Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1944

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Основные понятия

a11x1

a12x2

... a1n xn

b1,

a22x2

... a2nxn

b2 ,

a21x1

Общий вид

.............................................

... a

где aij − коэффициенты системы;

b1,b2 ,...,bm − свободные члены; х1,х2,...,хn

– неизвестные

...

Матрица системы

a21

a22 ...

a2n

...

... ...

...

am2 ...

am1

amn

A X B,

где

−

матрица-

...

СЛАУ в матричной форме

столбец

из

неизвестных

xi .

−

...

матрица-столбец из свободных членов bi

____

Совокупность чисел xi

, i 1,n ,

которые обращают все уравнения системы

Решение СЛАУ

в тождества.

Каждое решение СЛАУ – частное

решение. Совокупность всех частных

решений – общее решение

Разновидности СЛАУ

Признак

Название

Определение

По

Совместная

Имеет хотя бы одно решение.

Несовместная

Не имеет решений.

количеству

Определенная

Имеет одно решение.

решений

Неопределенная

Имеет бесконечно много решений

Однородная

В=0 (все bi 0). Всегда совместна,

так как

По виду

нулевое

(тривиальное)

решение (т.е.

x1 x2

... xn 0)

является решением

правой части

однородной системы

Неоднородная

В 0

Вырожденная

a11

a12 ...

a1n

По значению

a21

a22 ...

a2n

для

... ... ... ...

an1

an2 ...

ann

случая m n

Невырожденная

Обратная матрица и ее нахождение

A 1 − обратная матрица к A a

, если A A 1

A 1 A E .

n,n

Этапы решения

П р и м е р

Если A

Вычислить

, то

определитель матрицы.

Если

a21

a22

a11

a12

0, то A 1

не существует

=a11 a22

a12

a21

a22

Составить

матрицу

где

Aij

−

a22

a21

A Aij ,

A =

алгебраические

дополнения

a12

a11

элементов aij

матрицы A

Транспонировать A

Записать обратную матрицу

a22

a12

~ T

A =

a11a22 a12a21 a21

a11

Методы решения СЛАУ

				Метод решения																П р и м е р
Решение невырожденной СЛАУ																	x 2y 3z 6,
	по формулам Крамера (m=n)
		1				2				n							4x 5y 6z 9,
x		1	,	x	2	2		, ...,x	n	n	,									7x 8y 6.
x			,	x				, ...,x			,									7x 8y 6.
1																							1			2		3
где – определитель СЛАУ 0 ;																							1			2		3
где – определитель СЛАУ 0 ;																							4			5		6		27,
i	− определитель, полученный из																						4			5		6		27,
i	− определитель, полученный из																						7			8		0
определителя системы заменой i-го																							7			8		0
определителя системы заменой i-го																				6						2		3
столбца столбцом свободных членов																				6						2		3
																x				9						5		6			54,
																				6						8		0
																					1					6		3
																					1					6		3
																y					4					9				6	27,
																					7					6		0
																						1				2		6
																						1				2		6
																z						4				5		9			54,
																						7				8		6
													x		54		2, y										27		1, z				54	2
													x				2, y												1, z					2
														27												27						27
Решение невырожденной СЛАУ																	x 2y 3z 6,
	матричным способом (m=n)
		AX B					X A 1 B										4x 5y 6z 9,
		AX B					X A 1 B												7x 8y 6.
																			7x 8y 6.
																	1		2							3						6

															A 4 5											6 , B 9
																		7	8
																		7	8							0						6
																		1							48			24				3
															A	1		1
																										42				21		6
																		27								42				21		6
																		27								3		6
																										3		6				3
												x			16/9				8/9									1/9				6		2
																								7/9											1
												y		14/9										7/9				2/9				9			1
																1/9			2/9																2
												z				1/9			2/9									1/9 6							2

	Окончание таблицы
Метод решения	П р и м е р

Решение СЛАУ методом Гаусса

(метод последовательного исключения неизвестных) (m т)

Расширенную матрицу системы

(матрица, составленная из коэффициентов системы с добавлением столбца свободных

		a		a		...	a		b
			11		12			1n	1
членов)		a21		a22		...	a2n		b2
	A			...		... ...			...
		...		...		... ...			...
		a	m1	a	m2	...	a	mn	b
			m1		m2			mn	m

с помощью элементарных преобразований, проводимых только над строками, приводят к ступенчатому виду

	а ...	а	...	a	...	a	b
	11	1k2		1kr		1n	1
	0 ...		...		...
		a2k2		a2kr		a2n	b2
... ... ... ... ...					... ...		...
	0 ...	0	...		...

				arkr		arn	br
	0 ...	0	...	0	...	0
							br 1
... ... ... ... ...					... ...		...
	0 ...	0	...	0	...	0

							bm

После выполнения элементарных преобразований можно получить эквивалентную матрицу следующего типа:

Система совместна и

определенна (имеет единственное решение).

