1608

23 = 2 + 3= - 3 + 8 = 5;31 = 3 + 1= -6 + 7 = 1.

Условие оптимальности плана заключается в том, что для каждой свободной клетки, т.е. там, где Хij = 0, косвенные тарифы не превышают истинных: ij Cij, иначе, сумма потенциалов для любой свободной клетки меньше тарифа: i + j Сij. В соответствии с этим правилом найдем разности между истинными и косвенными тарифами для свободных от поставок клеток:

11 = С11 - 11 = 15- 7 = 8;13 = С13 - 13 = 7 - 8 = - 1;

32 = С32 - 32 = 8 – (- 3) = 11;22 = С22 - 22 = 5 – 0 = 5;23 = С23 - 23 = 11 – 5 = 6;31 = С31 - 31 = 10 - 1 = 9.

Поскольку есть разница меньше нуля ( 13 = - 1), то условие оптимальности плана не выполняется. Улучшение опорного плана состоит в использовании незанятых клеток (где Хij = 0) путем перераспределения намеченного к перевозке продукта.

Отрицательная разность ( 13 = - 1) указывает на ту перспективную клетку Х13, загрузка которой приведет к улучшению плана, т.е. к снижению суммарных транспортных расходов. Если таких клеток несколько, то из них вначале выбирают ту, у которой разность по абсолютной величине большая. В рассматриваемом примере она одна, поэтому догрузим Х13, поставив в нее знак «плюс». Составим цепочку пересчета поставок, начиная с Х13 по следующему правилу: цепочка строится в виде прямоугольника, одна из вершин которого находится в свободной клетке Х13, а остальные – в занятых Х14, Х34, Х33; (все углы прямоугольника должны быть прямыми); в одной строке и одном столбце не должно быть более двух вершин цикла. Вершинам цикла последовательно приписываются чередующие знаки («плюс» – догрузить Х13 и Х34 и «минус» – разгрузить Х14 и Х33). Из клеток со знаком «минус» выбирается наименьшая величина поставки (min [70, 80] = 70) и перемещаемся последовательно по клеткам построенного прямоугольника: догружается в клетках со знаком “плюс” (Х13= 0 + 70 = 70, Х34 = 40 + 70 = 110) и разгружается в

30

клетках со знаком “минус” (Х33 = 80 – 70 = 10, Х14 – 70 – 70 = 0). Таким образом, получаем новый план перевозок однородного

продукта (см. табл. 9).

Производим проверку на оптимальность нового плана перевозок. Теперь заняты другие клетки, поэтому заново вычисляем для них потенциалы:

11 = 1 + 1=0 + 6 = 6;14 = 1 + 4=0 + 11 = 11;22 = 2 + 2= - 2 + 3 = 1;23 = 2 + 3= - 2 + 7 = 5;31 = 3 + 1= - 5 + 6 = 1;32 = 3 + 2= - 5 + 3 = - 2.

Вычисляем разности между истинными и косвенными тарифами:

11 = С11 - 11 = 15- 6 = 9;

31

14 = С14 - 14 = 12 - 11 = 1;22 = С22 - 22 = 5 – 1 = 4;23 = С23 - 23 = 11 – 5 = 6;31 = С31 - 31 = 10 - 1 = 9;

32 = С32 - 32 = 8 – (- 2) = 10.

Поскольку все разности положительные, то полученный план (см. табл. 9) является оптимальным. При этом суммарные затраты на транспортировку однородного продукта от поставщиков к заказчикам составляют:

R( Xi) Cij Xij 3 110 7 70 4 120 9 30 6 110 2250 руб.

i j

Экономия по сравнению с первым (опорным) планом, полученным методом минимальной стоимости, составляет:

R( Xij ) 2320 2250 70 единиц.

Отчет оформляется в производственной форме с подробным описанием всех действий, связанных с оптимизацией плана перевозок.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что выражает собой матрица удельных транспортных расходов?

2.Что такое транспортная сеть?

3.Привести экономико-математическую постановку транспортной задачи.

4.Привести решение транспортной задачи методом "северо западного угла".

5.Привести решение транспортной задачи методом минимальной стоимости.

6.Что такое косвенный тариф и псевдостоимость?

7.Что такое потенциалы поставщиков и заказчиков?

8. Какова методика решения транспортной задачи методом потенциалов?

32

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА О РЕКЛАМЕ

На бытовом уровне эта задача может быть сформулирована следующим образом.

Пусть имеется некоторый ресурс (допустим, заданный объем денежных средств на рекламу) и существует несколько способов его расходования (реклама на телевидении, на радио и в газетах). Заданы удельные затраты по каждому способу расходования ресурса (стоимость минуты рекламы на радио и телевидении, единицы газетной площади) и эффективность вложения средств при расходовании ресурса по каждому способу (эффективность затрат в перерасчете на единицу времени на радио, телевидении и на единицу газетной площади). Необходимо рассматриваемый ресурс (деньги) распределить между способами его расходования (радио, телевидение и газеты) таким образом, чтобы суммарная эффективность от их использования (суммарная эффективность всех способов рекламы) была максимальной.

В современной литературе такая формулировка задачи линейного программирования известна как задача оптимального распределения ресурсов. Сложность задачи оптимального распределения ресурсов применительно к рекламе состоит в том, что удельные затраты на различные виды рекламы и эффективность их использования имеют значительные отличия. Подобные задачи возникают довольно часто и совсем по другому поводу.

