- •ВВЕДЕНИЕ
- •Раздел 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •1.1. Определение и основные понятия
- •1.3. Элементы скалярного поля
- •1.4. Локальный экстремум функции двух переменных
- •1.5. Метод наименьших квадратов
- •2. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •2.2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •2.3. Интегрирование по частям
- •2.4. Интегрирование рациональных дробей
- •2.4.3. Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •3.1. Определенный интеграл, его свойства
- •3.2. Формула Ньютона – Лейбница
- •3.3. Методы вычисления определенного интеграла
- •3.3.1 .Замена переменной в определенном интеграле
- •3.4.4. Длина дуги плоской кривой
- •3.5. Несобственные интегралы
- •4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
- •Комплексные числа и действия над ними
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
6.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения |
||
второго порядка с постоянными коэффициентами |
||
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго |
||
порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида |
||
С |
y py qy 0, |
|
|
|
|
где p q– заданные действительные числа. |
|
|
Теорема Коши для линейных однородных дифференциальных |
||
уравнен й второго порядка с постоянными коэффициентами |
||
формул руется |
о разом. |
|
следующим |
x0; y0; y0 |
|
Теорема Коши. При лю ых начальных данных |
||
задача Коши меет, |
пр чем единственное, решение, т.е. |
при любых |
начальных данных x0,y0,y0 существует единственное решение уравнения y py qy 0, удовлетворяющее начальным условиям
y x |
` x ;y x |
y . |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
y py qy 0 |
|
Два решения y1(x) и y2 (x) уравнения |
||||||||||
называются |
линейно независимыми на отрезке |
|
a,b , если их |
||||||||
|
|
бА |
|
|
|||||||
отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y1 |
const. |
|
|
|
|
|
Если y |
и y |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
есть некоторые функции от |
x, то определитель |
||||||||
|
|
1 |
|
|
Д |
||||||
|
|
|
|
|
|
W y1,y2 |
y1y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1y2 |
y1y2 |
y y2 |
|
||
|
называется определителем Вронского, или вронскианом данных |
||||||||||
функций. |
|
|
|
|
|
|
И |
||||
|
Теорема. |
|
Если |
решения |
|
||||||
|
|
y1(x) |
и |
y2 |
(x) уравнения |
y py qy 0 являются линейно независимыми на отрезке a,b , то определитель Вронского W y1,y2 , составленный для этих решений,
не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.
113
|
Теорема (о структуре общего решения). Если |
y1 x и |
y2 x |
||||||||||||||||||||
два линейно независимых решения линейного однородного |
|||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными |
|||||||||||||||||||||||
коэффициентами, то общее решение этого уравнения имеет вид |
|||||||||||||||||||||||
где C1 и C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y C1y1(x) C2 y2(x), |
|
|
|
|
||||||||||
– произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Выражение |
C1y1 C2 y2 |
называется |
линейной |
комбинацией |
||||||||||||||||||
функц й y1 x |
|
y2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Чтобы найти общее решение линейного однородного |
||||||||||||||||||||||
дифференц ального уравнения второго порядка с постоянными |
|||||||||||||||||||||||
Скоэфф ц , достаточно найти два линейно независимых |
|||||||||||||||||||||||
частных решен я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Будем |
скать эти частные решения уравнения в виде y ekx, где |
|||||||||||||||||||||
k=const; тогда y |
|
ke |
kx |
; y |
|
k |
2 |
e |
kx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ентами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Подстав м выражение для y, y и y в уравнение и получим |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
k2ekx pkekx |
qekx |
0, т.е. ekx k2 |
pk q 0. |
|
||||||||||||||||
|
Так как ekx 0, то |
|
|
|
|
k2 pk q 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Уравнение |
k2 pk q 0 |
|
называется |
характеристическим |
||||||||||||||||||
уравнением линейного однородного дифференциального уравнения |
|||||||||||||||||||||||
второго порядка с постоянными коэффициентами. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
бА |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Для составления характеристического уравнения достаточно в |
||||||||||||||||||||||
дифференциальном уравнении заменить y , |
y |
и y соответственно на |
|||||||||||||||||||||
k2, k и 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решив |
|
характеристическое |
уравнение |
|
по |
формуле |
||||||||||||||||
|
|
p |
p2 4q |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
, |
найдем |
его |
корни |
k |
и k |
2 |
, тогда |
частные |
||||||||
1,2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
решения уравнения запишем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ek1 x; y ek2 x . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
И |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
При решении характеристического уравнения возможны три |
||||||||||||||||||||||
случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Случай |
|
1. |
|
|
Корни |
|
характеристического |
уравнения |
действительны и различны: k1 k2 .
В этом случае имеем два частных решения уравнения: y1 ek1x и y2 ek2x .
