1944
.pdf
И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ
(В ФОРМУЛАХ, ТАБЛИЦАХ, РИСУНКАХ)
Учебное пособие
Омск – 2010
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная
академия (СибАДИ)»
И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ
(В ФОРМУЛАХ, ТАБЛИЦАХ, РИСУНКАХ)
Учебное пособие
Издание 2-е, исправленное и дополненное
Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям:
190600 «Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования»,140500«Энергомашиностроение»,
140600«Электротехника, электромеханикаи электротехнологии»
Омск
СибАДИ
2010
УДК 51(083) ББК 22.1я 2 Б 12
Рецензенты:
А.К. Гуц, д-р физ.-мат. наук, профессор, декан факультета компьютерных наук, заведующий кафедрой кибернетики Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского;
Л.Г. Кузнецова, д-р пед. наук
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов инженерных специальностей.
Бабичева И.В., Болдовская Т.Е.
Б 12 Справочник по математике (в формулах, таблицах, рисунках): учебное пособие / И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская. – 2-е изд., исп. и доп. – Омск:
СибАДИ, 2010. – 148 с.
ISBN 978-5-93204-540-4
Содержит основные понятия, определения, формулы элементарной и высшей математики, знание которых необходимо как при ознакомлении с курсом высшей математики, так и при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Материал справочника иллюстрирован большим количеством рисунков, таблиц и схем.
Адресован студентам инженерных специальностей.
ISBN 978-5-93204-540-4 |
© ГОУ «СибАДИ», 2010 |
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
|
||
Условные обозначения . . . . . . . . .. |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . |
.. . . . . . . |
. . ..6 |
|
Раздел 1. АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7 |
|||||
Действия с дробями (7). Пропорции (7). Квадратное уравнение (7). Разложение |
||||||
квадратного трехчлена на множители (7). Формулы сокращенного умножения |
||||||
(8). Действия со степенями и корнями (8). Логарифмы (8). Прогрессии (9). |
||||||
Проценты (9). Средние величины (9). |
|
|
|
|
||
Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ . . . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . |
..10 |
|
Сравнительная таблица градусной и радианной мер углов (10). |
||||||
Тригонометрические функции и их знаки (10). Значения тригонометрических |
||||||
функций некоторых углов (11). Тригонометрические тождества (12). Формулы |
||||||
приведения (13). |
|
|
|
|
|
|
Раздел 3. ПЛАНИМЕТРИЯ И СТЕРЕОМЕТРИЯ . . . |
. . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . ... |
14 |
|||
Площади фигур (14). Площади поверхностей и объемы тел (16). |
|
|
||||
Раздел 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА . |
. . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..17 |
||||
Определители (17). Виды матриц (18). Действия над матрицами (19). Системы |
||||||
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (20). Обратная матрица и ее |
||||||
нахождение (21). |
Собственные векторы, |
собственные значения матрицы и их |
||||
нахождение (24). |
|
|
|
|
|
|
Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..25 |
|||
Векторы и координаты (26). Линейные операции над векторами (27). |
||||||
Нелинейные операции над векторами (28). |
|
|
|
|
||
Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. . . . |
. . . . . . ... 29 |
|||||
Системы координат (29). Метод |
координат (30). |
Уравнения |
прямой |
на |
||
плоскости (31). Взаимное расположение прямых (32). Кривые второго порядка |
||||||
(33). Замечательные кривые (35). |
|
|
|
|
|
|
Раздел 7. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . . . . . . ..36 |
||||||
Системы координат в пространстве (36). Уравнения плоскости (37). Частные |
||||||
случаи положения плоскости в пространстве (38). Взаимное расположение |
||||||
плоскостей (39). |
Уравнения |
прямой в пространстве (40). Взаимное |
||||
расположение прямых в пространстве (41). Взаимное расположение прямой и |
||||||
плоскости (42). Поверхности второго порядка (43). |
|
|
|
|||
Раздел 8. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ . . . . . . . . . |
. . .. . . . |
...45 |
||||
Числовые множества (45). Функция, способы ее задания и свойства (45). |
||||||
Графики основных элементарных функций (47). Правила построения графиков |
||||||
функций сдвигами и деформациями графиков известных функций (50). Предел |
||||||
функции(51). Правила вычисления пределов (51). Непрерывность функции (53). |
||||||
Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ |
||||||
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . . |
. . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . ..54 |
|||
Понятие производной (54). Основные |
правила |
дифференцирования |
(54). |
|||
Таблица производных (55). Дифференцирование различных функций (56). |
||||||
Дифференциал функции (56). Правило Лопиталя (56). Исследование функций и |
||||||
построение графиков (57). |
|
|
|
|
|
|
Раздел 10. |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . ...62 |
|
Векторная |
функция скалярного аргумента |
(62). Числовые |
характеристики |
кривой (63). |
|
|
|
Раздел 11. |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ |
|
|
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. . .. . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . ..64 |
|
Частные производные функции и их нахождение (64). Дифференцирование |
|||
различных функций (65). Дифференциал и его приложения (65). Исследование |
|||
функции двух переменных на экстремум (66). |
|
|
|
Раздел 12. |
Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . |
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ...67 |
|
Понятие комплексного числа (67). Формы записи и операции над комплексными числами (68). Основная теорема алгебры (68). Иллюстративные примеры (69). Раздел 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . ........................70 |
Неопределенный интеграл и его свойства (70). Таблица простейших интегралов (70) . Методы интегрирования (71). Интегрирование различных функций (72). Определенный интеграл, его свойства и вычисление (76). Несобственные интегралы (77). Геометрические приложения определенного интеграла (78). Примеры задач на геометрические приложения определенного интеграла (80).
