6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго

порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

С

y py qy 0,

где p q– заданные действительные числа.

Теорема Коши для линейных однородных дифференциальных

уравнен й второго порядка с постоянными коэффициентами

формул руется

о разом.

следующим

x0; y0; y0

Теорема Коши. При лю ых начальных данных

задача Коши меет,

пр чем единственное, решение, т.е.

при любых

y x

` x ;y x

y .

0

0

0

0

y py qy 0

Два решения y1(x) и y2 (x) уравнения

называются

линейно независимыми на отрезке

a,b , если их

бА

отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если

y1

const.

Если y

и y

y2

2

есть некоторые функции от

x, то определитель

1

Д

W y1,y2

y1y2

y1y2

y1y2

y y2

называется определителем Вронского, или вронскианом данных

функций.

И

Теорема.

Если

решения

y1(x)

и

y2

(x) уравнения

Теорема (о структуре общего решения). Если

y1 x и

y2 x

два линейно независимых решения линейного однородного

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами, то общее решение этого уравнения имеет вид

где C1 и C2

y C1y1(x) C2 y2(x),

– произвольные постоянные.

Выражение

C1y1 C2 y2

называется

линейной

комбинацией

функц й y1 x

y2 x .

Чтобы найти общее решение линейного однородного

дифференц ального уравнения второго порядка с постоянными

Скоэфф ц , достаточно найти два линейно независимых

частных решен я.

Будем

скать эти частные решения уравнения в виде y ekx, где

k=const; тогда y

ke

kx

; y

k

2

e

kx

.

ентами

Подстав м выражение для y, y и y в уравнение и получим

k2ekx pkekx

qekx

0, т.е. ekx k2

pk q 0.

Так как ekx 0, то

k2 pk q 0.

Уравнение

k2 pk q 0

называется

характеристическим

уравнением линейного однородного дифференциального уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами.

бА

Для составления характеристического уравнения достаточно в

дифференциальном уравнении заменить y ,

y

и y соответственно на

k2, k и 1.

Решив

характеристическое

уравнение

по

формуле

p

p2 4q

Д

k

,

найдем

его

корни

k

и k

2

, тогда

частные

1,2

2

1

решения уравнения запишем в виде

y ek1 x; y ek2 x .

1

2

И

При решении характеристического уравнения возможны три

случая.

Случай

1.

Корни

характеристического

уравнения

С

y C ek1x

C

2

ek2x .

лучай

2.

Корни

1

уравнения

характеристического

действ тельны

равны: k1 k2 k .

В этом случае непосредственно находится лишь одно частное

и

решен е:

y

ekx .

1

скать второе частное решение в виде

Будем

Действ тельно,

y2 xekx.

x e

kx

kx

kx

e

kx

kx

e

kx

1 kx ;

y2

xe

xe

xke

kx

kx

kx

kx

kx

2

1 kx e

1 kx ke

1 kx e k e

2k k x .

y2 e

Подстав в

выражение

для y, y

и

y в исходное

дифференциальное уравнение, получим

ekx 2k k2x pekx 1 kx qxekx

ekx x k2 pk q 2k p 0.

2

Д

ВыражениебАk pk q 0, так как число k является корнем

характеристического уравнения, 2k p 0, так как

k

p

. Значит,

y2 xekx также

2

функция

является

решением

характеристического

уравнения.

И

Покажем,

что решения

y ekx

и y

2

xekx

являются линейно

1

независимыми. Для этого рассмотрим

y

ekx

x const .

1

y2

xekx

k

p

p2 4q

, где p2 4q 0.

1,2

2

4q p2

Тогда k

p

i2

p

i

4q p2

.

1,2

2

2

2

Обознач в

a

p

и

b

4q p2

, получим k

a bi и

2

2

1

они

k2 a bi

b

0 .

СЧастные решен я можно записать в форме

y e(a ib)x ; y

2

e(a ib)x.

1

бА1 2

Пр мен м формулы Эйлера и перепишем их в виде

y eax cos x; y

2

eax sin x.

Убед мся,

что

1

Для этого

удут линейно независимыми.

рассмотр м отношен е

y eax cosbx

1

ctgx const.

y2

eax sinbx

Таким образом, о щее решение уравнения в случае

комплексных корней характеристического уравнения имеет вид

y C eax cos bx C

2

eax

sin bx, или

1

y eax C cos bx C

sin bx .

Пример 1. Найти частное решение уравнения y 7y 12y 0,

удовлетворяющее начальным условиям: y 0 1; y

0 2.

