1944
.pdf
Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Сравнительная таблица градусной и радианной мер углов
1800 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 радиан = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
радиана 0,017453 радиана; |
||||||||||||||
|
|
57 17 45 ; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
радиана 0,000291радиана. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
180 60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Углы в градусах |
|
|
Углы в радианах |
|
Углы в градусах |
|
|
|
Углы в |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
радианах |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225 |
|
|
|
|
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
240 |
|
|
|
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
120 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
135 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
360 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тригонометрические функции и их знаки |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция и ее |
|
|
Аргумент |
||||||||||
c |
a |
|
|
|
|
|
название |
|
|
=А |
|
=В |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin (синус) |
|
|
а/с |
|
|
b/c |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (косинус) |
|
|
b/с |
|
|
a/c |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg (тангенс) |
|
|
a/b |
|
|
b/a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg (котангенс) |
|
b/a |
|
|
a/b |
|
|||||||
A |
С |
|
|
|
|
|
sec (секанс) |
|
|
c/b |
|
|
c/a |
|
|||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cosec (косеканс) |
|
c/a |
|
|
c/b |
||||||||||
|
ctg |
Y |
|
2 |
|
IIч |
Iч |
(вторая |
(первая |
четверть) |
четверть) |
|
|
sin |
tg |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
cos |
2 |
X |
|
IIIч |
|
IVч |
|
|
(третья |
|
(четвертая |
|
|
четверть) |
|
четверть) |
|
|
3
2
|
|
|
|
|
|
|
Четверть |
|
|
sin |
|
|
|
|
cos |
tg |
|
ctg |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
+ |
|
- |
|
- |
|
- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
- |
|
- |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
- |
|
|
+ |
|
- |
|
- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Значения тригонометрических функций некоторых углов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
х |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin x |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
0 |
|
|
-1 |
|
0 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cosx |
1 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
-1 |
|
|
0 |
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
0 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тригонометрические тождества
Операции над |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тригонометрическими |
|
|
|
|
Тождества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функциями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 cos2 1 – основное |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
тригонометрическое тождество; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tg |
sin |
; |
|
ctg |
cos |
; |
|
|
|
|
|
|
tg ctg 1; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Соотношения между |
|
sec |
; |
|
|
|
cosec |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрическими |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
функциями |
|
|
|
|
sec2 1 tg2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
cos2 1 sin2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg2 |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
1 tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ctg |
|||||||||||||||||||||||||
|
sin2 1 cos2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ctg |
1 tg |
||||||||||||||||||||||||||||||
Формулы для суммы и |
sin( ) sin cos cos sin ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos( ) cos cos |
|
|
sin sin ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разности углов |
|
tg( ) |
tg tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
tg tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos2 cos2 sin2 |
1 tg |
1 2sin2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формулы двойного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
sin2 2sin cos |
|
|
|
|
2tg |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg2 |
|
|
|
2tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 tg2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Формулы понижения |
sin2 |
1 cos2 |
;cos2 |
1 cos2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
степени |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы |
sin sin 2sin |
|
cos |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразования суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и разности в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
произведение |
sin sin 2cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
тригонометрических |
cos cos 2cos |
|
cos |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Окончание таблицы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos cos 2sin |
|
|
sin |
|
|
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg tg |
sin( ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos cos |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin sin |
1 |
(cos( ) cos( )); |
|||||||||||||||||||
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
преобразования |
|
|
|
cos cos |
1 |
(cos( ) cos( )); |
|||||||||||||||||||||||||
|
произведения |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрических |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(sin( ) sin( )); |
|||||||||||||||||||||||
|
|
функций |
|
|
|
sin cos |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
в сумму и разность |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
tg tg |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg tg |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg ctg |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы приведения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
ctg |
|||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
ctg |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
tg |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
ctg |
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
cos |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
tg |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
ctg |
|
|||||||||||||
Правило получения формул приведения.
