Шаг 1. Сначала векторы w ,

принимаем равными нулю и ре-

шаем уравнения (24) с определением всех компонентов wmn вектора

w как для жесткой пластинки.

Шаг 2. Полученный вектор w подставляется в уравнение (23)

и вычисляется каждый компонент ij вектора , при этом матрица

Aij , соответствующая ij , должна быть уже подготовлена.

Шаг 3. Теперь векторы w , , найденные в первом приближе-

нии, подставляются в уравнения (24) с заранее подготовленными мат-

рицами Bmn , затем вычисляются элементы wmn

и из них формиру-

ется обновленный вектор w .

Шаг 4. Процесс повторяется, начиная с шага 2, или заканчива-

ется, если разница между векторами w , ( ,) вычисленными на теку-

щем шаге и предыдущем, составляет малую долю от длины вектора

w , ( ).

После завершения процесса последовательных приближений

компоненты wmn , ij векторов w , оказываются известными и ис-

И

пользуются в двойных тригонометрических рядах (22), аппроксими-

рующих функцию прогибов w и функцию напряжений . Эти уже

Д

известные функции в дальнейшем используются для вычисления про-

гибов, изгибающих моментов (19), продольных сил (20) в конкрет-

ных сечениях пласт нки.

А

1.7. Пример 1

б

Изгиб квадратной в плане пластины с

и

распределенной нагрузкой. Размеры в плане

пластины a 1,0

м, b a 1,0 м,

толщина

0,01

м,

модуль

упругости

a

С

0.875 a

E 210ГПа,

коэффициент

Пуассона

0,2.

Равномерно распределенная

на-

грузка

интенсивностью

q 65,2кН/м2

0.875 a

размещена на квадратной площадке с раз-

a

Рис.4

мерами

c (14/16)a 0,875м.

Центр

площадки совпадает с центром плана пластинки (рис.4). Пластинка по

всем четырем кромкам шарнирно оперта.

Для определения изгибающих моментов и внутренних усилий в

пластинке сначала необходимо найти функцию прогибов и функцию

wmn , ij рядов (23), (24) изменяются в

пределах

от 1 до

I J M N 10 включительно. Таким образом, количество коэф-

фициентов каждого ряда равно M N 100,

I J 100.

Поэтому

уравнений системы (23), (24). В данном расчете количество повторений

шагов 2 и 3

И

было выполнено 200. Далее выполняется расчет прогибов и

внутренних усилий с построением соответствующих эпюр, показанных

,

Д

нарис.5–11.

,

На рис. 5 приведены эпю-

А

,

ры прогибов пластинки по ли-

ниям, параллельным оси

x ,

с

,

б

шагом между ними, равным

a/16. Как видно из рисунка,

прогибы симметричны относи-

Рис.5

тельно

центральных осей пла-

,

С

стинки.

Максимальный прогиб

,

и

равен

wmax 0,009748 м.

,

Прогиб примерно равен толщи-

,

,

не пластинки 0,01м.

На рис. 6 даны эпюры из-

,

,

гибающих моментов Mx

на ли-

Рис.6.

ниях, ориентированных

также

как эпюры прогибов, а на рис. 7

– моментов My . Ординаты

,

обеих эпюр вычислены в узлах

,

сетки, наложенной на пластин-

,

,

ку (см. рис. 4). Значения момен-

,

тов Mx

и My

в узлах

сетки

,

,

совпадут, если одну из вычис-

Рис.7

ленных

таблиц

повернуть

в

12

Рис.8

Рис.9

плане на 900. Максимальные

одинаковы Mxmax Mymax 1,772

значения моментов Mx , My

кН.м/м, но в центре пластинки

Mx My 1,755 кН.м/м. 17 эпюр

дует отметить, что вблизи краев пластины нормальные усилия оказы-

ваются сжимающими, но по величинеДнезначительны.

А

б

и

Рис.10

Рис. 11

С

y

сунке

x1 0,25a,

x2 0,625a ,

y1 b/6, y2 b/2. Ячейки наложен-

b/2

ной сетки квадратные. Шаг сетки равен

y2

1/16 м. Пластинка по всем четы-

b/3

b

рем кромкам шарнирно оперта.

y1

Расчет

выполнен

так же, как в

0

b/6

x

примере 1,

с использованием двойных

0.25 a

x1

0.375 a

x2

0.375 a

тригонометрических рядов для аппрок-

a

Рис. 12

симации функции прогибов и функции

напряжений. Индексы искомых коэф-

фициентов wmn , ij

рядов

(15),

И

в пределах до

(16) изменяются

I J M N 10 включительно. Эпюры прогибов, в количестве 11,

Д

показаны на рис.13. Наибольший прогиб

wmax 1,007cм в точке с

координатами x 7 ,y 5 . Как видно из рисунка, эпюры прогибов

А

несимметричны относительно середины пластинки.

Эпюры моментов Mx , My

показаны на рис. 14–15 с максимума-

ми Mxmax 3,237

б

кН.м/м,

Mymax 5,146 кН.м/м. Максимальные

,

и

H , согласно рис. 16, действуют на

значения крутящих

моментов

кромках пластинки (Hmax 2,719 кН.м/м).

,

С

,

,

Рис. 13

Рис.14

Рис.15

Рис.16