Система совместна и неопределенна

0(имеет множество решений).

		Система
		несовместна
0	1	(решений нет)
0=	1

x 2y 3z 6,

4x 5y 6z 9,

		7x 8y 6.

		1		2	3	6
А	4 5 6					9 ~
			7	8	0
						6
1		2		3		6
		3		6
~ 0						15 ~
		6		21
0						48
	1		2	3		6
~			1	2		5
	0
		0	0	9		18

Получена СЛАУ вида

Эквивалентная СЛАУ:

x 2y 3z 6	x 2

y 2z 5	y 1
9z 18
9z 18	z 2

Ответ: x 2; y 1; z 2

Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение

Пусть А – квадратная матрица порядка n.

...

a21

a22 ...

a2n

... ...

...

n,n

...

an3 ...

an1

ann

Рассмотрим уравнение АХ Х , где Х – неизвестный числовой

вектор высотой n.

Уравнение АХ Х эквивалентно уравнению А E X 0.

Данное матричное уравнение соответствует однородной системе

уравнений,

которая имеет

ненулевые

решения, если

А Е

Уравнение

А Е

называется характеристическим уравнением

матрицы А.

Значения , при которых уравнение имеет нетривиальные решения (Х 0), называют собственными значениями матрицы А.

Решения Х уравнения при таких – собственные векторы матрицы.

Этапы решения

П р и м е р

Записать

харак-

теристическое

урав-

нение

матрицы

А Е

«Раскрыв» оп-

2 4 5 0

, получаем

ределитель,

полу-

чить n собственных

значений

Найти

собст-

Подпространство

собственных

векторов,

венные векторы, со-

соответствующих

есть

множество

ответствующие соб-

решений системы уравнений А Е Х 0:

ственным значениям

2х1 2х2

из векторного урав-

нения А Е Х 0

4х1 4х2

L1 ( 1,1) ,

Для 2 1 подпространство собственных

векторов L2 (1,2)

Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Основные понятия

Геометрическое

изображение

____

Вектор AB (а) − направленный прямолинейный

отрезок,

A − начало вектора,

B − конец вектора.

____

BA (–а) − вектор, противоположный к вектору

____

AB (а).

AB BA (a a)

а и b – коллинеарные векторы ( а││b), если они лежат

на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы

могут

быть

сонаправленными

(a b) или противоположно направленными (а b)

a b

− длина или модуль вектора. Если

0, то a 0 −

1, то a e − единичный

нулевой вектор, если

вектор. a

− орт вектора а, если a а и

d b,

а и b –

равные векторы (a b), если

a c

a b.

(a c)

а,b и с

– компланарные, если они лежат в одной

плоскости или в параллельных плоскостях

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b,c

образует правую (левую) тройку,

если с конца вектора с

кратчайший поворот от

а к

b виден

совершающимся

Правая тройка

против часовой стрелки (по часовой стрелке)

Линейная комбинация векторов a1, a2,...,an имеет вид

Базис на плоскос-

ти (в R2)

образу-

1a1 2a2 3a3

... n an , где 1, 2, ..., n – коэффици-

ют два неколли-

енты разложения. Система векторовa1, a2,...,an

– линейно

неарных вектора

a и a ,

в R3 –

независима, если 1 a1 ... n an

0 1... т

три некомпла-

Система n линейно независимых векторов образует базис

нарных вектора

в n-мерном пространстве

a1, a2

и a3

Векторы и координаты

Основные

Рисунок

Определения и

понятия

свойства

_____

A1B1 , а OX

прx а

_____

,а OX

пр

A B

Ортогональная

проекция

пр

а а сos a

;

вектора на ось

прx (а b)

прx а прxb;

Ортонормиро-

прx а прx а

i, j, k

–

орты

ванный базис

координатных

осей

i; j;k

i j k

i j k 1

Направляю-

Свойство

щие косинусы

M 3

cos2 cos2

соs , cos , cos

cos 1

Координаты

прха a cos ,

вектора ав

базисе i; j;k

прy a a cos ,

прz a a cos .