Раздел 14. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ |
|
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
.81 |
Интегралы от скалярной функции (81). Физические приложения двойных и
тройных интегралов (82). Вычисление двойного интеграла (83). Вычисление тройного интеграла (84). Физические приложения интегралов I рода (86).
Вычисление криволинейного интеграла I рода (87). Вычисление поверхностного интеграла I рода (87). Криволинейные и поверхностные интегралы II рода (по
координатам) (88). Теоремы о связи между интегралами (89). Вычисление криволинейного интеграла II рода (90). Вычисление поверхностного интеграла II
рода (91). |
|
Раздел 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
Скалярное поле (92). Векторное поле (93). Классификация векторных полей (95).
Раздел 16. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ).... |
96 |
Основные понятия (96). Интегрирование ДУ первого порядка |
(97). |
Интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка (98). Теоремы о структуре общего решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка (98). Интегрирование однородных линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (99). Интегрирование линейных неоднородных
ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой |
частью |
специального вида (99). |
|
Раздел 17. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . .101 |
Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов (101). Приближенные методы решения уравнений вида f (x) 0 (102). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (103).
Раздел 18. РЯДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Числовые ряды. Основные понятия (104). Признаки сходимости (105). Степенные ряды. Основные понятия (107). Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (108). Ряды Фурье (109).
Раздел 19. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. . . . . .. . . . . . . . . ..111 Волновое уравнение (111). Уравнение теплопроводности (111). Уравнение Лапласа (112). Задача Дирихле для круга (112).
Раздел 20. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...113
Множества. Свойства и операции над ними (113). Бинарные отношения (114). Правила и формулы комбинаторики (115). Основные понятия теории графов (116). Виды графов (117). Типы графов (118). Операции над графами (118). Способы задания графов (119).
Раздел 21. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. . . . . . .. . . . . . . . 120 Операции над высказываниями (120). Булевы функции (121). Основные законы математической логики (121). Формы представления булевых функций (122).
Раздел 22. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...123
Случайные события и действия над ними (123). Вероятность события (124) Теоремы сложения и умножения вероятностей (124). Последовательность независимых испытаний (125). Формы закона распределения случайной величины (126). Числовые характеристики случайной величины (127). Основные законы распределения вероятностей (128). Закон больших чисел (129).
Раздел 23. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 130
Выборки (130). Статистические оценки параметров распределения (130). Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности (132).
ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...134 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...135
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приложение 1. |
Значения функции (x) |
|
|
|
|
|
e |
2 |
. . |
. |
. . |
. . . . . . . . . . . . ... |
135 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приложение 2. |
Интеграл вероятностей Ф(x) |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 dz . . . . . . . . . . ... |
136 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Приложение 3. |
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
||||
Квантили t – распределения Стьюдента . |
. |
. . |
. . . . . . . . . . . . . ... |
137 |
||||||||||||
Приложение 4. |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
138 |
||||
Квантили ,k распределения |
k . |
. |
. |
|
. . |
. |
. . |
. . . . . . . .... . .. . .. |
||||||||
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. |
|
. |
. |
. . |
|
|
. . |
. |
. . |
. . . . . . . . . . . . . ... |
139 |
|||
Я слышу и забываю, Я вижу и запоминаю, Я делаю и понимаю.
Конфуций
Условные обозначения
Математика – наука формализованная. В течение веков выкристаллизовывались ее язык, ее символика, способствующие компактности изложения материала.
1.– принадлежать, – не принадлежать.
2.– объединение, – пересечение.
3.– логическое следствие.
3.– логическая эквивалентность (тогда и только тогда).
4.– квантор всеобщности (для любого, для всякого).
5.– квантор существования.
n
6.– сумма: a1 a2 ... an ai .
i1
7.|| – параллельность (прямых), коллинеарность (векторов).
