Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1944

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
2.26 Mб
Скачать

Ряды Фурье

Основные понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

 

 

 

 

Тригонометрический ряд Фурье

 

f

x

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для функции f x на отрезке

 

 

(an cosnx bn sinnx),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

a0,an,bn − коэффициенты

Фурье,

 

 

 

 

 

вычисляемые по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)cosnxdx,

n 1,2,...;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)sinnxdx,

n 1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрический ряд Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nx

 

 

nx

 

 

для функции f x на отрезке

f (x)

 

 

 

 

 

 

an

cos

 

 

 

 

bn sin

 

,

 

 

 

2

 

 

 

l

 

l

l,l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a

0

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x)cos

 

 

 

dx,

 

n 1,2,...;

 

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 l

 

 

 

 

 

 

 

 

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)sin

 

 

 

dx,

n 1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

n

 

 

l l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достаточное условие

Теорема Дирихле. Если функция f (x)

 

 

разложимости функции в ряд

непрерывна или имеет конечное число

 

 

Фурье

точек разрыва I рода на отрезке , и

 

 

 

при этом монотонна или имеет конечное

 

 

 

число экстремумов на , , то ряд

 

 

 

 

Фурье функции

f (x) сходится

 

 

 

 

 

x , и его сумма равна:

 

 

 

 

 

1) f (x) для всех точек непрерывности

 

 

 

x , ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x0 0 f x0

0

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для всех точек

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разрыва I рода x0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

f 0 f 0

при x и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончание таблицы

 

109

Основные понятия

 

 

 

 

 

Определение

 

 

Разложение в ряд Фурье четных

f x на отрезке , четная, то bn

0;

и нечетных функций

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

f (x)dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

an

 

 

 

 

f (x)cosnxdx,

n 1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

f x на отрезке , нечетная, то

 

 

 

 

 

 

a0 0;

an 0;

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

bn

 

 

 

f (x)sinnxdx,

n 1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Представление

Разложение в ряд Фурье функции f x

непериодической функции

на произвольном промежутке 0,l

 

рядом Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложение по синусам

 

1.Доопределить f x нечетным

образом на l,0 .

2.Разложить в ряд полученную

Y

 

l

l

X

 

 

нечетную функцию

f (x) на l,l .

 

 

Разложение по косинусам

1.

Доопределить

f x четным образом

на l,0 .

 

 

 

Y

 

 

 

 

X

 

l

l

 

2.

Разложить в ряд полученную четную

функцию

f (x) на l,l

110

Раздел 19. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Волновое уравнение

Уравнение гиперболического типа, или волновое уравнение

 

2U

2

 

2U

 

2U

 

2U

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

2

t

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a const), описывает процессы колебания

струны, мембраны, газа и т.д. Характерная особенность процессов – конечная скорость распространения волны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородное волновое уравнение: Utt

(x,t) a Uxx(x,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая краевая задача

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

Начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x,t) sin

 

 

 

 

 

 

x A cos

 

 

 

 

 

 

 

t B

 

 

sin

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x,0) f (x),

0 x l;

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

l

 

 

n

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

l

 

 

 

Ut (x,0) (x),

0 x l.

 

 

 

 

 

An

 

2

 

l

f (x)sin

n

xdx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(0,t) 0, U(l,t) 0,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

l

 

 

 

 

 

n

xdx, n 1,2,...

 

 

 

t 0 − концы струны x 0 и

Bn

 

 

 

 

(x)sin

 

 

 

an

 

 

 

 

 

x l

жестко закреплены

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая краевая задача

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

Начальные условия:

U(x,t) cos

 

 

 

 

 

x A cos

 

 

 

 

 

 

 

 

t B sin

 

 

 

t

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

U(x,0) f (x),

0 x l;

1l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Ut (x,0) (x),

0 x l.

