Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1944

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Вычисление криволинейного интеграла II рода

	Формулы						П р и м е р
Параметрическое представление					Найти работу силы
кривой	интегрирования				F (8x 4y 2)i (8y 2) j, где L –
x x(t), y y(t),t t ,t		2	:		контур ОВА, пробегаемый в
	1	2			контур ОВА, пробегаемый в
P(x,y)dx Q(x, y)dy								положительном
P(x,y)dx Q(x, y)dy					Y	6 A		направлении, и
L								A(3,6), B(0,6),O(0,0)
t2								Р е ш е н и е
P(x(t),y(t))xt Q(x(t),y(t))yt dt								Р е ш е н и е
t1								По свойству
							3 X	аддитивности:
					O	B					.
								L	OB	BA	AO
							x 0,3,
Явное	представление			кривой	АО: y 2x,		x 0,3,		dy 2dx,
интегрирования					(8x 4y 2)dx (8y 2)dy
y y(x),	x a,b :				(8x 4y 2)dx (8y 2)dy
y y(x),	x a,b :				АO
					0
					(8x 4 2x 2)dx (8 2x 2) 2dx 234.
					3		x 0,3,
P(x, y)dx Q(x, y)dy					ОВ: y 0,		x 0,3,		dy 0,
L					(8x 4y 2)dx (8y 2)dy
L
b					OB
P(, y(x)) Q(x, y(x))y (x)dx					OB
P(, y(x)) Q(x, y(x))y (x)dx					3
a					(8x 2)dx 42.
Y					0		y 0,6 ,
Y					ВА: x 3,			dx 0,
					ВА: x 3,			dx 0,
Fk	B				(8x 4y 2)dx (8y 2)dy
	B				(8x 4y 2)dx (8y 2)dy
					ВА
					6
A					(8y 2)dy 156.
A					0
			X		А 243 42 156 36.
a	b				Проверим		полученный				результат,
					используя формулу Грина. Имеем
					замкнутый контур – треугольник ОВА.

					Py (8x 4y 2)y 4, Qx (8y 2)x 0,
							3	2y
					A 4dxdy 4 dx dy 36
					D		0		0

Вычисление поверхностного интеграла II рода

Формулы

П р и м е р

F n d (Pcos Qcos Rcos )d .

Вычислить xdydz zdzdx 5dxdy.

Если поверхность задана на области D

А)

По

верхней

стороне части

плоскости OXY функцией z z(x, y), то

плоскости

2x 3y z 6,

лежащей

Rcos d R(x, y,z(x, y)) dxdy,

в IV октанте.

Dxy

Б) По внешней стороне пирамиды,

где Dxy

– проекция поверхности

на

ограниченной

плоскостями

ОXY. Знак плюс или минус перед

2x 3y z 6,

x 0, y 0, z 0.

двойным

интегралом

берется

Р е ш е н и е

зависимости от

ориентации поверхности

(cos

будет

положительным

или

отрицательным).

Dyz

Dxz

-2

А)

Нормальn (2; 3;1),

соответ-

Аналогично:

ствующая

указанной

стороне

Rcos d R(x(y,z), y,z) dydz;

поверхности,

образует с осью OY

Dyz

тупой угол, а

осями OX и OZ –

Rcos d R(x, y(x,z),z) dxdz;

острые углы.

Dxz

сos

F n d (Pcos Qcos Rcos )d

4 9 1

P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy

cos

P(x(y, z)y, z)dydz

Q(, y(x, z)z)dxdz

xdydz zdzdx 5dxdy

Dyz

Dxz

R(x, y,z(x, y,))dxdy

Dxy

( 3

)dydz

Dyx

zdzdx 5 dxdy 9.

Dxz

Dxy

Б) По формуле Стокса имеем:

xdydz zdzdx 5dxdy

( 1 0 0)dxdydz dv 6

V V

Раздел 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Скалярное поле

Понятия

Определения и формулы

П р и м е р

Определение

Скалярное

поле

–

часть

Найти производную функции

поля

пространства, в каждой точке

u 3x2 5y2

в точке А(1,-1) по

М(x,y,z)

которого

задана

направлению

к точке В(2,1).

скалярная функция u f (x, y,z)

Определить

величину

Геометри-

Поверхность (линия) уровня

направление

максимального

ческие

скалярного

поля

есть

роста данной функции в точке

характерис-

геометрическое место точек, в

А.