8.– перпендикулярность (прямых, векторов).
9.– сонаправленность (векторов), – противоположная
направленность (векторов).
10.= – равно, – не равно.
11.– приближенно равно.
12.> – больше, < – меньше.
13.– больше или равно, – меньше или равно.
14.% – процент (сотая доля).
Раздел 1. АЛГЕБРА
Действия с дробями
a |
|
c |
|
ad bc |
, |
a |
|
c |
|
ac |
, |
a |
|
c |
|
a |
|
d |
|
ad |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b d |
|
bd |
b d bd |
b d b c bc |
|||||||||||||||||
Пропорции
Пропорцией называется равенство двух отношений: a c или b d
a:b c:d . Основное свойство пропорции: ad bc.
Перестановка членов пропорции
a:b c:d d : b c: a a:c b:d d : c b: a
c: d a:b b: d a:c c: a d :b b: a d :c
Квадратное уравнение
Вид уравнения |
Корни уравнения |
ax2 bx c 0 |
x |
b b2 4ac |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1,2 |
|
2a |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 c 0 |
|
x1,2 |
|
c |
|
|
|
|
|||
|
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
ax2 bx x ax b 0 |
x1 0, x2 |
|
b |
|
|||||||
a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 px q 0 |
|
|
Т. Виета |
||||||||
x1 x2 p, |
x1 x2 q |
||||||||||
|
|||||||||||
Разложение квадратного трёхчлена на множители
ax2 bx c a x x1 x x2 , x2 px q x x1 x x2 .
Формулы сокращённого умножения
a b 2 a2 2ab b2 ,a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3,
a2 b2 a b a b , a3 b3 a b a2 ab b2 ,
am bm a b am 1 am 2b ... abm 2 bm 1 .
Действия со степенями и корнями
an а а ... а, |
|
n |
a0 1, a 0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
am m an |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ab n an bn |
an am an m |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ab |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
an m an m |
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n m |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
an |
|
am |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a |
|
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
b |
|
n b |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Логарифмы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
loga b x |
ax b, |
a 0, a 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
aloga b b − основное логарифмическое тождество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Десятичный логарифм – log10 N lg N , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
натуральный |
|
логарифм |
– |
|
|
|
|
loge N ln N , |
|
|
|
|
|
где |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e lim 1 |
|
|
|
|
2,718281828459045... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
loga 1 0
loga b logc b logc a
loga u loga v loga u v
nloga b loga bn
loga a 1
loga b
1
logb a
u loga u loga v loga v
, a 1
loga 0
, a 1
Прогрессии
Арифметическая |
прогрессия |
− |
|
Геометрическая |
|
прогрессия |
− |
|||||||||||||||||||||||||
числовая |
последовательность, |
в |
|
числовая |
последовательность, |
в |
||||||||||||||||||||||||||
которой каждое число, начиная со |
|
которой каждое число, начиная со |
||||||||||||||||||||||||||||||
второго, |
равно |
|
предыдущему, |
|
второго, |
равно |
|
|
предыдущему, |
|||||||||||||||||||||||
сложенному с одним и тем же числом |
|
умноженному на одно и то же число |
||||||||||||||||||||||||||||||
d (d − разность |
арифметической |
|
q (q − знаменатель геометрической |
|||||||||||||||||||||||||||||
прогрессии a1,a2,a3,...,an,...) |
|
|
прогрессии u ,u ,u ,...,u ,...) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
3 |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q 1 − прогрессия возрастающая; |
|
|||||||||||||||
d 0 − прогрессия возрастающая; |
|
|
|
q |
|
1 − прогрессия убывающая; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
d 0 − прогрессия убывающая |
|
|
|
q |
|
0 − прогрессия |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знакопеременная |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий член прогрессии: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
an a1 (n 1)d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
n |
u qn 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма n первых членов прогрессии: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Sn |
(a1 an) n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
u1 un q |
, (q 1) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
u1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
Если |
|
q |
|
1, то S |
|
− сумма |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a1 d(n 1) n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
бесконечно убывающей прогрессии |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проценты |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Процент – сотая часть числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a |
|
|
0,01a – 1 % от числа а; |
|
a |
x 0,01ax – x % от числа а; |
||||||||||||||||||||||||
100% |
100% |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
x |
x |
100a |
– a составляет x % от b. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Средние величины
1. Среднее арифметическое n чисел: ma a1 a2 a3 ... an .
n
2. Среднее геометрическое n чисел: mg 
a1 a2 a3 ... an .
3. Среднее гармоническое n чисел: mh |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
. |
|
1 |
1 |
|
|||||||
1 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
an |
|||||
|
|
|
|
|
||||||