A0

 

 

f (x)dx , An

 

 

f

(x)cos

 

 

 

 

xdx,

 

 

 

l

l

 

l

 

 

 

 

Граничные условия:

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

l

0

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ux(0,t) 0, Ux(l,t) 0,

B0 0,

Bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)cos

 

 

 

 

xdx,

n 1,2,...

an

 

l

 

 

t 0 − концы струны свободны

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача Коши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бесконечная струна:

 

 

 

 

 

 

Формула Даламбера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x , t 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x at) f (x at)

 

 

 

 

1 x at

 

 

 

 

 

Начальные условия:

U(x,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x,0) f (x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a x at

 

 

 

 

 

Ut (x,0) (x);

0 x l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение теплопроводности

 

U

 

 

 

2

U

 

2

 

 

 

2

U

 

 

Уравнение параболического типа

a2

 

 

 

U

 

 

 

, или

 

t

 

 

x

2

 

y

2

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение теплопроводности. Описывает задачи изучения теплопроводности и диффузии.

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение теплопроводности: Ut a Uxx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая краевая задача

 

 

 

 

 

 

 

U

2 U1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 2

 

 

 

 

 

Начальное условие:

U(x,t) U

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x,0) f (x),

0 x l;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C e

l

 

sin

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия:

 

 

 

 

 

 

2 l

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(0,t) U1, U(l,t) U2 ,

 

 

 

Cn

 

 

 

f (x)sin

 

 

 

 

xdx, n 1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая краевая задача

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

cos

n

x,

 

 

 

Начальное условие:

 

 

U(x,t)

Cne

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x,0) f (x), 0 x l;

1l

 

 

 

 

 

n 0

 

2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

Граничные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C0

 

 

f (x)dx,

Cn

 

 

 

 

 

f (x)cos

 

 

 

 

 

xdx ,

 

 

 

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ux(0,t) 0

, Ux(l,t) 0,

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача Коши

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл Пуассона:

 

 

 

 

 

 

 

Начальное условие:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x)2

 

 

 

U(x,0) f (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

U

(x,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( ) e

 

 

 

4a

t d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

эллиптического

типа

 

2U

 

 

 

2U

 

 

2U

 

0,

 

или

 

x2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

уравнение Лапласа, возникает при исследовании стационарных процессов.

Задача Дирихле для круга

Дан круг радиуса R с центром в начале координат и пусть на окружности задана непрерывная функция f ( ). Найти функцию

U(r, ), удовлетворяющую на окружности условию U(r, )r R f ( )

иуравнению Лапласа в полярных координатах r2Urr rUr U 0.

Ре ш е н и е

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

U(r, )

0

A cosn B

n

sinn rn ,

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

A

 

 

f ( )d , A

 

 

 

 

f ( )cosn d ,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

n

Rn

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

f ( )sinn d , n 1,2,...

 

 

n

Rn

 

 

 

 

 

 

 

 

102

Раздел 20. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Множества. Свойства и операции над ними

Множество М – объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, – пустое множество ( ). Если А В, то А подмножество множества В, если при этом

А В, то А собственное подмножество множества В (А В).

Геометрическое изображение операций над множествами –

диаграммы Венна.

Название операции и Определение Диаграмма обозначение

Объединение

C с|с Aили с B

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

A B

Пересечение

C с|с Aи с B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C A B

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разность

 

U

 

 

 

 

A \ B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C A B

C с|с A и с B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C A\ B

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Симметричная

 

U

 

 

 

A B

разность

C (A\ B) (B \ A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

C A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дополнение A в U

C U \ A

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

C

 

 

С с|с A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103

Свойства операций над множествами

 

Свойства множеств относительно

Свойства множеств относительно

 

операции объединения

операции пересечения

1.

Коммутативность

 

A B = B A

A B = B A

2.

Ассоциативность

 

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

3.

Дистрибутивность

 

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

4.

Идемпотентность

 

А А = А

А А = А

5.

