1944

y 2y y f (x)

1)

f (x) 2x2

1)

f (x) xcos x

k2 2k 1 0

y

Ax2 Bx C

y

(Ax B)cos x (Cx D)sin x

k1 k2 k 1

2)

f (x) 3e x

2)

f (x) ex sin x

y

ex (C1 xC2 )

y Ax2e x

y ex (Acos x Bsin x)

( 1 k1,2 ,r 2)

Этапы решения ЛНДУ с

П р и м е р :

d

2

x

2 x с

постоянными

коэффициентами и правой

dt2

частью специального вида

1. Для ЛОДУ составить и

ЛОДУ:

d

2

x

2 x 0.

решить характеристическое

dt2

уравнение

Характеристическое уравнение: k2

2 0.

Корни характеристического уравнения: k

i

12

2. Записать общее решение

C1x1(t) C2x2(t) Сcos t Bsin t .

x

ЛОДУ

Замечание. Пусть

С Asin 0;

B Acos 0,

тогда

A(sin 0

cos t cos 0

sin t).

x

Получаем

функцию

простого

гармонического

Asin( t 0 ) , где А – амплитуда

колебания

x

колебания; – частота; 0 – начальная фаза

3. По правой части

Правая часть имеет специальный вид первого

подобрать вид частного

типа: f (t) c ce0t .

решения

Имеем 0 i r 0 x

D

4. Найти неопределенные

Подбираем неопределенный коэффициент D

коэффициенты и записать

для частного решения

x

D:

частное решение ЛНДУ

x

0

x

x

D 0;

. Подставим x

и

в дифференциальное уравнение:

0 2D c D

c

x

c

2

2

5. Записать общее решение

c

x x x

Asin( t 0)

ЛНДУ

2

Пусть y C1 y1

C2 y2

– общее решение ЛОДУ второго порядка.

Постоянные С1

и С2

заменяются функциями С1(х) и С2(х) и

____

Пусть исходная функция задана таблицей xi, yi , i 1,n .

xi

x1

x2

…

xn

yi

y1

y2

…

yn

n

n

минимизировать сумму S

i

y

(x ) y

2

, где x ,

y

i

− значения

i 1

i

i

i

i 1

опытных данных;

y

(xi ) − значение функции, взятое на эмпирической

зависимости в точке xi ; n − число

Y

опытов. Предположим, что между x и y

y kx b

существует

линейная

зависимость,

yi

i

выражающаяся

формулой

y ax b.

y

i

Требуем, чтобы квадратичное отклонение

n

S axi b yi 2 было минимальным.

X

i 1

x1 x2

xi

xn

Функция S имеет минимум в тех точках,

в которых

частные производные от S

по

параметрам

a и b

преобразований получаем

систему

линейных уравнений для

n

n

n

y

,

a x2

b x

i

x

i

i 1

i

i

i 1

i 1

определения a и b:

n

n

a xi b n yi.

i 1

i 1

Метод половинного деления

Y

Пусть

f (x)

непрерывна на a,b и

f (a) f (b) 0.

f (b)

a,b

Делим

отрезок

пополам,

a

c(a1)

b(b1)

c

a b

−

середина

отрезка. Если

X

2

f (c) 0 c − корень уравнения.

f (a)

Если

f (c) 0

выбираем одну

из

половин,

где

f (c) f (xгран) 0,

xгран

− или a, или b.

Отрезок c,xгран a1,b1 снова делим пополам и выполняем те же

действия.

a2,b2 ,…,

a1,b1 ,

an,bn

−

последовательность вложенных

отрезков, где

b a

b a

.

Итерационный процесс прекращается,

n

n

2n

когда

bn an

и/или

f (cn )

, где

−

заданная

точность

нахождения корня.

Метод хорд

Пусть

f (x) непрерывна на a,b и меняет знак на данном отрезке.

Y

f (a)

Пусть

f (a) 0,

f (b) 0.

a,

Проведем хорду, соединяющую точки

f (a) и b, f (b) . Уравнение хорды:

Разностная схема Эйлера

Рассмотрим задачу Коши:

dy

f (x, y);

y(a) y0.

Делим отрезок a,b на

dx

N

шагов:

h xk 1

xk

(b a)/ N .

Заменяем

значения

функции

y

в узлах

xk значениями сеточной

функции

yk :

yk 1

yk y (xk )h.

Из исходного уравнения имеем

y (xk ) f (xk , yk ). Формула метода Эйлера:

yk 1 yk

hf (xk , yk ).

При

k 0

y1 y0 hf (x0, y0),

значение

y0

находим из

начального условия. При k 1

y2 y1

hf (x1, y1)

и т.д.

