- •ВВЕДЕНИЕ
- •Раздел 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •1.1. Определение и основные понятия
- •1.3. Элементы скалярного поля
- •1.4. Локальный экстремум функции двух переменных
- •1.5. Метод наименьших квадратов
- •2. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •2.2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •2.3. Интегрирование по частям
- •2.4. Интегрирование рациональных дробей
- •2.4.3. Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •3.1. Определенный интеграл, его свойства
- •3.2. Формула Ньютона – Лейбница
- •3.3. Методы вычисления определенного интеграла
- •3.3.1 .Замена переменной в определенном интеграле
- •3.4.4. Длина дуги плоской кривой
- •3.5. Несобственные интегралы
- •4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
- •Комплексные числа и действия над ними
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(1 e4 )dx dx 4 e4d |
x |
(x 4e4 ) |
|
|
|
4 4e 4 4e. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x ln2)dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 5. Вычислить (3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Разложим определенный интеграл на сумму трёх |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
табличных интегралов и получим следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
(3x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ln2)dx 3 x |
dx |
|
|
|
|
ln2 2 |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 x2 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x |
3 |
arctgx |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
) |
1 arctg1 arctg0 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пр мер 6. Выч |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin4xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решен е. Прео разуем выражение под знаком дифференциала и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
слить |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
формулой |
|
Ньютона – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
воспользуемся |
та л цей |
|
интегралов |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лейбн ца: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
sin4xdx |
|
|
|
|
|
sin4xd |
4x |
|
cos4x |
|
|
|
|
|
|
(cos cos0) |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3.3. Методы вычисления определенного интеграла |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПриёмыбвычисленияАопределенных интегралов практически |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ничем |
не |
|
отличаются |
от |
|
всех |
тех приемов |
и |
методов, которые |
применяются при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены
переменной), метод интегрирования |
по |
частям, те же приемы |
|
нахождения |
Д |
||
первообразных |
для |
тригонометрических, |
|
|
|
|
И |
иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, надо не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
66
3.3.1 .Замена переменной в определенном интеграле
Теорема (о замене переменной в определенном интеграле). Пусть функция y f x непрерывна x a,b и x x t . При этом
1) x a, |
|
x b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) x t , x t |
непрерывны t , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда формула замены переменной в определенном интеграле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет в д f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (x(t))x (t)dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
– |
|
первообразная |
|
для |
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||
f (x), то, по формуле Ньютона – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
∫f (x) |
dx F b F a . |
|||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
первообразная |
|
для |
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||||
Функц я |
|
F x |
t , |
очевидно, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
f x t x t , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Лейбница |
|
F x |
|
|
F |
b |
|
F a . |
|||||||||||||||||||||||||||||
f x t x |
t dt |
|
F |
x |
t |
|
|
|
|
F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, левая и правая части формулы равны, что и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
Вычислить |
|
|
|
1 ex |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сделаем замену переменной по формуле t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 ex |
. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
t |
|
1 x ln t |
|
1 |
dx |
t2 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Кроме того, |
|
если |
x 0, |
то |
t |
|
|
; |
если |
x ln2, |
|
то t |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 t2 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 e |
|
|
dx |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
ln |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечан е. Следует обратить внимание на то, что при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполнен |
|
|
|
|
|
|
|
замены |
|
|
переменной |
|
|
|
в определенном |
интеграле надо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изменяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пересч тать пределы |
|
|
нтегрирования, т. е. найти отрезок, на котором |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сновая переменная, но при этом к старой переменной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возвращаться не надо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.2. Интегрирование по частям |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула |
|
|
|
|
|
|
нтегр рования |
|
|
|
|
по |
|
|
|
частям |
|
|
|
для |
|
определённого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграла |
|
|
меет в |
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u dv u v|ba v du. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2. Вычислить xarctgxdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Положим u arctgx; |
|
dv xdx. Следовательно, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du arctgx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx,v |
xdx |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда по формуле интегрирования по частям имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xarctgx dx |
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
arctg1 |
02 |
arctg0 |
11 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
11 x2 1 1 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Иdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 20 |