1)Если угол откладывается от горизонтальной оси (для углов
; 2 ), название исходной функции сохраняется. Если угол
откладывается от вертикальной оси (для углов |
|
; |
3 |
), |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
2) В правой части формулы ставится тот же знак, который имеет
левая часть при условии 0 .
2
П р и м е р. sin( ) cos (синус во второй четверти
2
положителен, угол откладывается от вертикальной оси).
Раздел 3. ПЛАНИМЕТРИЯ И СТЕРЕОМЕТРИЯ
Площади фигур
Прямоугольный треугольник
а,b– катеты, c – гипотенуза, c
, – острые углы,
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
ab |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
900 |
|
|
|
c2 a2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b |
|
|
b2 – теорема Пифагора. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произвольный треугольник |
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
сb |
sin |
bhb |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
c |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
hb |
|
|
|
p |
a b c |
– полупериметр, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
r |
– радиус вписанной окружности, |
||||||||||||
|
|
|
b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S pr |
|
p(p a)(p b)(p c) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Прямоугольник |
|||
|
|
||||
d |
|
a – длина (основание), |
|||
b |
b – ширина (высота), |
||||
|
|||||
|
|
d – диагональ, |
|||
|
|
S ab |
d2 |
||
a |
|
|
sin . |
||
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
Трапеция |
||
|
|
|
h |
– высота, |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
a,b– основания, |
|||
d |
|
d2 |
|
|||
|
|
a b |
d d |
|||
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
h |
1 2 sin . |
|
|
|
h |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
14
Ромб
а – сторона, d1, d2 – диагонали,
h – высота,
S ah d1d2 .
2
Окружность и круг d – диаметр окружности
(круга), r– радиус окружности (круга), длина окружности:
C d 2 r,
площадь круга:
S d2 r2 rC .
4 2
a
d1
h d2
r
d
Круговой сектор r– радиус,
l– длина дуги,
– градусная мера дуги,
l 2 r , 3600
S r2 . 360
Круговое кольцо
D – большой диаметр, d – малый диаметр, a – ширина кольца,
S (D2 d2 ).
4
r
r
d
D
а
15
Площади поверхностей и объемы тел
|
|
Цилиндр (прямой круговой) |
|
h |
Sбоковой 2 Rh, |
|
Sполной 2 R(h R), |
|
|
|
V R2h. |
|
|
Прямоугольный параллелепипед |
c |
d |
d − диагональ параллелепипеда, |
|
d a2 b2 c , |
|
|
|
S 2(ab ac bc), |
|
a |
V abc. |
|
b |
|
|
R |
|
|
|
Конус (прямой круговой) |
|||||||
|
|
l– образующая конуса, |
|||||||
l |
h |
l |
|
R2 |
h2 |
, |
|||
Sбоковой |
Rl, |
||||||||
|
|||||||||
|
|
Sполной |
R(R l), |
||||||
|
|
V |
1 |
R2h. |
|||||
|
|
|
|||||||
|
R |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сфера и шар |
||
|
S – площадь сферы, |
||
|
S 4 R2 D2 , |
||
|
V – объем шара, |
||
|
D |
||
R |
V |
4 |
R3. |
|
|||
|
3 |
|
|
16
Раздел 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определители
|
Обозначение |
Правило вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема вычисления |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2-го порядка |
2 a11 a22 |
a12 a21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Определитель |
Правило треугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 a11 a22 a33 |
a12 a23 a31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a a |
|
a |
|
a a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
a21 |
a22 |
|
a23 |
|
13 |
|
|
32 |
|
13 |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
a |
a |
33 |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a31 a32 |
|
a33 |
|
12 |
21 |
|
|
|
11 |
|
|
23 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение определителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по элементам i-й строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ai1Ai1 ai2Ai2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получение минора |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ain Ain |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к элементу aij |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aik Aik , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n-го порядка |
где Aij − алгебраическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
a11 |
... |
a1n |
|
|
дополнение к элементу aij: |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
a21 |
... |
a2n |
|
|
A 1 i j |
M |
ij |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
... |
... ... |
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
an1 |
... |
ann |
|
|
Mij |
– минор к элементу aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− определитель (n-1)-го |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка, |
получаемый из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определителя n вычёр- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
киванием i-й строки и j-го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
П р и м е р. Вычислить определитель 3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Вычисление по правилу |
|
|
|
|
|
|
|
Разложение по элементам первой |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
треугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 2 3 6 ( 1) ( 2) 1 4 5 8 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
3 5 |
|
4 |
|
|
1 5 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 3 1 2 5 ( 2) 4 ( 1) 6 218 |
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
8 |
6 |
|
|
1 |
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 28 4 ( 46) 1 ( 22) 218 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
17
Виды матриц
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
a21 |
a22 ... |
a2n a |
– матрица размерности m n, |
