Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1944

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
2.26 Mб
Скачать

Основные понятия

 

a11x1

a12x2

... a1n xn

b1,

 

 

 

 

 

 

 

a22x2

... a2nxn

b2 ,

 

 

 

 

a21x1

 

 

 

Общий вид

.............................................

 

 

 

 

 

 

x

a

 

x

 

... a

 

 

x

 

 

b

 

,

 

 

 

a

m1

m2

2

mn

n

 

m

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где aij − коэффициенты системы;

 

 

 

 

 

b1,b2 ,...,bm − свободные члены; х1,х2,...,хn

 

– неизвестные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

...

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

12

 

 

 

 

1n

 

 

 

 

 

Матрица системы

 

 

 

a21

 

 

a22 ...

 

a2n

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

... ...

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am2 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

 

 

amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A X B,

где

X

x2

 

матрица-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛАУ в матричной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

столбец

из

неизвестных

 

xi .

 

B

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm

 

 

 

матрица-столбец из свободных членов bi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

____

 

 

 

 

Совокупность чисел xi

i

, i 1,n ,

 

 

 

которые обращают все уравнения системы

Решение СЛАУ

в тождества.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждое решение СЛАУ – частное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение. Совокупность всех частных

 

 

 

решений – общее решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разновидности СЛАУ

20

 

 

 

Признак

 

 

 

 

Название

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

 

 

 

По

 

Совместная

 

 

Имеет хотя бы одно решение.

 

 

 

 

 

Несовместная

 

Не имеет решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

количеству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определенная

 

Имеет одно решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неопределенная

 

Имеет бесконечно много решений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородная

 

 

В=0 (все bi 0). Всегда совместна,

так как

По виду

 

 

 

 

 

 

 

нулевое

 

 

 

 

(тривиальное)

 

 

 

 

 

решение (т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2

 

... xn 0)

 

является решением

правой части

 

 

 

 

 

 

 

однородной системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неоднородная

 

В 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вырожденная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12 ...

 

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По значению

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

a21

a22 ...

 

a2n

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... ... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

an2 ...

 

ann

 

 

 

 

 

 

случая m n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Невырожденная

 

 

А

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратная матрица и ее нахождение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1 обратная матрица к A a

 

, если A A 1

A 1 A E .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

n,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этапы решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если A

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определитель матрицы.

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

 

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

0, то A 1

 

не существует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

=a11 a22

a12

a21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

Составить

матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Aij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

a22

 

a21

 

 

 

 

 

 

 

A Aij ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

алгебраические

дополнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

a12

 

 

a11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

элементов aij

матрицы A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

T

=

 

a

22

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AT

A

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Транспонировать A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

Записать обратную матрицу

 

 

 

 

 

 

1

 

1

~

T

 

1

 

 

 

 

a22

a12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

~ T

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

a11a22 a12a21 a21

a11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы решения СЛАУ

21

 

 

 

 

Метод решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

Решение невырожденной СЛАУ

 

 

 

 

 

x 2y 3z 6,

 

 

 

 

 

 

по формулам Крамера (m=n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

4x 5y 6z 9,

 

 

 

 

 

x

 

,

x

2

 

 

, ...,x

n

 

,

 

 

 

 

 

 

 

7x 8y 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где – определитель СЛАУ 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

 

6

27,

 

 

 

i

− определитель, полученный из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определителя системы заменой i-го

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

столбца столбцом свободных членов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

9

5

6

 

 

54,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

8

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

4

9

 

 

6

 

27,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

4

5

 

9

54,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

54

2, y

27

1, z

54

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

27

 

 

 

Решение невырожденной СЛАУ

 

 

 

 

 

x 2y 3z 6,

 

 

 

 

 

 

матричным способом (m=n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AX B

X A 1 B

 

 

 

 

 

4x 5y 6z 9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x 8y 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 4 5

6 , B 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

48

24

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

21

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

16/9

8/9

 

1/9

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/9

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

14/9

 

 

 

 

 

 

 

2/9

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/9

2/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

1/9 6

 

 

 

Окончание таблицы

Метод решения

П р и м е р

Решение СЛАУ методом Гаусса

22

(метод последовательного исключения неизвестных) (m т)

Расширенную матрицу системы

(матрица, составленная из коэффициентов системы с добавлением столбца свободных

 

 

 

a

a

...

a

b

 

 

 

 

 

11

 

12

 

 

1n

1

 

членов)

 

 

a21

a22

...

a2n

b2

 

A

 

 

...