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 20 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
x |
|1 |
|
|
1 |
arctg x|1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить x |
|
|
|
x2 |
9dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Решение. |
|
|
Сделаем |
|
|
|
замену |
|
t x2 9, тогда |
dt d x2 9 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt 2xdx; |
|
|
dx |
dt |
. |
Новые |
|
|
пределы |
интегрирования |
|
находим из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
||||||
соотношения |
|
t x2 9. |
Поэтому если |
|
x 0, |
|
|
то t |
|
|
9 9, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x 4, то t2 |
|
42 |
9 25и получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x2 9dx x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t dt |
|
|
|
t2dt |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 t |
2 |
|25 |
1 |
|
t |
2 |
|
|25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
2 92 |
|
25 9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
33 |
1 |
125 27 |
|
98 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и2sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пр мер 4. |
|
Выч слить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Введём новую переменную, |
|
полагая 1 cosx t, |
тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt 1 cosx dx; |
|
|
|
|
dt sin xdx; |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Новые |
|
|
пределы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования находим из соотношения |
|
t 1 cosx. |
Подставим в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
него x |
|
, |
|
|
|
|
получим t |
1 cos |
|
1 0 1, |
|
если |
|
|
x , |
то верхний |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
предел интегрирования t2 1 cos 1 ( 1) 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В результате преобразований получаем |
И |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2sin xdx |
|
|
|
|
2 2sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 1 |
2 |
|
|
t 1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx Д |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 2 t |
2 |
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|1 |
2 |
|
|1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 cosx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 5. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 (8 x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
Сделаем |
|
|
|
|
замену |
|
|
переменной: |
|
|
|
8 x t , |
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx dx. |
Отсюда следует, что dx dt. Новые пределы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt 8 x |
|
69
интегрирования находим из соотношения t 8 x. Подставляя в него значение x 0, получим t1 8 0 8; если же x 7, то t2 8 7 1.
Таким образом, в результате подстановки получим простой табличный интеграл
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx |
|
|
dt |
|
|
|
2 |
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
1 |
8 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||||||||||
|
|
|
( |
|
) t |
|
3dt |
|
|
|
|
|
|
33 t |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 3 (8 x)2 |
8 |
3 t2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слить |
x 2 |
||||
3(3 |
8 3 |
1) 3(2 1) 3. |
|
||
СПр мер 6. Выч |
|
|
|
e |
|
|
|
|
xln xdx. |
|
|
|
|
|
1 |
|
Решен е. |
Пр меним |
|
формулу |
интегрирования |
|
по частям. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Полож м |
|
u ln x; |
dv xdx, тогдаdu ln x dx |
|
dx;v |
|
xdx |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
x |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
e |
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
e |
|
|
|
|||
xln x dx x |
|
ln x|e |
|
2 |
|
|
|
dx |
2 |
lne |
|
|
ln1 |
|
xdx |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||||||||||
1 |
e |
2 |
1 1 |
x |
2 |
e |
1 |
e |
2 |
|
1 |
e |
2 |
|
|
1 e2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7. Вычислить 2x 5 cos2x dx.
0
Решение. Данный интеграл вычислим с помощью формулы интегрирования по частям.
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2x 5 |
|
|
du 2dx |
|
И |
|||||||||
2x 5 cos2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dv cos2Дx dx v |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
1 |
cos2 cos0 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin2x |
|
sin2x dx 0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|||||||||||||||||
Вычислить определенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
dx |
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
dx |
|
2 |
|
dx |
|
||||||
1. |
|
|
. 2. |
(x |
|
|
|
)dx. 3. |
|
|
|
|
|
. 4. |
|
|
. |
|||||
3x 2 |
|
x4 |
(2x 1)3 |
|
x2 5x 4 |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
70
5. (x 3)dx. 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(x 1)dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin xcos2 xdx. 8) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0.5 |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
|
|
|
. 10. |
|
|
|
|
2 x |
|
|
dx. 11. |
|
|
|
, |
12. |
|
|
|
|
dx. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 |
|
1 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
ln13 |
. 2. |
|
21 |
. 3. |
2 |
. 4. |
|
1 |
ln |
5 |
. 5. |
3 |
|
ln2 |
. 6. 1. |
7. |
1 |
. 8. 2ln2 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
4 |
|
8 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
8 |
|
|
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
С17 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
. 10. |
|
4 |
. 11. ln |
|
|
. |
|
12. |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.4. Пр ложен я определенного интеграла (видео 1, видео 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3.4.1. Выч сление площади плоской фигуры |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если y1 x y2 x |
|
x a, b , то, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходя |
|
|
из |
|
|
геометрического |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смысла определённого интеграла, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадь |
области, |
|
ограниченной |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
функций |
||||||||||||||||||
а |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
бА(рис.3.5), можно вычислить по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y y1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S y2 x y1 x dx. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y 4 x2 и y 3x.