тики

которых

функция

принимает

Р е ш е н и е

скалярного

постоянное

значение,

т.е

u A ux(A)cos uy (A)cos

поля

u(М)=с.

u f (x,y)

Для плоского

поля

ux 6x, uy

10y,

линия уровня

f (x, y) c,

для

ux (A) 6 1 1,

пространственного

поля

uy (A) 10 ( 1)

10.

u f (x, y,z)

поверхность

s AB (1,2),

уровня

f (x, y, z) c

s 12 22

Производная

u u cos u cos

функции

cos sx

u f (x, y,z)

u cos ,

по

где

направлению

вектора s

(cos ,cos ,cos )

cos

Градиент

_________

функции

grad u

u f (x, y,z)

(A) 6

Связь между

Функция

направлении

характерис-

grad u

вектора AB убывает.

тиками

Градиент

указывает

направление,

котором

функция растет быстрее, чем

по другим направлениям.

gradu(A) ux (A), uy (A)

u пр

_______

grad u,

gradu(A) (6, 10).

max u

_______

Максимальный рост в точке А

gradu

соответствует

длине

вектора

градиента:

grad u(A)

62 10 2 136

Векторное поле

Основные

Формулы и поясняющие рисунки

П р и м е р

понятия

Определе-

Векторное поле – часть пространства, в

Поле

линейных

ние поля

каждой точке М(x,y,z)

которого задана

скоростей

векторная функция

вращающегося тела

ax (x,y,z)i ay (x, y,z) j az (x,y,z)k .

имеет вид:

V yi x j

Для плоского поля a ax (x,y)i ay (x,y) j

Геометри-

Векторные линии – кривые, в каждой

ческие

точке которых вектор поля направлен по

характерис-

касательной:

M(x, y,z)

тики

Векторная трубка – поверхность,

образованная векторными линиями

Поток

Поток вектора а через поверхность

–

вектора

интеграл по поверхности от скалярного

через

произведения вектора поля на единичный

Найти:

поверх-

вектор нормали к поверхности:

А) векторные линии

ность

П anod

поля;

Б)

дивергенцию

поля;

Диверген-

Дивергенция вектора а – скаляр, равный

В)

циркуляцию

ция

объемной

плотности

потока

вектора поля;

векторного

рассматриваемой точке поля:

Г) ротор поля.

поля

an0d

Р е ш е н и е

А) Имеем

плоское

div а lim

векторное поле:

V 0

ax y, ay x.

где – замкнутая поверхность,

ограничивающая объем V; n0 – орт ее

внешней нормали;

объем

V 0

xdx ydy,

стягивается к рассматриваемой точке.

Расчетная формула:

0 dy xdz.

div a

Интегрируем:

x2 y2 c1,

Связь

Векторная формулировка теоремы Гаусса

z c2.

между

– Остроградского:

Т.о., векторные ли-

характерис-

div a dV

нии – окружности с

центрами на оси OZ,

тиками

лежащие в плоскос-

тях, перпендикуляр-

ных к этой оси

Продолжение таблицы

Циркуля-

Пусть

r xi y j zk

–

радиус-вектор

ция

точки

М на контуре L.

вектор-

Циркуляция

вектора

вдоль

–

Б)

ного поля

криволинейный

интеграл

по

divV(M)

( y)

замкнутому контуру

L от

скалярного

произведения вектора а на вектор dr ,

( x) 0.

касательный к контуру L.

С ad axdx aydy azdz .

В) Будем считать, что

направление нормали к

Физический смысл: Fdr А – работа

плоскости

совпадает

направлением оси OZ.

силы

F(M)

поля

при

перемещении

С ydx xdy

материальной точки вдоль замкнутого

контура L

Ротор

Ротор поля

– вектор,

проекция

2 ( ydx xdy)

rot a

2 L

где

–

вектор-

которого

на

любое

направление

2 S ,

ного поля

площадь

поверхности,

равна

поверхностной

плотности

ограниченной

кривой

циркуляции по контуру площадки,

перпендикулярной

этому

Заметим,

что

если

направлению.

нормаль к поверхности

lim

образует

угол

(rot a)n0

rotn a(M)

осью

OZ,

то

циркуляция

где

–

поверхность,

натянутая

на

замкнутый контур L;

– орт нормали

2 S cos .

Г) rotV(M)

к поверхности, направленный в ту

сторону поверхности,

с которой обход

контура

виден

совершающимся

против часовой стрелки.