... ...

...

 

 

 

 

...

 

 

 

 

a

m1

a

m2

...

a

mn

b

 

 

 

 

 

 

 

 

m

с помощью элементарных преобразований, проводимых только над строками, приводят к ступенчатому виду

 

а ...

а

...

a

...

a

b

 

 

11

1k2

 

1kr

 

1n

1

 

 

0 ...

 

...

 

...

 

 

 

a2k2

a2kr

a2n

b2

... ... ... ... ...

... ...

...

 

 

0 ...

0

...

 

...

 

 

 

 

 

arkr

arn

br

 

0 ...

0

...

0

...

0

 

 

 

br 1

... ... ... ... ...

... ...

...

 

 

0 ...

0

...

0

...

0

 

 

 

 

bm

После выполнения элементарных преобразований можно получить эквивалентную матрицу следующего типа:

Система совместна и

0

определенна (имеет единственное решение).

Система совместна и неопределенна

0(имеет множество решений).

 

 

 

Система

 

 

 

несовместна

0

 

1

(решений нет)

0=

 

 

x 2y 3z 6,

4x 5y 6z 9,

 

7x 8y 6.

 

 

 

 

 

1

2

3

6

А

4 5 6

9 ~

 

 

 

7

8

0

 

 

 

 

 

6

1

 

2

3

 

6

 

 

 

3

6

 

 

 

~ 0

 

 

15 ~

 

 

6

21

 

 

0

 

48

 

1

2

3

 

6

 

~

 

 

1

2

 

5

 

0

 

 

 

 

0

0

9

 

18

 

 

 

 

 

Получена СЛАУ вида

0

Эквивалентная СЛАУ:

x 2y 3z 6

x 2

 

 

y 2z 5

y 1

9z 18

 

z 2

 

 

Ответ: x 2; y 1; z 2

Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение

Пусть А – квадратная матрица порядка n.

23

 

 

 

 

 

a

a

...

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

1n

 

a

 

.

 

 

 

 

A

a21

a22 ...

a2n

ij

 

 

 

 

 

 

... ...

...

 

 

n,n

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an3 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

ann

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим уравнение АХ Х , где Х – неизвестный числовой

вектор высотой n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение АХ Х эквивалентно уравнению А E X 0.

Данное матричное уравнение соответствует однородной системе

уравнений,

 

которая имеет

ненулевые

решения, если

 

А Е

 

0.

 

 

Уравнение

 

А Е

 

0

называется характеристическим уравнением

 

 

матрицы А.

Значения , при которых уравнение имеет нетривиальные решения (Х 0), называют собственными значениями матрицы А.

Решения Х уравнения при таких – собственные векторы матрицы.

 

Этапы решения

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

Записать

харак-

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

теристическое

урав-

 

А

 

 

 

 

 

 

нение

матрицы

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А Е

 

0

 

 

 

А Е

 

 

 

3

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Раскрыв» оп-

2 4 5 0

 

, получаем

5,

 

 

1

ределитель,

 

полу-

 

2

чить n собственных

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

 

собст-

Подпространство

 

 

 

 

собственных

 

векторов,

венные векторы, со-

соответствующих

 

 

 

5,

есть

множество

ответствующие соб-

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

решений системы уравнений А Е Х 0:

ственным значениям

2х1 2х2

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

из векторного урав-

 

 

 

 

 

 

 

 

нения А Е Х 0

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

4х1 4х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1 ( 1,1) ,

 

R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для 2 1 подпространство собственных

 

 

 

 

 

 

 

векторов L2 (1,2)

 

 

 

 

 

 

 

24

Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

 

 

 

 

Основные понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрическое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображение

____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор AB (а) − направленный прямолинейный

 

 

 

 

В

отрезок,

A начало вектора,

B конец вектора.