Решение. Построим графики этих функций (рис. 3.6) и найдем |
||
точки их пересечения: |
И |
|
4 x2 3x x2 3x 4 0 x 1, x 4. |
||
|
1 |
2 |
71
|
y |
|
|
Искомую площадь фигуры найдём |
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
по формуле, приведённой выше: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y 3x |
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
x |
S 4 x2 3x dx 4x x 3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
-1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если |
16 |
64 |
|
24 4 |
1 |
|
3 |
|
|
125 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Р с. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
функц я задана параметрически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x x(t); |
x t |
a; y t b; y t 0 t t ,t |
2 |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y y(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной ее графиком и |
||||||||||||||||||||||||||||
отрезком [a,b] оси Ox, вычисляется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
b |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
S y x dx y t x t dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y sin x; y 2 sin x; |
x |
5 |
; |
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Решение. Искомая площадь S равна |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||
|
|
|
сумме площадей S1 |
|
|
и |
|
|
S2 |
двух |
фигур, |
|||||||||||||||||
|
|
|
перваяДиз которых ограничена линиями |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y sin x; y 2sin x; |
|
x 0; |
x , |
вторая |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ограничена линиями |
|
y sinx;y 2sin x; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x ; x |
5 |
(рис. 3.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Вычислим отдельно площади фигур |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
S1 |
и S2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.7
72
|
|
|
S1 |
2sin x sin x dx sin xdx cosx | cos cos0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 1 1 1 2. |
|
С |
фигуры, |
|
лежащей |
|
в |
четвёртой |
|
четверти, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Площадь |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
S2 |
|
|
sin x 2sin x dx sin xdx cosx | cos |
4 |
cos 1 |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
Тогда S S |
S |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
2,293. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пр мер 3. Выч |
|
|
|
|
площадь эллипса |
x2 |
|
y2 |
1 (рис . 3.8). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
слить |
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. |
|
Запишем |
уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эллипса в параметрическом виде |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x acost; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y bsint. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значению |
|
x a |
|
соответствует |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
-a |
|
|
|
|
|
a |
|
x |
t1 ; если x a, то t2 |
|
0. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис.3.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
S |
a |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д1 cos2t ab |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx b sint a sint dt |
ab |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Поэтому площадь эллипса находится по формуле S ab. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3.4.2. Вычисление объёма телаИвращения |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Покажем, что если S x |
– площадь сечения пространственного |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
тела плоскостью x const, то его объем будет равен V S x dx, |
где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
73
x a – абсцисса крайней левой точки, |
а x b – абсцисса крайней |
|||
правой точки тела. |
|
|
|
|
Разобьем |
тело плоскостями |
x xi, i 0,1,...,n |
на |
n |
произвольных |
достаточно тонких слоев. На рис. 3.9 |
показан |
i-й |
|
|
|
|
n |
|
слой, объем которого обозначим Vi . Тогда объём всего тела V Vi .
i 1
и |
|
|
С… xi 1 |
… |
x |
бА |
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
Так как слои достаточно тонкие, то можно считать, что их объем приблизительно равен о ъему цилиндра с высотой h xi xi 1 xi и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадью основания S |
x |
, |
где x x , |
x |
– произвольная точка, |
|||||
|
i |
|
|
i |
i 1 |
i |
|
|||
n |
|
|
|
|
Д |
|||||
i 1,..., n. Значит, V S xi |
|
|||||||||
xi . |
|
|
|
i 1
Полученная сумма является n-й интегральной суммой для функции S x на отрезке a, b , поэтому ее предел при n , d 0,
если он существует и не зависит от способа составления суммы, равен определенному интегралу, т. е. И
b
V S x dx.
a
Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y y(x), осью Ox и прямыми, уравнения которых x a и x b(рис. 3.10).