114
Покажем, что эти решения являются линейно независимыми:
y1 ek1x e(k1 k2)x const.
y2 ek2x
ледовательно, общее решение уравнения имеет вид
С |
|
|
|
y C ek1x |
C |
2 |
ek2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
лучай |
2. |
Корни |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
||||||||||
|
характеристического |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
действ тельны |
равны: k1 k2 k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В этом случае непосредственно находится лишь одно частное |
|||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
решен е: |
y |
ekx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
скать второе частное решение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Будем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Действ тельно, |
|
|
|
|
|
|
y2 xekx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
kx |
|
|
kx |
kx |
e |
kx |
|
|
kx |
|
e |
kx |
1 kx ; |
|
||||||||||||
|
|
y2 |
xe |
xe |
|
|
|
|
xke |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
kx |
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
kx |
|
|
|
kx |
|
|
|
2 |
|
|
1 kx e |
|
1 kx ke |
|
1 kx e k e |
|
2k k x . |
||||||||||||||||||||||
y2 e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Подстав в |
выражение |
для y, y |
и |
|
|
y в исходное |
|||||||||||||||||||||||
дифференциальное уравнение, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ekx 2k k2x pekx 1 kx qxekx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ekx x k2 pk q 2k p 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||||||||||||||||||
ВыражениебАk pk q 0, так как число k является корнем |
|||||||||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения, 2k p 0, так как |
k |
p |
. Значит, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
y2 xekx также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
функция |
|
является |
решением |
характеристического |
|||||||||||||||||||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||
Покажем, |
что решения |
y ekx |
и y |
2 |
xekx |
|
являются линейно |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
независимыми. Для этого рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
ekx |
x const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
xekx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в этом случае общее решение уравнения записывается в виде
y ekx C1 C2 x .
115
Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные числа:
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
p |
p2 4q |
|
|
, где p2 4q 0. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4q p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда k |
|
|
|
p |
i2 |
|
|
p |
i |
4q p2 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обознач в |
|
a |
|
p |
и |
b |
|
|
4q p2 |
|
, получим k |
a bi и |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
они |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
k2 a bi |
|
b |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
СЧастные решен я можно записать в форме |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e(a ib)x ; y |
2 |
e(a ib)x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
бА1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пр мен м формулы Эйлера и перепишем их в виде |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y eax cos x; y |
2 |
eax sin x. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Убед мся, |
что |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого |
|||||||||
|
|
|
|
удут линейно независимыми. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассмотр м отношен е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y eax cosbx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ctgx const. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
eax sinbx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, о щее решение уравнения в случае |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексных корней характеристического уравнения имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y C eax cos bx C |
2 |
eax |
|
sin bx, или |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y eax C cos bx C |
|
sin bx . |
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Найти частное решение уравнения y 7y 12y 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
удовлетворяющее начальным условиям: y 0 1; y |
0 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Составим характеристическое уравнение, заменив y , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y , y на k |
2 |
, k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 1 соответственно,Дполучим k 7k 12 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Корни квадратного уравнения найдем по формуле |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
72 4 12 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
откуда k1 3 и k2 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||
Подставляя найденные значения k1 и k2 в формулу для первого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случая, получим общее решение y C e 3x C |
e 4x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы подставить начальные условия, продифференцируем общее решение:
y C1e 3x 3 C2e 4x 4 3C1e 3x 4C2e 4x .
116
Согласно заданным начальным условиям имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
C2e |
40 |
; |
|
|
|
|
|
|
1 C1 C2; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 C1e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4C |
e 40, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4C2, |
|
|
|||||||||||||
|
2 3Ce 30 |
|
или 2 3C1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
1 C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 C1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
C1 2 |
и C2 |
1. |
|
Таким образом, искомым частным решением |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
является функц я y 2e 3x |
e 4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Корни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7y y 6y 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пр мер 2. Найти решение уравнения |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решен е. Состав м характеристическое уравнение, заменив y |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y , y на k2, k , 1 соответственно, получим |
7k2 k 6 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
бА |
|
|
1 13 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
найдем по формуле k |
|
|
1 |
|
1 4 6 7 |
|
, откуда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
2 7 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|||||
k1 1 |
k2 |
6 |
, т.е. получили первый случай. Подставляя найденные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значен я k1 |
k2 |
|
в соответствующую формулу, запишем общее |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
решение y С ex С |
|
|
6 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
e 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3. Найти решение уравнения y 4y 4y 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Составим характеристическое уравнение, заменив y , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
||||||||||||||||||||
y |
, y на |
k |
|
|
, k , 1 соответственно, получим k |
|
4k 4 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Корни найдем |
|
по |
формуле |
k |
4 |
|
16 4 4 |
|
4 0 |
2, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
откуда |
k1 k2 |
2. |
Подставляя найденные значения |
k в формулу, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующую |
|
второму |
|
случаю, |
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
получим |
|
общее |
|
решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y e 2x C C |
2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4. Найти решение уравнения y 9y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Составим характеристическое уравнение k2 9 0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решим |
его : |
|
|
|
k2 9; |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
3 i. |