 

 

 

 

 

 

а

____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BA (–а) − вектор, противоположный к вектору

 

A

 

 

 

 

____

____

____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB (а).

AB BA (a a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а и b – коллинеарные векторы ( а││b), если они лежат

 

b

 

 

 

 

на одной прямой или на параллельных прямых.

 

а

 

 

 

Коллинеарные векторы

могут

быть

сонаправленными

 

 

 

 

 

 

(a b) или противоположно направленными (а b)

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

длина или модуль вектора. Если

 

a

 

0, то a 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

1, то a e − единичный

 

 

нулевой вектор, если

a

 

 

вектор. a

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

1.

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

орт вектора а, если a а и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

b

 

,

 

 

а

 

d b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а и b

равные векторы (a b), если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

b

a c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b.

 

 

с

 

(a c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а,b и с

 

 

 

 

 

 

 

компланарные, если они лежат в одной

 

 

а

b

плоскости или в параллельных плоскостях

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b,c

 

с

 

 

 

образует правую (левую) тройку,

если с конца вектора с

а

 

 

b

кратчайший поворот от

а к

b виден

 

совершающимся

Правая тройка

против часовой стрелки (по часовой стрелке)

 

Линейная комбинация векторов a1, a2,...,an имеет вид

Базис на плоскос-

ти (в R2)

образу-

1a1 2a2 3a3

... n an , где 1, 2, ..., n – коэффици-

ют два неколли-

енты разложения. Система векторовa1, a2,...,an

линейно

неарных вектора

a и a ,

в R3

независима, если 1 a1 ... n an

0 1... т

0.

1

 

2

 

 

 

три некомпла-

Система n линейно независимых векторов образует базис

нарных вектора

в n-мерном пространстве

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1, a2

и a3

25

 

Векторы и координаты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные

 

Рисунок

 

 

Определения и

 

 

 

понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

свойства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

A1B1 , а OX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прx а

_____

 

,а OX

 

 

пр

 

а

 

 

 

 

A B

1

 

 

x

 

X

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ортогональная

 

 

 

 

 

 

 

Ортогональная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проекция

 

 

 

проекция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пр

 

а а сos a

 

;

вектора на ось

 

 

 

 

 

 

х

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прx (а b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прx а прxb;

 

 

Ортонормиро-

 

 

 

 

 

 

прx а прx а

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j, k

 

 

орты

ванный базис

 

 

 

 

 

 

координатных

осей

i; j;k

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

i j k

i j k 1

 

 

 

 

 

 

Направляю-

 

 

 

 

 

 

 

Свойство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щие косинусы

M 3

 

 

 

 

 

 

cos2 cos2

 

 

 

 

соs , cos , cos

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 1

 

 

 

 

 

Координаты

 

A

 

 

 

 

ax

прха a cos ,

 

вектора ав

 

 

 

M

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

базисе i; j;k

 

 

 

B

 

 

ay

прy a a cos ,

 

 

 

 

 

 

 

az

прz a a cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложение

 

 

 

 

 

 

а ОМ1

ОМ2 ОМ3

вектора по

 

 

 

M 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

базису i; j;k

k

j

 

 

Y

ахi ay j azk

 

 

 

Длина вектора

j

 

 

 

 

a

ax

2 ay

2

 

az

2

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты

 

 

 

 

 

 

A(x1, y1,z1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(x2 , y2 ,z2 );

 

 

 

 

 

 

вектора

 

 

 

 

 

 

AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные операции над векторами

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

Выражение в

 

 

 

 

 

координатах:

 

 

Операция

Определение и

a ax i ay j az k

свойства

b bx i by j bz k

 

 

 

 

 

c cx i cy j cz k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение a b

 

Равенство векторов:

Правило

 

 

 

 

ax

bx,

параллелограмма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

by,

 

 

a b ay

а b

с а b;

 

 

 

 

bz.

