 |
|
|
|
|
|
|
|
2/9 |
9 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/9 |
2/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1/9 6 |
|
|
|
Окончание таблицы |
Метод решения |
П р и м е р |
Решение СЛАУ методом Гаусса
22

(метод последовательного исключения неизвестных) (m т)
Расширенную матрицу системы
(матрица, составленная из коэффициентов системы с добавлением столбца свободных
|
|
|
a |
a |
... |
a |
b |
|
|||
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
1 |
|
членов) |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
b2 |
||||
|
A |
|
|
... |
... ... |
... |
|
||||
|
|
|
... |
|
|||||||
|
|
|
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
mn |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
с помощью элементарных преобразований, проводимых только над строками, приводят к ступенчатому виду
|
а ... |
а |
... |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
11 |
1k2 |
|
1kr |
|
1n |
1 |
|
|
|
0 ... |
|
... |
|
... |
|
|
|
|
a2k2 |
a2kr |
a2n |
b2 |
||||||
... ... ... ... ... |
... ... |
... |
|
||||||
|
0 ... |
0 |
... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
||||||||
arkr |
arn |
br |
|||||||
|
0 ... |
0 |
... |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
br 1 |
||||||||
... ... ... ... ... |
... ... |
... |
|
||||||
|
0 ... |
0 |
... |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
bm |
После выполнения элементарных преобразований можно получить эквивалентную матрицу следующего типа:
Система совместна и
0
определенна (имеет единственное решение).
Система совместна и неопределенна
0(имеет множество решений).
|
|
|
Система |
|
|
|
несовместна |
0 |
|
1 |
(решений нет) |
0= |
|
|
x 2y 3z 6,
4x 5y 6z 9,
|
7x 8y 6. |
|
|||||
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
6 |
||
А |
4 5 6 |
9 ~ |
|||||
|
|
|
7 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
6 |
||||
1 |
|
2 |
3 |
|
6 |
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
~ 0 |
|
|
15 ~ |
||||
|
|
6 |
21 |
|
|
||
0 |
|
48 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
6 |
|
|
~ |
|
|
1 |
2 |
|
5 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
9 |
|
18 |
|
|
|
|
|
Получена СЛАУ вида
0
Эквивалентная СЛАУ:
x 2y 3z 6 |
x 2 |
|
|
y 2z 5 |
y 1 |
9z 18 |
|
z 2 |
|
|
|
Ответ: x 2; y 1; z 2
Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение
Пусть А – квадратная матрица порядка n.
23
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
a |
|
. |
||||
|
|
|
|
A |
a21 |
a22 ... |
a2n |
ij |
||||||||
|
|
|
|
|
|
... ... |
... |
|
|
n,n |
||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
an3 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим уравнение АХ Х , где Х – неизвестный числовой |
||||||||||||||||
вектор высотой n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение АХ Х эквивалентно уравнению А E X 0. |
||||||||||||||||
Данное матричное уравнение соответствует однородной системе |
||||||||||||||||
уравнений, |
|
которая имеет |
ненулевые |
решения, если |
|
А Е |
|
0. |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
Уравнение |
|
А Е |
|
0 |
называется характеристическим уравнением |
|||||||||||
|
|
матрицы А.
Значения , при которых уравнение имеет нетривиальные решения (Х 0), называют собственными значениями матрицы А.
Решения Х уравнения при таких – собственные векторы матрицы.
|
Этапы решения |
|
|
|
П р и м е р |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Записать |
харак- |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
теристическое |
урав- |
|
А |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
нение |
матрицы |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
А Е |
|
0 |
|
|
|
А Е |
|
|
|
3 |
2 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
«Раскрыв» оп- |
2 4 5 0 |
|
, получаем |
5, |
|
|
1 |
|||||||||||
ределитель, |
|
полу- |
|
2 |
|||||||||||||||
чить n собственных |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
значений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найти |
|
собст- |
Подпространство |
|
|
|
|
собственных |
|
векторов, |
||||||||
венные векторы, со- |
соответствующих |
|
|
|
5, |
есть |
множество |
||||||||||||
ответствующие соб- |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
решений системы уравнений А Е Х 0: |
|||||||||||||||||||
ственным значениям |
2х1 2х2 |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
из векторного урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
нения А Е Х 0 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4х1 4х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
L1 ( 1,1) , |
|
R. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Для 2 1 подпространство собственных |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
векторов L2 (1,2) |
|
|
|
|
|
|
|
24

Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
|
|
|
|
|
Основные понятия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическое |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изображение |
||||
____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вектор AB (а) − направленный прямолинейный |
|
|
|
|
В |
||||||||||||||||||||||||||
отрезок, |
A − начало вектора, |
B − конец вектора. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
а |
|||||||||||||||||||||||||||||
____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
BA (–а) − вектор, противоположный к вектору |
|
A |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
____ |
____ |
____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
AB (а). |
AB BA (a a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а и b – коллинеарные векторы ( а││b), если они лежат |
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
на одной прямой или на параллельных прямых. |
|
а |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Коллинеарные векторы |
могут |
быть |
сонаправленными |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(a b) или противоположно направленными (а b) |
|
a b |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
− длина или модуль вектора. Если |
|
a |
|
0, то a 0 − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|||||||||
|
1, то a e − единичный |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
нулевой вектор, если |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
вектор. a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1. |
|
|
a0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− орт вектора а, если a а и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
, |
|
|
а |
|
d b, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а и b – |
равные векторы (a b), если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
b |
a c |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b. |
|
|
с |
|
(a c) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а,b и с |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– компланарные, если они лежат в одной |
|
|
а |
b |
|||||||||||||||||||||||||||
плоскости или в параллельных плоскостях |
|
|
|
|
с |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b,c |
|
с |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
образует правую (левую) тройку, |
если с конца вектора с |
а |
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||
кратчайший поворот от |
а к |
b виден |
|
совершающимся |
Правая тройка |
||||||||||||||||||||||||||
против часовой стрелки (по часовой стрелке) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Линейная комбинация векторов a1, a2,...,an имеет вид |
Базис на плоскос- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ти (в R2) |
образу- |
||||||||||||||||||||||||||||||
1a1 2a2 3a3 |
... n an , где 1, 2, ..., n – коэффици- |
ют два неколли- |
|||||||||||||||||||||||||||||
енты разложения. Система векторовa1, a2,...,an |
– линейно |
неарных вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||
a и a , |
в R3 – |
||||||||||||||||||||||||||||||
независима, если 1 a1 ... n an |
0 1... т |
0. |
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
три некомпла- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Система n линейно независимых векторов образует базис |
нарных вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||
в n-мерном пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1, a2 |
и a3 |
25

|
Векторы и координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Основные |
|
Рисунок |
|
|
Определения и |
|
|
|
||||||||
понятия |
|
|
|
|
|
|
|
|
свойства |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
A1B1 , а OX |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
прx а |
_____ |
|
,а OX |
|||||||
|
|
пр |
|
а |
|
|
|
|
A B |
1 |
||||||
|
|
x |
|
X |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ортогональная |
|
|
|
|
|
|
|
Ортогональная |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
проекция |
|
|
|
|||||
проекция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
пр |
|
а а сos a |
|
; |
||||||
вектора на ось |
|
|
|
|
|
|
х |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прx (а b) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
прx а прxb; |
|
|
|||||||
Ортонормиро- |
|
|
|
|
|
|
прx а прx а |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i, j, k |
– |
|
|
орты |
||||||
ванный базис |
|
|
|
|
|
|
координатных |
осей |
||||||||
i; j;k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
i j k |
i j k 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Направляю- |
|
|
|
|
|
|
|
Свойство |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
щие косинусы |
M 3 |
|
|
|
|
|
|
cos2 cos2 |
|
|
|
|
||||
соs , cos , cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 1 |
|
|
|
|
|
|||
Координаты |
|
A |
|
|
|
|
ax |
прха a cos , |
|
|||||||
вектора ав |
|
|
|
M |
|
|
||||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
базисе i; j;k |
|
|
|
B |
|
|
ay |
прy a a cos , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
az |
прz a a cos . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разложение |
|
|
|
|
|
|
а ОМ1 |
ОМ2 ОМ3 |
||||||||
вектора по |
|
|
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базису i; j;k |
k |
j |
|
|
Y |
ахi ay j azk |
|
|
|
|||||||
Длина вектора |
j |
|
|
|
|
a |
ax |
2 ay |
2 |
|
az |
2 |
|
|||
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты |
|
|
|
|
|
|
A(x1, y1,z1); |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
B(x2 , y2 ,z2 ); |
|
|
|
|
|
|
||||
вектора |
|
|
|
|
|
|
AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Линейные операции над векторами |
|
|
|
|
|
|
|
26