Уравнение |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
9 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
a 0; |
b 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
имеет комплексные корни |
|
k1,2 |
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
По формуле третьего случая общим решением будет |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e0x С cos |
3x С |
2 |
sin 3x ,или |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y С1 cos3x С2 |
sin3x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117
|
Пример 5. Найти частное решение уравнения y 6y 10y 0, |
||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющее начальным условиям: |
y 0 1; |
y 0 3. |
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
Составим |
|
характеристическое |
уравнение |
|||||||||||||||||||||
k2 6k 10 0 и найдём его корни: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
k |
|
|
6 |
36 4 10 |
|
6 4 |
|
6 2i |
3 i |
|
a 3; b 1 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1,2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
По формуле, соответствующей третьему случаю, общим |
||||||||||||||||||||||||||
решен ем будет функц я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
систему |
С cosx С |
|
sinx . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
e3x |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Прод фференц руем общее решение |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
y 3e3x C1 cosx C2 sin x e3x C1 sin x C2 cosx . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бА |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 3, |
получим |
||||||||||||||||||||||
|
Подстав в |
начальные |
условия |
|
y 0 1; |
y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
для определен я C1 и |
C2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 e |
0 |
C cos0 C |
2 |
sin0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 3 e0 C cos0 C sin0 e0 |
C sin0 C cos0 , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
1 1 C1 1 C2 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 3 1 C 1 C |
2 |
0 1 C 0 C |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
1 C1; |
|
C1 1; |
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 3C1 C2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 1; |
C2 0 в |
|||||||||||||
|
Подставив |
полученные |
значения констант |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||
общее решение, получим y e3x cosx – искомое частное решение. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|||||||||||||||||||
|
Найти решения дифференциальных уравнений. В тех задачах, в |
||||||||||||||||||||||||||
которых |
|
|
заданы |
|
|
начальные |
условия, |
найти |
решения, |
||||||||||||||||||
удовлетворяющие этим условиям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
y y 2y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
y 3y 0. |
|
||||||||||||||
3. |
y 4y 5y 0. |
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
25y 4y 0. |
|
|||||||||||||||
5. |
y 2y y 0 при |
|
|
|
|
6. |
|
|
y 2y 2y 0 при |
||||||||||||||||||
|
y 0 4; y 0 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 0; y 0 1;. |
118
7. |
y 8y 15y 0при |
|
|
|
|
|
8. |
|
|
y 2y 5y 0при |
|||||||||||||||||
|
y 0 2; y 0 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 1; y 0 3. |
||||||||||||||||
9. |
y 16y 0 при |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
y 6y 9y 0 при |
|||||||||||||||
|
y 0 1; y 0 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 2; |
y 0 7. |
||||||||||||||
11. |
y 5y 6y 0 при |
|
|
|
|
|
12. |
9y 12y 4y 0. |
|||||||||||||||||||
|
y 0 3; y 0 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
9y y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
y 6y 10y 0 при |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 1; y 0 3. |
||||||||||
15. |
y y 6y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
y 7y 10 0. |
|||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
y |
|
6y |
|
8y 0. |
||||||||||||
17. |
y 8y 16y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
y C ex C e 2x |
. 2. |
y C C |
e 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и1 2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3. |
y e2x С cosx С |
2 |
sinx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4. |
y C cos2x C sin2x . |
5. y 4ex |
7ex х. 6. |
y e x sinx. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. y e3x e5x . 8. |
y ex cos2x sin 2x . 9. |
|
y cos4x sin 4x. |
|||||||||||||||||||||||
|
10. |
y 2 e3x e3x х. 11. |
y e 2x 2 e 3x. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
12. |
y e 3 С С x . |
13. y С cos |
С |
2 |
sin |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
бА |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
14. y e3x cosx. |
15. |
|
|
y С e3x С |
2 |
e 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y С e2x С |
|
e5x. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
16. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
17. |
|
y e 4x С С |
2 |
18. |
y С e4x С |
2 |
e2x . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
6.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейное неоднородное уравнение отличается от однородного функцией в правой части. Линейное неоднородное уравнение имеет вид
y p y q y f x .
Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой.
119
|
Теорема. Общее решение неоднородного линейного |
||||||||||||||||
дифференциального |
уравнения |
представляется |
как |
сумма |
какого- |
||||||||||||
либо частного решения этого уравнения |
yч |
и общего решения y0 |
|||||||||||||||
соответствующего однородного уравнения . |
|
y p y q y |
f x , |
||||||||||||||
|
Пусть y – общее решение |
уравнения |
|||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
y y0 yч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
||
|
Так м |
образом, |
если |
известно |
|
общее |
решение |
||||||||||
соответствующего однородного уравнения, то основная задача при |
|||||||||||||||||
интегр рован |
|
неоднородного |
линейного |
дифференциального |
|||||||||||||
Суравнен я второго порядка состоит в нахождении какого-либо его |
|||||||||||||||||
частного решен я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное |
||||||||||||||||
решен е |
ногда |
ывает возможно найти |
проще, |
не |
прибегая к |
||||||||||||
|
рован ю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интегр |
|
|
|
|
|
yч |
уравнения |
||||||||||
|
Рассмотр м метод под ора частного решения |
||||||||||||||||
y p y q y |
f x по специальному виду правой части |
f x . |
|
||||||||||||||
|
1. |
|
Пусть |
правая |
часть |
f x уравнения |
представляет |
собой |
|||||||||
произведение показательной функции на многочлен, т. е. имеет вид |
|||||||||||||||||
f(x) Р |
(x) e x |
, |
где |
const; |
P x |
многочлен |
n-й степени |
||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда дифференциальное уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
бАx |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y p |
y |
q y Рп(x) e . |
|
|
|
|
|
|||
|
При этом возможны следующие частные случаи: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) Число не является корнем характеристического уравнения |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k2 pk q 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда |
частное |
решениеДнужно искать в |
виде |
|||||||||||||
y (A xn Axn 1 |
... A )e x Q x e x,где |
Q |
x многочлен той |
||||||||||||||
ч |
0 |
|
1 |
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
же степени, что и данный многочлен Pn x , |
но с неопределенными |
||||||||||||||||
коэффициентами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Действительно, подставляя y |
в уравнение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
И |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y p y q y Рп(x) e x |
|
|
|
|
|
|||||
и сокращая все члены на множитель e x , будем иметь |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Qn (x) (2 p)Qn(x) ( 2 p q)Qn (x) Pn (x), |
|
|
||||||||||||
где |
Qn x многочлен степени n; |
Qn(x) |
многочлен степени |
n 1; |
Qn(x) многочлен степени n 2.