Решение. Составим характеристическое уравнение, заменив y ,

y , y на k

2

, k

2

, 1 соответственно,Дполучим k 7k 12 0.

Корни квадратного уравнения найдем по формуле

7

72 4 12

7

7 1

k

1

,

1,2

2

2

2

откуда k1 3 и k2 4.

И

Подставляя найденные значения k1 и k2 в формулу для первого

случая, получим общее решение y C e 3x C

e 4x .

1

2

30

C2e

40

;

1 C1 C2;

1 C1e

или

4C

e 40,

4C2,

2 3Ce 30

или 2 3C1

1

2

C

1 C ;

2

1

С

откуда

2 C1 ,

C1 2

и C2

1.

Таким образом, искомым частным решением

является функц я y 2e 3x

e 4x .

Корни

7y y 6y 0.

Пр мер 2. Найти решение уравнения

Решен е. Состав м характеристическое уравнение, заменив y

,

y , y на k2, k , 1 соответственно, получим

7k2 k 6 0 .

бА

1 13

найдем по формуле k

1

1 4 6 7

, откуда

1,2

2 7

14

k1 1

k2

6

, т.е. получили первый случай. Подставляя найденные

7

значен я k1

k2

в соответствующую формулу, запишем общее

решение y С ex С

6

x

2

e 7 .

1

Пример 3. Найти решение уравнения y 4y 4y 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение, заменив y ,

2

Д

y

, y на

k

, k , 1 соответственно, получим k

4k 4 0.

Корни найдем

по

формуле

k

4

16 4 4

4 0

2,

1,2

2

2

откуда

k1 k2

2.

Подставляя найденные значения

k в формулу,

соответствующую

второму

случаю,

И

получим

общее

решение

y e 2x C C

2

x .

1

Пример 4. Найти решение уравнения y 9y 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение k2 9 0 и

решим

его :

k2 9;

k

3 i.

Уравнение

9

9 1

1,2

a 0;

b 3 .

имеет комплексные корни

k1,2

3i

По формуле третьего случая общим решением будет

y e0x С cos

3x С

2

sin 3x ,или

1

y С1 cos3x С2

sin3x.

Пример 5. Найти частное решение уравнения y 6y 10y 0,

удовлетворяющее начальным условиям:

y 0 1;

y 0 3.

Решение.

Составим

характеристическое

уравнение

k2 6k 10 0 и найдём его корни:

С

k

6

36 4 10

6 4

6 2i

3 i

a 3; b 1 .

1,2

2

2

2

По формуле, соответствующей третьему случаю, общим

решен ем будет функц я

систему

С cosx С

sinx .

y

e3x

2

1

Прод фференц руем общее решение

y 3e3x C1 cosx C2 sin x e3x C1 sin x C2 cosx .

бА

0 3,

получим

Подстав в

начальные

условия

y 0 1;

y

для определен я C1 и

C2 :

1 e

0

C cos0 C

2

sin0 ;

1

3 3 e0 C cos0 C sin0 e0

C sin0 C cos0 ,

1

2

1

2

или

1 1 C1 1 C2 0 ,

1 ,

3 3 1 C 1 C

2

0 1 C 0 C

2

1

1

или

1 C1;

C1 1;

Д

C2 0.

3 3C1 C2;

C1 1;

C2 0 в

Подставив

полученные

значения констант

И

общее решение, получим y e3x cosx – искомое частное решение.

Задачи для самостоятельного решения

Найти решения дифференциальных уравнений. В тех задачах, в

которых

заданы

начальные

условия,

найти

решения,

удовлетворяющие этим условиям.

1.

y y 2y 0.

2.

y 3y 0.

3.

y 4y 5y 0.

4.

25y 4y 0.

5.

y 2y y 0 при

6.

y 2y 2y 0 при

y 0 4; y 0 3.

y 0 0; y 0 1;.

7.

y 8y 15y 0при

8.

y 2y 5y 0при

y 0 2; y 0 8.

y 0 1; y 0 3.

9.

y 16y 0 при

10.

y 6y 9y 0 при

y 0 1; y 0 4.

y 0 2;

y 0 7.

11.

y 5y 6y 0 при

12.

9y 12y 4y 0.

y 0 3; y 0 8.

13.

9y y 0.

14.

y 6y 10y 0 при

y 0 1; y 0 3.

15.

y y 6y 0.

16.

y 7y 10 0.

С

18.

y

6y

8y 0.

17.

y 8y 16y 0.