2

3

e

x

2

(2 x

1)

e

x

1.

2

3

2

. 3.

2

dx.

7

x2

dx. 2.

cos

dx

x

x

2

x

x4 2x3 2x

4.

dx. 5.

4 3xdx. 6. sin(1 5x)dx.

x2 1

7. (

2

6x

1

)dx. 8. 53x 2dx. 9.

dx

.

x2 9

3 x2

7x 3

x5 x3 4

10.

dx.

x2

1

С

Ответы

2

x

2. 3ex tgx C.

1.

arctg

3ln

x

x2

2

C.

7

7

и

1

3

2

3. 4ln x

8

1

C .

4.

x

x

x arctgx C.

x

3

x

1

1

cos(1 5x) C.

5.

(4x 3)3

C. 6.

6

6x

5

3x 2

1

x 3

x

5

7.

ln

arcsin

C. 8.

3ln5

C .

3

x 3

ln6

3

1

1

3

x 1

9.

ln(7бx 3) C. 10.

Аx 2ln .

7

3

x 1

2.2. Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной интегрирования является одним из самых

Д

эффективных приёмов сведения неопределённого интеграла к

табличному. Такой приём называется также методом подстановки.

Теорема.

Пусть

функция

x t

определена

и

дифференцируема

на

некотором

промежутке T ,

а X

некоторое

И

множество значений этой функции, на котором определена функция

f x . Тогда если функция

f x

имеет первообразную на множестве

X , то на множестве T справедлива формула

f x dx f t t dt .

Замечания:

1. Функцию

x t следует выбирать так, чтобы

можно было вычислить неопределённый интеграл, стоящий в правой

части равенства.

2. В найденной первообразной следует вернуться к исходной

переменной интегрирования.

С

sin xdx

Пример 1. Найти

2

.

Решен е.

cos x

t cosx.

Введём

новую

переменную

Тогда

dt sin xdx

ли

sin xdx dt.

В результате подстановки исходный

Най2 ти

2

интеграл преобразуется к табличному виду

sin xdx

dt2

t 2 dt

t

2 1

t

1

1

2

C

C

C.

cos x

t

2 1

1

cosx

бА

Пр мер 2.

x

x 3

dx.

Решен е. С целью упрощения подынтегрального выражения

полож м

x 3 t .

Отсюда

выразим

x t

3

и

найдём

dx d(t2

3) (t2

3) dt 2tdt.

Заменим

под

знаком

интеграла x,

x 3

и

dx

на

соответствующие

выражения,

затем

выполним

преобразования и получим

x

dx t2 3

2t dt 2t4 6t2 dt 2 t4dt 6 t2dt

t2

x 3

2 t4dt 6 t2dt 2

t4 1

6

t2 1

C

2

t5 2t3 C

2

5

x 3

2

3 C.

4

1

2

1

5

5

x 3

И

Пример 3. Найти

3e2xdx

.

e4x C

2

Решение. Заметим,

что

Д4x 2x

e

e

.

Целесообразно

ввести

переменную

e2x

t .

Тогда

de2x

dt;

e2x 2dx dt.

e2x dx dt;

Заменив всюду под интегралом выражение e2xdх

на

dt

,

а

e2x на t ,

2

получим

3dt

3

dt

3

3

2x

t

t

2

C

e

e

4x

C.

ln

5

ln

5

2 t2 5 2

t2 5 2

2

Пример 4. Найти

2sin xdx

.

3 cos2 x