120
Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно
n 1), |
получим |
систему |
n 1 |
уравнений |
для определения |
|||||
неизвестных коэффициентов A0,A1,...,An . |
|
|||||||||
б) |
|
Число |
|
есть простой (однократный) корень |
||||||
характеристического уравнения (т.е. |
совпадает с одним корнем |
|||||||||
характер ст ческого уравнения). В этом случае частное решение |
||||||||||
нужно |
скать в в де y |
Q |
x e x |
x. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
ч |
n |
|
|
|
|
в) |
Ч |
сло |
|
есть двукратный |
корень |
характеристического |
||||
уравнен я |
(т. |
е. |
|
|
совпадает |
с |
двумя |
равными корнями |
||
С |
|
|
|
). В этом случае частное решение |
||||||
характер ст ческого |
|
|
||||||||
нужно |
скать в в де y |
Q |
x e x |
x2. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
ч |
n |
|
|
|
|
2. Пусть правая часть f x уравнения имеет вид |
||||||||||
уравнения |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f (x) e x(P(x)cos x Q(x)sinx), |
|||||
где P(x) и Q(x) – многочлены от |
x. Форма частного решения yч |
|||||||||
определяется следующим о разом: |
|
|
|
|||||||
а) |
Если число i |
не является корнем характеристического |
||||||||
уравнения , то частное решение yч следует искать в виде |
||||||||||
|
|
бА |
||||||||
|
|
|
|
y |
e x(U(x) cos x V(x) sin x), |
|||||
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
где U(x) и V(x) – многочлены, степень которых равна наивысшей |
||||||||||
степени многочленов P(x) и Q(x). |
|
|
|
|||||||
б) |
Если |
число |
|
|
Д |
|||||
i является |
корнем |
характеристического |
||||||||
уравнения, то |
y |
|
e x(U(x) cos x V(x) sin x) x. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ч |
|
|
|
|
И |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании вышеизложенного теоретического материала можно составить табл. 6.1, которой удобно пользоваться при решении дифференциальных уравнений.
121
Таблица 6.1
|
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
порядка с постоянными коэффициентами y py qy 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Характеристическое уравнение k2 pk q 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Корни характеристического уравнения k |
|
p |
|
p2 4q |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
лучай |
1. |
Корни |
k2 |
|
k1 |
|
|
|
y C ek1x |
|
|
|
|
ek2x |
|
|
||||
|
характер ст ческого |
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
||||||||||||
|
уравнен я действ тельны и |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Корни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
различны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучай |
2. |
Корни |
k1 |
k2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С |
|
|
y ekx C1 |
C2x |
|
|
||||||||||||||||
|
характер ст ческого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
уравнен я действ тельны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай |
3. |
|
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
характер ст ческого |
|
p |
2 |
4q 0, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
уравнен я комплексные |
|
|
|
y eax C1 cosbx C2 sin bx |
|
||||||||||||||||
|
|
k1,2 a bi |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка |
|
|
|||||||||||||||||||
|
с постоянными коэффициентами y |
py qy |
f (x); y yч yo, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
где уо – решение однородного уравнения; уч – частное решение неоднородного |
|
||||||||||||||||||||
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|||||||||||
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Случай 1. |
а k ,а k |
|
e |
ax |
|
|
|
||||||||||||||
|
f(x) Рп(x) eax |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
yч |
Qп(x) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a k2 |
k1 |
|
|
yч x Qп(x) eax |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a k2 |
k1 |
|
|
|
|
yч x2 |
Qп(x) eax |
|
|||||||
|
Случай 2. |
|
|
|
z=a+bi |
не |
И |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
является |
|
|
корнем |
|
||||||||||||
|
f(x) e |
|
Рп(x)cosbx Qn sin bx |
характеристического уравнения |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
yч |
eax Sп(x)cosbx Tn (х)sinbx |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z=a+bi является |
корнем характеристического |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yч хeax Sп(x)cosbx Tn (х)sinbx |
|
|||||||||||
|
Пример 1. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y 6y 5y 25x2 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
122
k2 6k 5 0;
k |
6 |
36 20 |
|
6 4 |
|
|
|
.; |
|||||
|
|
|
||||
1,2 |
|
2 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 5; |
k2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Запишем общее решение соответствующего однородного |