Закон де Моргана

 

A B A B

A B A B

6. Операции с множеством

A =

A = А

7. Операции с множеством U

A U A

A U U U

 

 

 

 

 

U

8. Законы поглощения:

A (A B) = A

A (A B) = A

A

 

U

A

A

 

A

9. Свойства операции разности:

A\ B A

 

, A \ A =

A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

B

(A B) \ C = (A \ C) (B \ C)

A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

(A \ B) \ C = A \ (B C)

(A B) \ C = (A \ C) (B \ C)

A \ (B \ C) = (A \ B) (A C)

A \ (A \ B) = A B

10. Свойства операции

 

 

 

 

 

симметричной разности:

 

 

 

 

 

A B = B A

 

 

 

 

 

A B = (A B) \ (A B)

 

 

 

 

 

(A B) C = A (B C)

 

 

 

 

 

A (B C) = (A B) (A C)

 

 

 

 

 

Бинарные отношения

Понятия

Определения

П р и м е р ы

 

Декартово

A B множество, элементами

A 1,2 ; B 2,3,4

произведение

которого являются всевоз-

 

1,2 , 1,3 , 1,4 ,

 

множеств

 

 

 

 

можные упорядоченные пары

A B

2,2 , 2,3 , 2,4

 

 

 

 

А и B

a,b , где a A,b B

 

 

 

 

2,1 , 2,2 , 3,1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B A

3,2 , 4,1 , 4,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104

Окончание таблицы

 

Понятия

 

 

 

 

 

 

Определения

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р ы

 

 

 

 

Бинарное

 

R

 

всякое

подмножество

 

x, y R "x меньше y"

 

отношение

 

декартова

произведения,

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R A B.

Обозначение:

x R y ,

 

R 1,2 , 1,3 , 1,4

,

2,3 ,

2,4

 

 

 

 

т.е. х находится с y в отношении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R или x, y R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратное

 

 

R 1

a,b |

b,a R

 

 

R 2,1 , 3,1 ,

4,1 ,

 

3,2 , 4,2

 

бинарное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рефлексивность

 

a A:

a,a R

 

 

 

 

(||),(~)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Антирефлексив-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ),( ), ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

a A:

a,a

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Симметричность

 

a,b A:

a,b R

 

 

 

 

( ),(~),(||),( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b,a R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Транзитивность

 

a,b,c A:

a,b R

 

 

( ),(~),(||),( ),( ),( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и b,c R a,c R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правила и формулы комбинаторики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правила комбинаторики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правило умножения

 

 

 

 

 

 

 

Правило сложения

 

 

 

 

Если

из

некоторого

 

конечного

 

Если

из

некоторого конечного

 

 

множества объект а можно выбрать n1

 

множества

 

объект

 

а

 

 

можно

 

 

способами, а объект b n2 способами,

 

выбрать n1

способами,

 

а объект

 

 

то оба объекта (a и b) можно выбрать

 

b

n2

 

способами,

 

 

причем

 

 

n1 n2

способами

 

 

 

 

 

 

 

 

способы

не

пересекаются,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

любой из объектов

 

(a

 

 

или b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно

 

выбрать

 

 

 

 

n1 n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

способами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы комбинаторики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема выбора

Размещения

 

 

 

Перестановки

 

 

 

 

Сочетания

 

 

Без

 

Anm

n!

 

 

 

 

 

 

P

n!

 

 

 

Cnm

 

 

n!

 

 

 

 

 

(n m)!

 

 

 

 

 

 

 

m!(n m)!

 

 

возвращения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Anm

nm

 

Pn(n1,n2,...,nm )

 

 

 

 

Cnm

Cm

 

 

 

 

возвращением

 

 

n1!n2!...nm!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n m 1

 

105

Основные понятия теории графов

 

 

Понятие

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

Граф

G(V, X)

представляет

собой

v2

x2

v3

 

 

непустое

множество

 

вершин

 

x6

 

 

 

 

 

 

 

 

V v1,v2,...,vn и множество ребер Х,

x5

x3

v5

 

x1

 

 

 

 

оба

конца

которых

принадлежат

 

 

 

 

 

x7

v

множеству V

 

 

 

 

 

 

v1

x4

v4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

x (v1,v2 )

ребро

графа, то

Вершины

 

 

 

 

v2 и v4

вершины v1 и v2 инцидентны ребру х

инцидентны ребру x5

 

 

Два ребра, инцидентные одной вершине,

Ребра x1, x2 , x5 смежные, т.к.

смежные

 

 

 

 

 

 

инцидентны вершине v2

 

Степень вершины d(v) графа – число

d(v2 ) 3,

 

вершина

v5

ребер, которым эта вершина инцидентна.