Расчетная формула:

( x)

( y)

rotn a(M)

( x)

( y)

=2 k

Окончание таблицы

1			2		3
	Векторная формулировка теоремы Стокса:			Ротор	поля		нап-
	ad rotn а d			равлен	параллельно
	L			оси вращения, его
	Z			модуль			равен
Связь				удвоенной		угловой
	n			скорости.		С	точ-
между				ностью	до		число-
характе-
				вого	множителя
ристиками		L
			Y	ротор	поля		ско-

	X			ростей		представ-
				ляет собой угловую

				скорость		вращения
				твердого тела

Классификация векторных полей

Вид поля

Свойства

П р и м е р ы

1.П an0d div а dV 0.

Поле

линейных

скоростей

вращающегося твердого тела.

Соленои-

Для

поля

скоростей

текущей

2.П an0d

an0d , где

жидкости П=0 означает, что

дальное,

количество жидкости,

входящей

div а 0

1, 2

– произвольные

в трубку за единицу времени,

поперечные сечения векторной

равно

количеству

жидкости,

вытекающей из нее, т.е.

в поле

трубки

нет источников и стоков

1. u(x, y, z)

Для

силового

потенциального

– потенциал поля:

поля равенство C=0, означает,

Потенци-

а grad u.

что работа силы по любому

замкнутому

контуру

равна

альное,

2. а d u(B) u(A).

нулю. В поле скоростей текущей

rot а 0

жидкости

равенство

C=0

3.С rotаn0d 0

означает, что в потоке нет

замкнутых

струек

(водо-

воротов)

Гармони-

divа divgradu

Поле

линейных

скоростей

ческое,

div(

стационарного

безвихревого

div а 0,

потока жидкости при отсутствии

rot а 0

в нем источников и стоков

является гармоническим

z2 u 0

Раздел 16. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ)

Основные понятия

Понятия

ДУ 1 порядка

ДУ 2 порядка

Общий вид

F(x, y, y ) 0

F(x, y, y , y

)

ДУ,

y f (x, y)

разрешенное

или в дифференциальной

относительно

форме

f (x, y, y )

производной

P(x; y)dx Q(x; y)dy 0

y f

(x, y),

f (x, y, y ),

Задача Коши

y(x0) y0,

y(x0) y0

(x0)

y (x,С1 ,С2 )

y (x,C0)

Геометри-

y (x,C)

–

общее

y (x,C1,C2 )

–

общее

решение,

представляет

ческая

решение.

интерпретаци

семейство

интегральных

,С

)

–

частное

я решения ДУ

кривых.

y (x,C

y (x,C0)

–

частное

решение ДУ, удовлетворяющее

решение

ДУ,

начальным условиям

удовлетворяющее

y(x0) y0 ,

y (x0 ) y0 .

начальному

условию

Решение задачи Коши состоит

y(x0) y0.

Коши

нахождении

интегральной

Решение

задачи

кривой,

проходящей через

состоит

нахождении

точку

(x0; y0 )

имеющей

интегральной

кривой

данный

угловой

коэффициент

y (x,С0),

проходящей

касательной t

через точку (x0; y0 )

Интегрирование ДУ первого порядка

Тип

Уравнение

Решение

ДУ с

Применяем почленное

разделенн

M(x)dx N(y)dy 0

интегрирование

ыми

M(x)dx N(y)dy C –

переменны

общий интеграл

ми

ДУ с

Делим на

y f (x)g(y)

N1(y)M2 (x) 0

разделяющ

применяем

почленное

имися

или в дифференциальной форме

интегрирование

переменны

M1(x)N1(y)dx M2(x)N2(y)dy 0

M1(x)

N2 (y)

dy C

ми

M2 (x)

N1(y)

y f (

Подстановка t

), где f (tx,ty) f (x, y)

Однородно

Тогда y tx,

или M(x; y)dx N(x; y)dy 0,

t x t ,

е ДУ

гдеM(tx,ty) tk M(x; y)

lnCx

– общий

f (t) t

N(tx,ty) tk N(x; y)

интеграл

y P(x)y Q(x)

y Ce Pdx

– общее

решение ЛОДУ

Решение ЛНДУ:

Если Q(x) 0, то

1) метод Бернулли

Подстановка

y P(x)y 0 –

y u(x)v(x).