||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения по формуле y C ek1x |
C |
ek2x : |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
C e 5x |
C |
2 |
e x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yч |
Зап шем формулу, |
по которой следует искать частное решение |
|||||||||||||||||||||||
данного уравнен я. |
Проверяем, |
что |
правая часть |
|
уравнения |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
С |
|
|
|
|
|
|
|
общиму виду f x e |
|
|
Pn x , где |
||||||||||||||
f x 25x |
|
2 |
соответствует |
|
|
||||||||||||||||||||
25x2 2 – многочлен второй степени с коэффициентами 25; 0; –2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
В данном случае показательная функция e x |
1, т. е. 0. Так |
|||||||||||||||||||||||
как |
0 |
не совпадает |
|
|
с одним из корней характеристического |
||||||||||||||||||||
ни |
решение |
нужно |
|
искать |
|
в |
виде |
||||||||||||||||||
уравнен |
я, |
|
то |
|
|
частное |
|
|
|
||||||||||||||||
y Ax2 |
Bx C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ч |
Q x Ax2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Bx C |
|
многочлен второй |
степени |
|
(n 2), |
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А, |
В, |
|
|
С |
этого |
||
неизвестные (неопределенные) коэффициенты |
|
|
|||||||||||||||||||||||
многочлена нужно найти, подставив выражения yч , yч' , |
yч" в данное |
||||||||||||||||||||||||
уравнение. |
|
|
|
|
|
' , |
|
|
" столбиком: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Запишем y |
ч |
, y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
y |
Ax2 |
Bx С; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
yч' 2Ax B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y" 2A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||||||||||||
|
Слева указаны коэффициенты 5, 6, 1, на которые следует |
||||||||||||||||||||||||
умножить |
|
yч , yч' , |
|
yч", |
|
чтобы |
получить |
|
левую |
|
часть |
|
уравнения |
||||||||||||
y 6y 5y 25x2 |
2. |
В левой части |
получим многочлен второй |
||||||||||||||||||||||
степени с неопределенными коэффициентами, который |
должен быть |
равен данному многочлену второй степениИв правой части. Два многочлена будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
123
Запишем столбиком полученные уравнения:
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
5A 25; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
12A 5B 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
0 |
|
2A 6B 5C 2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
ч |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными |
||||||||||||||||||||||
коэффициентами А, В, С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Реш в ее, найдем значения неопределённых |
коэффициентов |
|||||||||||||||||||||
A 5, |
|
B 12, |
C 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
примет |
|
|
|
y 5x2 |
12x 12. |
|
|
|||||||||||||||
Частное решен е запишем в виде |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решен е данного уравнения по формуле y y |
|
y , |
||||||||||||||||||||
|
в д |
|
|
|
y С e 3x |
С e 4x |
5x2 12x 12. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
бА |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр мер 2. Найти о щее решение уравнения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y |
|
7y |
|
12y |
24x |
2 |
16x 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решен е. Состав м характеристическое уравнение и найдем его |
||||||||||||||||||||||
корни: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 7k 12 0; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k 7 |
|
49 48 |
7 1; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 3; |
k2 4. |
|
|
|
|
|
||||||||
Запишем общее решение соответствующего однородного |
||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения по формуле y C ek1x |
C |
ek2x : |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
C e 3x |
C |
2 |
e 4x. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выберем формулу, |
по которой следует искать частное решение |
|||||||||||||||||||||
yч данного уравнения. Для этогоДсравним правую часть уравнения |
||||||||||||||||||||||
f x 24x2 |
16x 15 с общим видом правой части: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x e x P x . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
24x2 16x 15 – многочлен второй степени с коэффициентами |
||||||||||||||||||||||
24; 16; –15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||
В данном случае показательная функция e x 1, т. е. |
0. Так |
|||||||||||||||||||||
как 0 не совпадает ни с одним из корней характеристического |
||||||||||||||||||||||
уравнения |
k1 3; k2 4 , |
частное решение нужно искать в виде |
yч Ax2 Bx C.