|
||||||||||||
|
|
|
... ... |
... |
|
ij |
m,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
am3 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где m − число строк; n − число столбцов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Виды матриц |
|
|
|
|
П р и м е р |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
... |
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
... |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
Квадратная |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a2n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
An |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Аn,n An m n |
|
|
|
... ... |
... |
|
... |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
||||||
|
|
|
|
Единичная |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1, |
i j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
En ( ij ) ij |
|
E3 0 1 |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
i j |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Нулевая |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
On (aij) aij |
0, |
i, j |
|
O3 0 |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Диагональная |
|
|
|
|
a |
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
a22 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
Dn (dij ) dij |
0, |
i j |
|
D3 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a33 |
|
|||
|
|
|
Верхняя треугольная |
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
|
|||||
|
|
Tn (tij ) tij |
0 |
при i |
j |
|
T3 |
0 |
|
a22 |
a23 |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a33 |
|
||||
|
|
|
Нижняя треугольная |
|
|
|
a |
|
0 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
a22 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
Tn (tij ) tij |
0 |
при i j |
|
T3 a21 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a32 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
a33 |
|
||||
|
|
Симметричная матрица |
|
|
|
s |
|
a |
|
b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
s22 |
|
|
|
|
||||||
|
S sij sij |
sji |
при i j |
|
|
S a |
|
|
c |
|
||||||||
|
|
|
|
b |
|
c |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s33 |
|
||||
Действия над матрицами
18
Операция |
|
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сложение |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||
(вычитание) |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
||||||||||||
Cm,n Am,n Bm,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
матриц |
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
b21 |
b22 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
сij aij bij |
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
С А В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
21 |
b |
|
|
|
|
a |
22 |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
||||||||
Умножение |
|
Cm,n Am,n |
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
||||||||||||||
матрицы на число |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
||||||||
|
cij aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
С А |
|
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
|
|
a22 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Cm,n Am,l Bl,n |
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Умножение |
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
l |
|
|
a21 |
|
|
|
b21 |
|
b22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сij aik |
bkj |
|
a11b11 a12b21 |
|
|
a11b12 |
a12b22 |
|
|||||||||||||||||||||||||
С А В |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
a b a |
|
b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
22 |
|
|
|
22 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
21 11 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
21 12 |
|
|
22 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операция |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
||||||
транспонирования |
Cm,n An,mT |
|
|
|
|
|
|
|
AT |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
A |
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
11 |
|
21 |
|
|||||||||||||||||||||
матрицы |
C aij Т (aji ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С АТ |
|
|
a21 |
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
a22 |
|||||||||||||||||
|
1. |
Перемена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
местами |
|
двух |
1. |
A |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
~ |
a |
21 |
|
a |
22 |
|
|
|
||||||||||
|
строк |
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
21 |
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||
|
(столбцов); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. |
Умножение |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|||||||||||
|
строки (столбца) |
2. |
A |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
||||||||||||||||||
|
на |
число, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
|||||||
Элементарные |
|
|
|
|
a21 |
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
отличное |
|
от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразования |
нуля; |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Прибавление |
3.A |
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
к |
элементам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
одной |
строки |
a |
|
a |
21 |
|
|
a |
|
a |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(столбца) |
|
соот- |
~ |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ветствующих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
элементов |
дру- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
гой |
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(столбца) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
19