 

Если

d(v)=0,

 

то

 

вершина

висячая,

вершина

v6

изолированная, если d(v)=1, то висячая

изолированная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маршрут (путь)

для

графа

G(V,X) –

v1x1v2x2v3x3v4x5v2

 

последовательность v1x1v2x2v3…xkvk+1.

 

Длина маршрута количество ребер в

Если М=v1x1v2x2v3x3v4x5v2, то

нем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маршрут

замкнутый,

если

его

 

 

 

 

 

 

 

начальная и конечная точки совпадают,

v1x1v2x2v3x3v4x5v2x1v1

 

т.е. v1 vk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Незамкнутый маршрут (путь) – цепь.

 

v2x2v3x3v4

 

 

Цепь, в которой все вершины попарно

 

 

 

различны, называется простой цепью

 

 

 

 

 

 

 

Замкнутый

маршрут

(путь)

цикл

 

 

 

 

 

 

 

(контур). Цикл, в котором все вершины

 

v2x2v3x3v4x5v2

 

 

попарно различны, называется простым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

циклом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Две вершины графа связные, если

Вершины v1 и v3 связные, т.к.

существует

соединяющая

их простая

v1x1v2x2v3

 

 

 

цепь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Два графа изоморфны, если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами их вершин и ребер

106

 

 

 

 

 

 

Виды графов

 

 

 

 

Вид графа

 

 

 

 

 

П р и м е р ы

 

Граф связный, если каждые две его

 

 

 

вершины связные

 

 

 

 

 

 

 

 

Граф полный, если каждые две его

 

 

 

вершины соединены одним и только

G1(X,V)полный, связный и

одним ребром

 

 

 

 

 

Граф плоский (планарный), если его

 

планарный

 

можно изобразить на плоскости так,

 

 

 

что все пересечения его ребер

 

 

 

являются вершинами графа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G2 (X,V) плоское изображение

Граф G называется деревом, если он

графа G1(X,V)

 

 

 

является связным и не имеет циклов.

 

 

 

Граф G, все компоненты связности

 

 

 

которого

 

являются

деревьями,

 

 

 

называется лесом

 

 

 

 

 

 

G3(X,V) лес

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

элементы

множества

Х

 

 

 

упорядоченные

пары,

то

граф

v2

x2

v3

называется

ориентированным,

или

 

орграфом. Если

x (v ,v

2

)

дуга

 

x6

 

 

 

 

1

 

 

 

x1

x5

x3

орграфа, то вершина v1 – начало, а

вершина

v2

– конец дуги

х.

Дуга

 

 

 

x (v1,v1)

петля

 

 

 

 

v

x

v

Степень входа вершины орграфа –

1

4

4

Вершина

v2 – источник, вершина

число входящих в вершину ребер,

степень выхода – число выходящих из

v4 – сток.

 

вершины ребер

 

 

 

вершина,

Путь : v2 v3 v4

 

Источником

называется

 

 

 

 

 

степень входа которой равна нулю, а

 

 

 

степень выхода положительна

 

 

 

 

 

Стоком называется вершина, степень

 

 

 

входа которой положительна, а степень

 

 

 

выхода равна нулю

 

 

 

 

 

 

 

 

Путь в орграфе последовательность

 

 

 

ориентированных ребер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107

 

 

 

Цикл – замкнутый путь

Типы графов

Определение

 

Условия существования

 

Иллюстрирующие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

примеры

 

 

Путь

 

(цикл),

Критерий

существования

 

 

 

 

 

содержащий

 

все

эйлерова цикла:

степени всех

 

 

 

 

 

ребра

графа

и

графа четные

 

 

Есть

эйлеров

 

и

притом

по

одному

Критерий

существования

гамильтонов цикл.

разу,

называется

 

 

 

 

 

эйлеровым

путем

эейлерова пути:

граф имеет

 

 

 

 

 

(циклом).

 

 

ровно две вершины нечетной

 

 

 

 

 

Граф, обладающий

степени

 

 

 

 

 

 

 

эйлеровым

циклом

 

 

 

Есть

эйлеров

цикл,

(путем), называется

 

 

 

но нет гамильтонова

эйлеровым

 

 

 

 

 

цикла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]