124
Q |
x |
Ax2 |
Bx C многочлен |
второй |
|
степени |
|
(n 2), |
|||||||||||||||||
n |
|
(неопределенные) |
|
коэффициенты |
|
А, |
В, |
|
С |
этого |
|||||||||||||||
неизвестные |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
многочлена нужно найти, подставив выражения |
yч , yч' , yч" |
в данное |
|||||||||||||||||||||||
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем yч , yч' , |
yч" столбиком: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
yч Ax2 Bx С; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
yч' |
2Ax B; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
yч" |
2A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует |
|||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
что ы |
|
получить левую |
часть |
уравнения |
|||||||||||||||||
умнож ть |
yч |
, yч |
' , yч", |
|
|
||||||||||||||||||||
y 7y 12y 24x2 16x 15. |
В левой части |
получим многочлен |
|||||||||||||||||||||||
второй |
|
|
|
|
неопределенными |
коэффициентами, |
который |
||||||||||||||||||
должен быть равен данному многочлену второй степени в правой |
|||||||||||||||||||||||||
степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
части. Два многочлена |
удут равны тогда и только тогда, когда равны |
||||||||||||||||||||||||
коэфф ц енты при од наковых степенях х. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Запишем стол иком полученные уравнения: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
12A 24; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
14A 12B 16; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
2A 7B 12C 15. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решая систему трех уравнений с тремя неизвестными |
|||||||||||||||||||||||||
|
бА |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
коэффициентами |
А, В, С, найдём |
|
A |
2; |
|
B 1; C |
1. |
|
|
|
|||||||||||||||
Частное решение уравнения запишем в виде y 2x2 |
x 1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
Общее решение данного уравнения составим по формуле |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y0 yч. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Окончательно получим |
|
Д |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y С e 3x С |
e 4x |
2x2 x 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y y 2y 3ex. |
|||||
Пример 3. Найти общее решение уравнения |
|||||||||||||||||||||||||
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его |
|||||||||||||||||||||||||
корни: |
|
|
k2 k 2 0; k 2; k |
|
|
И |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Запишем общее решение соответствующего однородного |
|||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения по формуле y C ek1x |
C |
ek2x |
: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
С e 2x |
|
|
|
ex. |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
0 |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125
Сравним правую часть данного дифференциального уравнения f x 3ex с f x e x Pn x . Отметим, что 1 совпадает с одним корнем характеристического уравнения; многочлен – число 3 – нулевой степени, т. е. n 0. Поэтому частное решение yч следует
искать в виде y |
|
A ex x. |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
" |
|
|
|
||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
|
|
|
|
y A ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
x; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y' |
A ex |
A ex x; |
|
|
|
||||||||
ентами |
ч |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
A ex A ex x. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
y" |
A |
ex |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстав в |
|
|
выражения |
|
|
|
yч , yч , |
|
yч |
с |
|
указанными |
|||||||
коэфф ц |
|
в данное дифференциальное уравнение, получим |
|||||||||||||||||
|
бА1 2 |
|
|
||||||||||||||||
или |
2A |
ex A ex x |
|
A ex |
A ex |
|
x 2A |
ex x 3ex, |
|||||||||||
|
|
|
|
3A e |
3e , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
A 1. Частное решение: y |
x ex. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое о щее решение данного уравнения |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
y С e 2x С |
2 |
ex |
x ex. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти о щее решение уравнения y y x e x. |
|||||||||||||||||||
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его |
|||||||||||||||||||
корни: |
k2 1 0; |
k |
1; |
|
|
|
|
k 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Запишем общее решение соответствующего однородного |
|||||||||||||||||||
дифференциального уравнения по формуле y C ek1x |
C |
ek2x : |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y С e x С ex. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
' |
" |
|
2 |
И |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Сравним |
правую |
часть данногоДуравнения f x x e x с |
|||||||||||||||||
f x e x P x . |
|
Отмечаем, |
что |
|
1 |
совпадает с одним корнем |
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристического уравнения, поэтому по табл. 6.1 частное |
|||||||||||||||||||
решение следует искать в виде y |
|
Ax B x e x. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как требуется найти yч , yч , yч |
, удобнее записать yч в виде |
yч Ax2 Bx e x.
126
Запишем yч , yч' , yч |
" столбиком: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
yч Ax2 Bx e x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
yч' 2Ax B e x Ax2 Bx e x; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
yч" 2A e x 2Ax B e x 2Ax B e x Ax2 Bx e x. |
||||||||||||||||||||||||
Подстав м выражения yч , yч" |
|
с указанными коэффициентами в |
||||||||||||||||||||||||
данное уравнен е, |
|
|
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
получим |
Ax2 Bx e x Ax2 Bx e x x e x. |
|||||||||||||||||||||||||
2A e x 2 2Ax |
B e x |
|
||||||||||||||||||||||||
Раздел м уравнен е на |
|
e x 0 и упростим: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2A 2 2Ax B |
|
x; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
бА |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
|
|
2A 4Ax |
2B |
|
x. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4A 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1/4; |
|
|||||||||||||
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2A 2B 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
B 1/4. |
|
||||||||||||||
Частное решение: |
y |
1 |
x2 x e x. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ч |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение дифференциального уравнения: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
y С e x С |
2 |
ex |
1 |
|
|
x2 x e x. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5. Решить уравнение |
y |
|
3y |
|
2y 4sin |
3x 2cos 3x. |
||||||||||||||||||||
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его |
||||||||||||||||||||||||||
корни: |