а

 

 

az

b

a b b a;

c а b (ax bx)i

(a b) с a (b c);

(ay by ) j (az bz )k ,

 

a b 0 a b

Правило

 

сx

ax bx,

 

 

треугольника

 

т.е.

c

a

y

b

y

,

 

 

 

y

 

 

 

b

 

 

 

az

bz

 

 

 

cz

 

аа b

Вычитание ab

 

c a b (ax

bx )i

 

 

 

а

ab

 

(ay by ) j (az bz )k ,

 

с а b а ( b)

 

сx ax bx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е.

c

 

a

y

b

y

,

 

 

 

b

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

az bz

 

 

 

 

 

 

 

cz

 

 

 

Умножение на

а c: с||a,

c а ( ax)i ( ay)j ( az)k,

число a

с a при 0;

 

с

x

a

x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

а

 

 

 

a

 

,

 

 

 

 

 

 

 

c

 

y

 

 

 

 

 

с a при 0.

т.е. y

 

 

 

 

 

 

 

а

а

a a ;

 

 

 

az ,

 

 

 

 

 

 

cz

 

 

 

 

 

0

0

( a) ( )a;

коллинеарность векторов:

 

 

a

 

 

 

ay

 

 

 

a

 

 

 

 

(a b) a b;

a||b

 

x

 

 

 

z

 

 

 

bx

 

by

bz

 

 

( )a a a

 

 

 

 

 

 

 

Нелинейные операции над векторами

27

Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение

Определение и обозначение

a,b a b

 

a

 

 

 

b

 

cos

a,b

a b c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

a

 

b

sin

 

a b

 

a

 

прab

 

b

 

прb a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

a, c b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тройка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, b, c правая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прb a

b

 

 

с

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,b,c a,b c

Пусть d a, b ,

d c d прc S ( H),

d

где S – площадь параллелограмма; H – высота параллелепипеда

d

H с

b

а

Алгебраические свойства

a b b a;

 

 

a b b a;

 

 

 

 

 

a,b,c b,a,c ;

 

 

(a b)c ac bc;

 

 

(a b) c a c b c;

 

 

( a)b (ab)

 

 

( a) b (a b)

a,b,c a,b,c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрические свойства

 

 

 

 

 

 

cos

 

a

 

 

 

b

;

a

 

a a ;

Sпараллелограмма

a b

 

Vпараллелепипеда

a,b,c

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sтреугольника

 

 

 

a b

 

 

a,b, c – правая (левая)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

прa b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тройка, если (a, b, c) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

((a, b, c) 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Физические свойства

 

 

 

 

 

 

Работа постоянной силы

Момент силы относительно

 

 

 

 

 

A F S

 

 

 

 

____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки O: M OA F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие равенства нулю

a,b,c 0 a,b,c

a b 0 a b

 

 

a||b a b 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

компланарны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение в декартовых координатах

 

 

 

 

a b axbx ayby azbz

 

i

j

k

 

a,b,c

ax

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

ax

ay

az

 

bx

by

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

by

bz

 

 

cx

cy

cz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

 

 

Системы координат

 

 

 

 

 

 

Название системы и способ задания

Связь между координатами

Декартова (прямоугольная) система

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

координат (ДСК)

 

 

 

 

 

M

O − начало координат;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OX − ось абсцисс; OY − ось ординат

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

M(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

y

 

O

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x rcos ,

 

 

 

O

x

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y rsin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2 ,

 

x, y − декартовы координаты точки

 

r

 

 

 

 

 

y

 

 

M ; х – абсцисса, y – ордината

 

 

 

 

 

,

 

sin

 

 

 

 

Полярная система координат (ПСК)

 

 

 

x2 y2

O − полюс; O − полярная ось

 

 

 

 

 

x .

 

 

 

 

cos

 

 

 

M(r, )

 

 

 

x

2

y

2

 

 

 

 

 

 

 

r

 

В частности,

tg y ,

где x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

O

 

 

arctg y n, n Z . При

r, − полярные координаты точки M ;

 

x

 

 

 

 

 

 

определении значения полярного

− полярный угол, (или

угла нужно установить (по

0 2 );

 

знакам x и y) четверть, в которой

r OM

− полярный радиус; 0 r

лежит искомый угол

 

 

 

 

П р и м е р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дана точка M 1, 3 . Найти полярные координаты точки M .

Р е ш е н и е.

r 1 3 2, tg

3

3 . Отсюда n, n Z .

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

Так как точка M 1,

3 лежит в 4-й четверти, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]