74
|
Любое сечение плоскостью |
x const |
у |
образованного таким образом тела |
|
вращения – круг радиусом |
r y x , |
|
|
|
|
площадь которого |
|
|||
|
|
|
|
|
S x r2 y2 x . |
|
||
а |
О |
х |
b |
х Тогда , применяя общую формулу для |
||||
С |
|
вычисления объёма, получим |
|
|||||
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
Vx y2 x dx. |
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|||
Р с. 3.10 |
|
|
|
|
|
|
||
Индекс |
x |
в |
формуле |
указывает |
на то, |
что |
тело получено |
|
и |
|
|
|
|
|
|||
вращен ем кр вол нейной трапеции вокруг оси OX . |
|
|
||||||
Пр мер 4. |
Выч слить |
о ъём тела, полученного вращением |
||||||
|
|
|
x t sint; |
|
|
|
|
|
одной арки циклоиды |
вокруг оси OX (рис. 3.11). |
|
||||||
|
|
|
y 1 cost |
|
|
|
|
|
Решение. Одной арке циклоиды соответствует изменение |
||||||||
переменной |
x |
|
и параметра t на |
промежутке |
0, 2 , поэтому |
|||
dx 1 cos t |
dt,; y 1 cos t и |
|
|
|
|
|
||
бА |
|
|
||||||
у |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx y2 x dx |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|||
|
|
|
|
|
1 cost 2 1 cost dt. |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
О |
|
|
|
х |
При |
вычислении |
этого |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
интеграла |
воспользуемся |
||
|
Рис.3.11 |
|
формуламиИ: |
|||||
|
|
|
|
|
|
75
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 cost 3 dt 1 3cost 3cos2 t cos3 t dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
1 cos2t |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt 5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.4.3. Выч слен е площади поверхности тела вращения |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхности |
|
|
|
малых |
|
|
|
частей |
|
|
точками |
|||||||||||||||||||||||||
Пусть |
кр вая |
|
y y x , |
x a,b |
|
|
вращается |
|
вокруг |
|
оси |
OX . |
||||||||||||||||||||||||
Выведем формулу для вычисления площади получающейся таким |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом |
|
|
|
|
|
|
вращения (рис.3.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Будем сч тать, что функция |
|
|
|
|
y y x |
дифференцируема на |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
отрезке a,b . Разо ьем отрезок a, b |
|
|
на n |
произвольных достаточно |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x xi, |
i 0,1,...,n |
|
и |
впишем |
в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривую |
|
|
AB |
|
|
ломаную |
со |
|||||||||||||
Mi 1 |
|
|
|
|
|
y y x |
|
|
|
звеньями |
|
|
|
|
Mi 1 |
Mi, |
|
i 1,...,n. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждое |
|
звено |
|
|
этой |
|
ломаной |
|||||||||||||
О … xi 1 |
|
ci |
xi |
… |
x |
|
|
|
описывает |
|
при |
вращении |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
поверхность |
усеченного конуса |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
, |
|
|
|
площадь |
|
|
которой |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляется |
|
|
по |
известной |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле S (r1 r2) l. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Рис. 3.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому |
Si y xi 1 y xi i , |
где |
|
i |
|
– |
длина отрезка |
|||||||||||||||||||||||||||||
Mi 1Mi (образующая конуса). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
По теореме Пифагора, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
|||||
|
i |
|
|
x x |
|
|
y y |
|
|
|
x yИx 1 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
i 1 |
|
|
|
i |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|||
а по теореме Лагранжа, |
yi |
|
yi |
yi 1 |
|
y ci , |
где |
ci |
|
xi 1,xi |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
xi |
xi |
xi 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
Следовательно, |
i |
|
1 y 2 ci xi |
и |
Si y xi 1 y xi 1 y 2 ci xi .
Тогда площадь поверхности вращения
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S Si y xi 1 y xi |
|
|
1 y 2 ci xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
i 1 |
|
|
2 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если существует не зависящий от способа составления |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученной суммы её предел при n , d 0 |
(d |
– наибольший из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
диаметров разб ен я), |
|
то в результате предельного перехода в этом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
слить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
равенстве получ |
м, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2 y x |
|
1 y x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Эта формула остается неизменной при любом способе задания |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функц y y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пр мер 5. Выч |
|
|
|
|
|
площадь поверхности тора, полученного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вращен ем окружности |
|
x2 y b 2 |
|
a2, |
|
b |
|
a |
|
вокруг оси |
OX |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 3.13). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Площадь |
поверхности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тора |
|
|
|
равна |
|
|
сумме |
|
|
|
площадей |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностей, |
полученных |
|
|
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вращении |
|
|
|
|
|
|
верхней |
|
|
|
|
половины |
||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окружности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
ее |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y b a |
2 |
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нижней половины y b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
-a |
О |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы |
|
|
|
|
воспользоваться |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулой, найдем производные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 3.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y x |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 y |
2 |
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 a2 x2 a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
a2 x2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b a2 x2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
S Sв Sн 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
2 |
|
|
a |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
77