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 3k 2 0; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
9 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
k1,2 |
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k1 1; |
|
|
|
k2 |
|
|
2. |
|
|
|
|||||||||||
Запишем общее решение соответствующего однородного |
||||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения по формуле y C ek1x C |
ek2x : |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С e x С |
|
|
|
|
e 2x. |
1 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
0 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 4sin3x 2cos 3x с |
|||||||||
Сравним правую |
часть уравнения |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f x M cos x N sin x. Здесь |
M 2;N 4; 0; 3. Так как |
|||||||||||||||||||||||||
числа |
i 3i |
не |
|
являются |
|
|
|
корнями |
характеристического |
127
уравнения, |
частное |
|
|
|
решение |
следует |
искать |
в |
виде |
|||||||||||||||||||||
yч A cos3x B sin 3x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем производные yч', yч" |
и запишем столбиком: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
yч |
A cos 3x B sin3x; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
y' |
3A sin3x 3B cos3x; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y" 9A cos3x 9B sin 3x. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подстав в эти выражения в данное дифференциальное |
||||||||||||||||||||||||||||||
уравнен е, получ м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9A cosx 9B sin3x 9A sin3x 9B cos3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2A cos3x 2B sin3x 4sin3x 2cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sin3x 7B 9A cos3x 7A 9B 4sin3x 2cos3x. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Пр равн вая коэффициенты при |
sin3x и |
|
cos3x в |
левой и |
||||||||||||||||||||||||||
правой частях уравнен |
|
я, получим систему уравнений |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
7B 9A 4; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7A 9B 2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
5 |
|
; |
|
|
B |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Частное решение:yч |
|
5 |
cos 3x 1 sin3x. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|||||||||||||||||
Общее решение данного дифференциального уравнения: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
бx А2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
y C1 |
e |
|
C2 e |
|
|
|
cox 3x |
13 |
sin 3x. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 6. Решить уравнение y |
2y 5y 2cosx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение.Составимхарактеристическоеуравнениеинайдемегокорни: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 2k |
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
k |
2 |
4 20 |
|
2 4i |
1 2i a 1; |
|
b 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
1,2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение однородного уравнения будет |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
0 |
e x C cos |
2x C |
2 |
sin |
|
2x . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 2cos x |
|
||||||
Cравним |
|
правую |
|
|
часть |
|
уравнения |
|
|
|
с |
|||||||||||||||||||
f x M cos x N sin x,здесь |
M 2;N 0; 1. Числа |
i i |
не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение следует искать в виде
yч A cos x B sin x.
128
Запишем
5 |
yч |
Acos x Bsin x; |
2 |
y' |
Asinx Bcos x; |
|
ч |
|
1 |
y" |
Acos x Bsin x. |
|
ч |
|
С |
, yч' , yч" |
в уравнение, получим |
|||||||||||||||||||
Подставив yч |
|||||||||||||||||||||
Acosx Bsinx 2Asin x 2Bcosx 5Acosx 5Bsin x 2cosx; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
4B 2A 0; |
|
|
|
|||||||
уравнений |
|
|
4A 2B 2. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
||||||||
Решая с стему |
|
|
|
, найдём A |
2 |
; |
B |
1 |
и подставим в |
||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||
частное решен е: yч 2cos |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||
x |
sin x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решен е данного дифференциального уравнения: |
|||||||||||||||||||||
y e x С cos |
2x С |
2 |
sin 2x 2cos x 1sin x. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Д |
||||||||||
Решить дифференциальные уравнения. В тех задачах, в которых |
|||||||||||||||||||||
заданы начальныебАусловия, найти решения, удовлетворяющие этим |
|||||||||||||||||||||
условиям. |
|
|
|
|
|
|
при y(0) 4;y' 0 3. |
||||||||||||||
1. |
y y 4ex y(0) 4 |
||||||||||||||||||||
2. |
y 2y y 6xex |
при y 0 |
y |
0 |
|
И |
|||||||||||||||
3. |
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
y y 2y 3xe |
|
при y 0 |
y |
0 5. |
||||||||||||||||
4. |
y y 4sin x при y 0 y 0 7. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
y y x2 |
при y 0 |
y 0 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
y |
2y 2y xe |
x |
|
при y 0 y |
|
0 |
0. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
y |
|
2y |
|
2y 2e |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
при y 0 2; y |
0 8. |
||||||||||||||||
8. |
y 2y 5y 5x 3 |
при y 0 1; y 0 3. |
|||||||||||||||||||
9. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
16y 3cosx 5sin x при y 0 1; y |
0 4. |
|||||||||||||||||||
10. y 6y 9y 9x |
|
при y 0 2; |
y 0 7. |
129
11. |
y 5y 6y 12x2 |
15x при y 0 3; y 0 8. |
||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
y 8y 16y 2cos4x 4sin4x при y 0 y 0 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
2y 5y 7y 14x 3 |
|
при y 0 y 0 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||
14. |
y 6y 10y 10x 4 |
|
при y 0 1; y 0 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
||||||||
1. |
y 2cos x 5sin x 2ex . |
2. y 3 x3 ex . |
||||||||||||||||||||||||||||||
С3. y |
|
44 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
||||||||
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
y 7cosx 9sinx 2xcosx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
y 3ex |
e x |
x2 2. |
|
6. y e x x sin x . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
y e |
|
|
(7sin x cosx) e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
y ex cos2x sin 2x x 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. |
y cos4x sin4x |
1 |
cosx |
1 |
sin x. |
|||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
10. y 2 e3x x e3x x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11. |
y e 2x 2e 3x |
2x2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5x 21. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
бА |
||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
y e 4x |
С С x |
1 |
cos4x |
1 |
sin4x. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|||||
|
|
|
29 |
|
x |
|
2 |
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д3x |
1.Какие уравнения называютсяИдифференциальными уравнениями первого порядка?
2.Что называется общим решением и общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка?