|
|
|
Выражение в |
|
|
||||
|
|
|
координатах: |
|
|
||||
Операция |
Определение и |
a ax i ay j az k |
|||||||
свойства |
b bx i by j bz k |
||||||||
|
|||||||||
|
|
||||||||
|
|
c cx i cy j cz k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложение a b |
|
Равенство векторов: |
|||||||
Правило |
|
||||||||
|
|
|
ax |
bx, |
|||||
параллелограмма |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
by, |
|||
|
|
a b ay |
|||||||
а b |
с а b; |
|
|
|
|
bz. |
|||
а |
|
|
az |
||||||
b |
a b b a; |
c а b (ax bx)i |
|||||||
(a b) с a (b c); |
(ay by ) j (az bz )k , |
||||||||
|
a b 0 a b |
||||||||
Правило |
|
сx |
ax bx, |
||||||
|
|
||||||||
треугольника |
|
т.е. |
c |
a |
y |
b |
y |
, |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
b |
|
|
|
az |
bz |
|
|||
|
|
cz |
|
аа b
Вычитание a–b |
|
c a b (ax |
bx )i |
|
|
|
||||||||||
а |
a–b |
|
(ay by ) j (az bz )k , |
|||||||||||||
|
с а b а ( b) |
|
сx ax bx, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
т.е. |
c |
|
a |
y |
b |
y |
, |
|
|
||||
|
b |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
az bz |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
cz |
|
|
|
|||||||||
Умножение на |
а c: с||a, |
c а ( ax)i ( ay)j ( az)k, |
||||||||||||||
число a |
с a при 0; |
|
с |
x |
a |
x |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
а |
|
|
|
a |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
c |
|
y |
|
|
|
|||||||||
|
|
с a при 0. |
т.е. y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а |
а |
a a ; |
|
|
|
az , |
|
|
|
|
|
|||||
|
cz |
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
( a) ( )a; |
коллинеарность векторов: |
|||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
ay |
|
|
|
a |
|
|
||||
|
|
(a b) a b; |
a||b |
|
x |
|
|
|
z |
|
||||||
|
|
bx |
|
by |
bz |
|||||||||||
|
|
( )a a a |
|
|
|
|
|
|
|
Нелинейные операции над векторами
27

Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение
Определение и обозначение
a,b a b |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos |
a,b |
a b c |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a |
|
b |
sin |
|
a b |
|
a |
|
прab |
|
b |
|
прb a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
a, c b, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тройка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а, b, c правая |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прb a |
b |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
прab |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
а |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b,c a,b c
Пусть d a, b ,
d c d прc S ( H),
d
где S – площадь параллелограмма; H – высота параллелепипеда
d
H с
b
а
Алгебраические свойства
a b b a; |
|
|
a b b a; |
|
|
|
|
|
a,b,c b,a,c ; |
|
|
||||||||||||||||||||||
(a b)c ac bc; |
|
|
(a b) c a c b c; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
( a)b (ab) |
|
|
( a) b (a b) |
a,b,c a,b,c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрические свойства |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos |
|
a |
|
|
|
b |
; |
a |
|
a a ; |
Sпараллелограмма |
a b |
|
Vпараллелепипеда |
a,b,c |
||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sтреугольника |
|
|
|
a b |
|
|
a,b, c – правая (левая) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
прa b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тройка, если (a, b, c) 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((a, b, c) 0) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физические свойства |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Работа постоянной силы |
Момент силы относительно |
|
– |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
A F S |
|
|
|
|
____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
точки O: M OA F |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие равенства нулю |
a,b,c 0 a,b,c– |
|||||||||||||||
a b 0 a b |
|
|
a||b a b 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
компланарны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение в декартовых координатах |
|
|
|
|
||||||||||||||
a b axbx ayby azbz |
|
i |
j |
k |
|
a,b,c |
ax |
ay |
az |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
ax |
ay |
az |
|
bx |
by |
bz |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28

Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ |
||||||||||
|
|
Системы координат |
|
|
|
|
|
|
||
Название системы и способ задания |
Связь между координатами |
|||||||||
Декартова (прямоугольная) система |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
||
|
координат (ДСК) |
|
|
|
|
|
M |
|||
O − начало координат; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
OX − ось абсцисс; OY − ось ординат |
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
M(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
O |
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x rcos , |
|
|
|
|||
O |
x |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y rsin . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 , |
|
|||
x, y − декартовы координаты точки |
|
r |
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
||||
M ; х – абсцисса, y – ордината |
|
|
|
|
|
, |
||||
|
sin |
|
|
|
|
|||||
Полярная система координат (ПСК) |
|
|
|
x2 y2 |
||||||
O − полюс; O − полярная ось |
|
|
|
|
|
x . |
||||
|
|
|
|
cos |
|
|
||||
|
M(r, ) |
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
|
В частности, |
tg y , |
где x 0. |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
O |
|
|
arctg y n, n Z . При |
|||||||
r, − полярные координаты точки M ; |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
определении значения полярного |
||||||||||
− полярный угол, (или |
угла нужно установить (по |
|||||||||
0 2 ); |
|
знакам x и y) четверть, в которой |
||||||||
r OM |
− полярный радиус; 0 r |
лежит искомый угол |
|
|
|
|
||||
П р и м е р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дана точка M 1, 3 . Найти полярные координаты точки M . |
|||||||||
Р е ш е н и е. |
r 1 3 2, tg |
3 |
3 . Отсюда n, n Z . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
Так как точка M 1, |
3 лежит в 4-й четверти, то |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|