Линейное

линейное однородное ДУ (ЛОДУ)

Тогда ЛНДУ:

ДУ (ЛДУ)

ЕслиQ(x) 0, то

v (x) P(x)v(x) 0;

y P(x)y Q(x) –

u (x)v(x) Q(x)

линейное неоднородное ДУ

2) метод Лагранжа

(ЛНДУ)

y С(x)e Pdx

e Pdx (C Qe Pdxdx)

общее решение ЛНДУ

Уравнение

y P(x)y Q(x)yn

Подстановка z y n 1

Бернулли

(n 0, n 1)

или y u(x)v(x)

Уравнение

M(x; y)dx N(x; y)dy 0,

в полных

M(x; y)dx

N(x0; y)dy C

дифференц

иалах	если	M	N
	если		x
		y	x

Интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка

Уравнения, допускающие понижение порядка

y(n) f (x)	F(y(n),..., y(k), x) 0
	явно отсутствует y
	явно отсутствует y


		Подстановка
n-кратное		Подстановка
n-кратное		y(k)	z
интегрирование		y(k)	z
Если		y(k 1) z и т.д.
y f (x, y), то
y (F(x) C1)dx C2
		Если F(x,y ,y ) 0,
		то y		z
		то y	z, y	z

F(y, y ,.., y(n) ) 0

явно отсутствует x

Если

F(y, y , y ) 0,

топодстановка y p;

т.к.dy p, то dx dy ;

	dx			p
yxx	px	dp	dp	р
		dx
			dy

Теоремы о структуре общего решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Формулировка теоремы			Формула
Общее решение ЛОДУ
y p(x)y q(x)y 0	y C1 y1 C2 y2 ,
есть линейная комбинация двух линейно-	где C ,C	2	– произвольные
независимых частных решений	1	2
независимых частных решений	постоянные
y1 y1(x) и y2 y2 (x)

Общее решение ЛНДУ	y y y ,
	где y – произвольное частное
y p(x)y q(x)y f (x)
	решение ЛНДУ;		– общее
есть сумма его произвольного частного		y
решения ЛНДУ и общего решения	решение соответствующего
соответствующего ЛОДУ	ЛОДУ

Частное решение ЛНДУ

	y py qy f1(x) f2 (x)				y
есть сумма частных решений уравнений					y	y1	y2 ,
есть сумма частных решений уравнений				где y1	и y2 − частные
y	py qy	f1(x),	(1)	где y1	и y2 − частные
y	py qy	f2 (x)	(2)	решения уравнений (1) и (2)

Интегрирование однородных линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

	ЛОДУ						y py qy 0
1.	Характерис-	k2	pk q 0				(т.к. вид частного решения y ekx )
тическое		k2	pk q 0				(т.к. вид частного решения y ekx )
уравнение
2.
Дискриминант		D 0					D 0			D 0
D p2 4q
3.	Корни									k1 i C
характе-		k1 k2 R				k1 k2 k R				k1 i C
ристического		k1 k2 R				k1 k2 k R				k2 i C
ристического										k2 i C
уравнения
4.	Общее	C ek1x	C	2	ek2x	C ekx xC		2	ekx	e x (C1 cos x
решение		1		2			1	2		C2 sin x)
решение										C2 sin x)

Интегрирование линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Вид правой части	f (x) e xP (x)			f (x) e x[P (x)cos x
f (x)				n
			n	Qm (x)sin x]

Вид частного	y xre xQn (x),			y xre x[PN (x)cos x
решения	где	–	корень	QN (x)sin x],

	кратности		r	где i – корни кратности r
	характеристического			характеристического уравнения;
	уравнения;
				PN (x) и QN (x) – многочлены
	Qn (x)– многочлен
				степени N max(n;m)
		степени n,

	записанный в общем
		виде
Подбор частного решения по виду правой части

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021341.93 Кб13194.pdf
#
07.01.20212.25 Mб21940.pdf
#
07.01.20212.25 Mб71941.pdf
#
07.01.20212.25 Mб241942.pdf
#
07.01.20212.26 Mб661943.pdf
#
07.01.20212.26 Mб141944.pdf
#
07.01.20212.27 Mб81945.pdf
#
07.01.20212.27 Mб91946.pdf
#
07.01.20212.27 Mб41947.pdf
#
07.01.20212.27 Mб201948.pdf
#
07.01.20212.28 Mб181949.pdf