3.В чём состоит задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?13. y e e 2x 1. 14. y e sinx x 1.2
130
4. |
Какие виды дифференциальных уравнений первого порядка и |
их методы решения вы знаете (с разделяющимися переменными, |
|
однородные, линейные, Бернулли)? |
|
5. |
Как записываются дифференциальные уравнения второго |
порядка? |
|
6. |
В чём состоит геометрическая интерпретация задачи Коши |
для дифференциального уравнения второго порядка? |
|
7. |
Как е в ды д фференциальных уравнений второго порядка, |
допускающ х пон жен е порядка, вы знаете? |
|
8. |
Как зап сываются однородные линейные дифференциальные |
уравнен я второго порядка с постоянными коэффициентами? |
|
С |
|
формул руйте теорему о структуре общего решения. |
|
9. |
Что называется неоднородным линейным дифференциальным |
уравнен ем второго порядка с постоянными коэффициентами? |
|
10. Как формул руется теорема о структуре общего решения |
|
неоднородногоил нейного дифференциального уравнения второго |
|
порядка с постоянными коэффициентами? |
|
11. Как е методы применяются для нахождения неопре- |
|
делённых коэффициентов частного решения неоднородного |
|
линейного дифференциального уравнения второго порядка с |
|
постоянными коэффициентами? |
|
|
Контрольная работа по разделу « ифференциальные |
|
бАуравнения» |
|
Вариант 1 |
Найти решения дифференциальных уравнений: |
|
|
Д |
1. xy2 x dx y x2 y dy. |
|
2. |
1 x2 y xy 2x, если y 0 при x 0. |
3. |
2y y 0 при x 0; y 0; у 1. |
4. 9y 12y 4y 0. |
И |
|
5. y 6y 9y 2x2 x 3 . |
||
|
131
Вариант 2
Найти решения дифференциальных уравнений:
1. |
y 4 x |
2 dy |
y2 2dx 0. |
|
|||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
y |
|
3 |
y |
x, если y 1 |
при x 1. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
при y 0 1; y 0 |
3. |
||||||||
3.y " |
|
4y ' |
4y 0 |
|
|||||||||||||||||
4. 25y 8y y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. y |
|
|
3y |
|
2y (1 2x). |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
бА |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|||
Найтирешен я д фференциальных уравнений: |
|||||||||||||||||||||
1. |
3 ln y(4 x )dy ydx 0. |
|
|||||||||||||||||||
2. |
y y x2 3, если y 5 |
при x 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
при y 0 |
5; y 0 3. |
||||||||||
3.y 2y y 0 |
|||||||||||||||||||||
4.y 2y 5y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||
5. 3y |
|
y |
|
2y (1 2x |
2 |
). |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
Найти решения дифференциальных уравнений: |
|||||||||||||||||||||
1. |
x |
|
|
|
3 y |
2 |
dx y |
|
3 |
x |
2 |
5 dy 0, если y 0 при x 0. |
|||||||||
2. x 1 y 2y x 1 4 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
y 3y 4y 0 |
при |
|
x 0; y 3; |
у 1. |
||||||||||||||||
4. |
4y 9y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. 9y 6y y 2x 5.
132
Вариант 5
Найти решения дифференциальных уравнений: 1. y3 2 dx xy2 dy 0.
2. |
y |
|
2y |
|
x 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
при x 0; |
|
|
3. |
9y 6y y 0 |
y 3; |
у 1. |
||||||
4. 25y 6y y 0. |
|
|
|||||||
и |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5. |
y |
|
6y |
|
5y 3x x 2. |
|
|
2.ВысшаябАматематика в упражнениях и задачах : в 2ч. : учебное пособие / П.Е. Данко [и др.] – 7-е изд., испр. – М. : ОНИКС : Мир и Образование, 2008. – Ч. 2. – 2008. – 448 с.
3.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : в 2 т. : учебное пособие /Н.С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс,2006. – Т. 2. – 544 с.
4.Шипачев, В.С. Курс высшейДматематики : учебник/ В.С. Шипачев ; ред. А.А. Тихонов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Проспект, 2005. – 600 с.
5.Матвеева, С.В. Математика: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Интегральное исчисление. ифференциальные уравнения. Комплексные числа [Электронный ресурс] : учебное пособие / С.В. Матвеева. –
Электрон. дан. – Омск : СибА И, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd181.pdf, свободный. –СибАДИЗагл. с экрана (дата обращения
кресурсу:16.09.19).
6.Руппель, Е.Ю.Курс высшей математики : учебное пособие / Е.Ю. Руппель. –
Омск : СибАДИ, 2001. – Ч. 2. − 228 с.
7.Задачник-практикум по математике : учебное пособие : в 2 ч. / Т.Е. Болдовская, С.В. Матвеева, Е.Ю. Руппель. – Омск : , 2013. – Ч. 1. – 115 с. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/EPD1051.pdf, свободный. – Загл.
с экрана (дата обращения к ресурсу: 18.09.19).
8. Задачник-практикум по математике : учебное пособие : в 2 ч. / Е.Ю. Руппель, С.В. Матвеева, Т.Е. Болдовская. – Омск : СибАДИ, 2013. – Ч. 2. – 115с. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/EPD1052.pdf, свободный. – Загл. с экрана (дата обращения к ресурсу: 18.09.19).
133