Разложение

а ОМ1

ОМ2 ОМ3

вектора по

M 2

базису i; j;k

ахi ay j azk

Длина вектора

2 ay

Координаты

A(x1, y1,z1);

B(x2 , y2 ,z2 );

вектора

AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)

Линейные операции над векторами

			Выражение в
			координатах:
Операция	Определение и	a ax i ay j az k
Операция	свойства	b bx i by j bz k
	свойства

		c cx i cy j cz k

Сложение a b		Равенство векторов:
Правило		Равенство векторов:
Правило				ax		bx,
параллелограмма				ax		bx,
						by,
		a b ay				by,
а b	с а b;					bz.
а	с а b;			az		bz.
b	a b b a;	c а b (ax bx)i
b	(a b) с a (b c);	(ay by ) j (az bz )k ,
	a b 0 a b	(ay by ) j (az bz )k ,
Правило	a b 0 a b		сx	ax bx,
Правило			сx	ax bx,
треугольника		т.е.	c	a	y	b	y	,
			y		y		y
b				az		bz
b			cz	az		bz

аа b

Вычитание a–b

c a b (ax

bx )i

a–b

(ay by ) j (az bz )k ,

с а b а ( b)

сx ax bx,

т.е.

az bz

Умножение на

а c: с||a,

c а ( ax)i ( ay)j ( az)k,

число a

с a при 0;

с a при 0.

т.е. y

a a ;

az ,

( a) ( )a;

коллинеарность векторов:

(a b) a b;

a||b

( )a a a

Нелинейные операции над векторами

Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение

Определение и обозначение

a,b a b

cos

a,b

a b c

sin

a b

прab

прb a

a, c b,

тройка

а, b, c правая

прb a

прab

a,b,c a,b c

Пусть d a, b ,

d c d прc S ( H),

где S – площадь параллелограмма; H – высота параллелепипеда

H с

Алгебраические свойства

a b b a;

a,b,c b,a,c ;

(a b)c ac bc;

(a b) c a c b c;

( a)b (ab)

( a) b (a b)

a,b,c a,b,c

Геометрические свойства

cos

;

a a ;

Sпараллелограмма

a b

Vпараллелепипеда

a,b,c

Sтреугольника

a b

a,b, c – правая (левая)

a b

прa b

тройка, если (a, b, c) 0

((a, b, c) 0)

Физические свойства

Работа постоянной силы

Момент силы относительно

–

A F S

____

точки O: M OA F

Условие равенства нулю

a,b,c 0 a,b,c–

a b 0 a b

a||b a b 0

компланарны

Выражение в декартовых координатах

a b axbx ayby azbz

a,b,c

a b

Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
		Системы координат
Название системы и способ задания			Связь между координатами
Декартова (прямоугольная) система				Y
	координат (ДСК)			Y					M
O − начало координат;									M
O − начало координат;
OX − ось абсцисс; OY − ось ординат					p
					p					y
Y										X
	M(x, y)									X
y	M(x, y)			O	x
y				O	x
				x rcos ,
O	x	X
O	x	X		y rsin .

					x2	y2 ,
x, y − декартовы координаты точки				r	x2	y2 ,
x, y − декартовы координаты точки							y
M ; х – абсцисса, y – ордината							y			,
M ; х – абсцисса, y – ордината				sin						,
Полярная система координат (ПСК)						x2 y2
O − полюс; O − полярная ось								x .
				cos				x .
	M(r, )					x	2	y		2
	M(r, )					x		y
	r		В частности,		tg y ,				где x 0.
			В частности,		tg y ,				где x 0.
						x
O			arctg y n, n Z . При
r, − полярные координаты точки M ;				x
r, − полярные координаты точки M ;			определении значения полярного
− полярный угол, (или			угла нужно установить (по
0 2 );			знакам x и y) четверть, в которой
r OM	− полярный радиус; 0 r		лежит искомый угол
П р и м е р.
	Дана точка M 1, 3 . Найти полярные координаты точки M .
Р е ш е н и е.		r 1 3 2, tg	3	3 . Отсюда n, n Z .
			1						3
Так как точка M 1,		3 лежит в 4-й четверти, то
Так как точка M 1,		3 лежит в 4-й четверти, то
				3
		25

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021341.93 Кб13194.pdf
#
07.01.20212.25 Mб21940.pdf
#
07.01.20212.25 Mб71941.pdf
#
07.01.20212.25 Mб241942.pdf
#
07.01.20212.26 Mб661943.pdf
#
07.01.20212.26 Mб141944.pdf
#
07.01.20212.27 Mб91945.pdf
#
07.01.20212.27 Mб91946.pdf
#
07.01.20212.27 Mб41947.pdf
#
07.01.20212.27 Mб201948.pdf
#
07.01.20212.28 Mб181949.pdf