Геометрический смысл схемы Эйлера: замена

y(x) на отрезке

Методы Рунге Кутта

Если

в

формуле

Эйлера заменить

f (xk , yk )

на более общее

выражение fˆ(xk , yk ),

то получаем общую формулу одношагового

метода: yk 1

yk

h fˆ(xk , yk ), y(a) y0.

Вместо дифференциального

уравнения решается нелинейное разностное уравнение.

Формула

Вспомогательные величины

Название

fˆ

1

k

k

k1 f (xk, yk ),

2

1

2

k2 f (xk

h, yk h)

Улучшенная

h

h

ломаная

fˆ f x

k

,

y

k

k

k f (x

k

, y

k

).

2

2

1

1

k1 f (xk , yk ),

fˆ

1

k1

4k2 k3

h

h

k2

f xk

, yk

k1

,

Формулы Хойне

2

2

6

k3 f xk h, yk 2hk2 hk1 .

k1 f (xk , yk ),

h

h

k

2

f x

k

, y

k

k

,

1

2

Формулы Рунге–

k1

k4

2 1

fˆ

2k2

2k3

h

h

Кутта

6

k3

f xk

,

yk

k2

,

2

2

k4 f xk h, yk hk3

Основные

Определение

понятия

Понятие

a1 a2

a3

... an

числового ряда

... an – числовой ряд, где

n 1

a1,a2,...,an,... − члены ряда, образующие бесконечную

последовательность; an

− общий член ряда. Ряд задан, если

an f (n)

Виды числовых

– знакоположительный, если an 0 .

рядов

Ряд

an

n 1

Ряд

an ,

содержащий бесконечное

множество

положи-

n 1

тельных и бесконечное множество отрицательных членов,

называется знакопеременным.

Ряд a a

a

...

1 n 1a

...

–

2

3

n

1 n 1a

n

1

n 1

знакочередующийся , где an 0

Частичные

S1 a1,

S2

a1 a2 ,…

суммы ряда

Sn a1

a2

... an − n-я частичная сумма ряда

Сходимость и

Если

lim Sn

S, то ряд называется

сходящимся,

а S –

сумма ряда

n

суммой ряда, в противном случае − ряд расходящийся

Свойства рядов

1. Если

an

сходится и его сумма равна S , то can , где c

n 1

n 1

− произвольное число, также сходится и его сумма равна сS .

S

и S

2. Два сходящихся ряда an и

bn

с суммами

n 1

n 1

bn

можно почленно складывать или вычитать. Ряд an

сходится и имеет сумму S S .

n 1

3. Если у сходящегося (расходящегося) ряда отбросить

конечное число его членов, то полученный ряд также будет

сходится (расходится)

Признаки сходимости

Необходимый признак сходимости числового ряда

сходится, то lim an

0.

Если an

n 1

n

Следствие. Если lim an 0, то

an расходится.

n

n 1

Название

Определение

Если an bn n,

то:

Первый

сходимость ряда

1) из сходимости ряда

bn

an ;

признак

n 1

n 1

сравнения

2) из расходимости ряда an

расходимость ряда bn

n 1

n 1

Если lim

an

c

0 c , то:

n b

n

1) при 0 c

Второй

an

и

bn

сходятся и

расходятся

одновременно;

n 1

n 1

признак

сравнения

2) при с 0 из сходимости

bn сходимость

an ;

n 1

n 1

3) при с из расходимости

bn расходимость an

n 1

n 1

Признак

lim

an 1

p

p 1,рядсходится;

Даламбера

n an

p 1,рядрасходится;

Радикальный

n

признак

lim

an

p

p 1,признакне работает

Коши

n

Пусть f x − положительная, непрерывная и убывающая

Интеграль-

функция на 1, ,

такая, что a1 f 1,

a2 f 2,...,an f n,...,

f x dx

ный признак

Если соответствующий несобственный интеграл

Коши

1

сходится (расходится), то и ряд

an

сходится (расходится)

n 1

Ряды-эталоны

Сходимость рядов

П р и м е р

1

сходится

q

1, ряд сходится;

Геометрическая

n

aqn

n 13

прогрессия

n 1

q

1, ряд расходится

(q

1

1)

3

1

расходится

Обобщённый

1

1,

ряд сходится;

n

n 1

гармонический

0 1,

ряд расходится

1

n 1

ряд

n

(

1)

2

Рекомендации к использованию признака Даламбера

Признак целесообразно применять, когда общий член содержит

n!(n ! 1 2 3 4 ... n

– n-факториал). При n для приближенного

Виды

Определение

сходимости

Абсолютная

сходимость

Знакопеременный ряд

an сходится абсолютно, если ряд

n 1

an

, составленный из абсолютных величин, сходится

n 1

Условная

сходимость

Знакопеременный ряд

an сходится

условно, если сам он

n 1

сходится, а ряд

an

расходится

n 1

Достаточный

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

признак