3.1. Экономико-математическая постановка задачи оптимального распределения ресурсов

Пусть имеются n ресурсов с запасами b1,b2 ,b3 ,...,bi ,...,bn и m

технологий, в результате использования которых можно получить m разновидностей товарных продуктов. Известны нормы расхода i-го сырья для изготовления единицы j-го продукта aij и отпускная цена

за единицу j-ой продукции c j .

Необходимо разработать план производства товарной продукции при условии обеспечения максимума суммарной выручки от ее реализации.

33

Для постановки задачи введем дополнительную переменную x j

– искомое количество товарной продукции j-го вида.

Согласно формулировке задачи необходимо обеспечить максимум выручки от реализации всех товарных продуктов. Исходя из этого, определим величину выручки от реализации x1 единиц первого продукта (товара первого вида), если единица этого продукта имеет цену c1 . Получаем c1 x1. Для второго продукта имеем c2 x2 , для j-го – c j x j и, наконец, для m-го – cm xm .

Тогда целевая функция, отражающая суммарную величину выручки от реализации всего ассортимента товарной продукции, будет иметь вид:

В реальных условиях производства выпуск рассматриваемой товарной продукции будет происходить в условиях заданных запасов по ресурсам. Рассмотрим ограничение по запасам первого ресурса.

т.е. суммарный расход первого ресурса для всего ассортимента товарной продукции не должен превышать (т.е. должен быть меньше или равен) запасам первого ресурса b1 .

Распространяя эту формулу на остальные ресурсы, имеем

Решение рассматриваемой задачи не должно быть отрицательным, т.к. это будут реальные единицы выпускаемой продукции, измеряемой в штуках, комплектах, тоннах и т.п., поэтому необходимым ограничением рассматриваемой задачи должно быть условие неотрицательности решения, т.е.

Таким образом, задача оптимального распределения ресурсов в компактной форме будет иметь следующую экономикоматематическую постановку

Решение задачи (36) (38) одним из известных методов решения задач линейного программирования (например, симплекс-методом) дает значения искомых переменных x1, x2 ,...,xm .

3.2. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

Общая постановка задачи линейного программирования и один из подходов к ее решению (идея разрешающих множителей или двойственных оценок) впервые приведена в работе российского ученого Л.В. Канторовича в 1939 г.

35

Им же совместно с М.К. Гавуриным в 1940 г. предложен еще один метод решения задачи линейного программирования, получивший название метода потенциалов, который разработан применительно к решению транспортной задачи.

Начало бурного развития линейного программирования связано наряду с появлением компьютерной техники и использованием ее для решения экономических задач, также и с разработкой в 1947 г. американским математиком Дж.-Б.Данцигом эффективного метода решения этого класса задач, получившего название симплекс-метода. Этот метод является обобщением метода потенциалов на общую задачу линейного программирования, но разработан независимо от него. Позднее были разработаны модификации симплекс-метода, такие, как модифицированный симплекс-метод, двойственный симплекс-метод и т.п., каждый из которых решал свою частную задачу (например, решение двойственной задачи линейного программирования, уход от зацикливания и т.п.)

Симплекс-метод – это метод решения задачи линейного программирования, в котором осуществляется направленное движение по опорным точкам плана до нахождения оптимального решения. Симплекс-метод еще называется методом улучшения плана.

Сущность симплекс-метода сводится к следующему.

1.Задача линейного программирования приводится к каноническому виду, когда ограничения имеют только равенства. Любое неравенство при этом приводится к равенству путем введения дополнительной неотрицательной переменной.

2.Затем все неизвестные x1, x2 ,...,x j ,...xn разбиваются на две

группы:

x1, x2 ,...,x j ,...,xm – основные (или базисные) переменные;

xm 1, xm 2 ,....,xn – не основные (или не базисные) переменные.

3.Базисные переменные выражаются через не базисные.

4.Не базисные переменные могут принимать любые значения в рамках допустимых, поэтому полагают, что xm 1 xm 2 .... xn 0 .

5.Подставляют значения не базисных переменных в целевую функцию и ограничения и таким образом находят первое опорное решение.

6.Переход к каждому последующему опорному решению происходит при условии, что целевая функция при этом не

36

ухудшается, а желательно, чтобы она улучшилась, и чем быстрее, тем лучше.

7. Пошаговая процедура повторяется до тех пор, пока есть возможность улучшения целевой функции.

При решении задачи линейного программирования симплексметодом выработаны четкие и однозначные признаки окончания расчетов, а именно:

а) если при решении задачи на максимум все неизвестные в целевой функции, кроме свободного члена, имеют отрицательные знаки, то полагают, что целевую функцию больше увеличить нельзя и оптимальное решение считается найденным;

б) если же решается задача на минимум, то оптимальное значение целевой функции считается найденным и на этом расчеты заканчиваются при условии, что все ее коэффициенты, кроме свободного члена, положительные.

В настоящее время разработаны достаточно эффективные алгоритмы решения задач линейного программирования симплексметодом с помощью компьютерной техники. Они предусматривают, как правило, особые условия ввода исходных данных, формирования исходной матрицы и вывода результатов решения, которые изложены

вматериалах, сопровождающих соответствующие пакеты прикладных программ. Каждый, кто заинтересуется этим методом более глубоко (например, как осуществляется формализованный поиск разрешающей строки, разрешающего столбца, разрешающего элемента матрицы, как осуществляется вращение матрицы вокруг разрешающего элемента и т.п.) может найти необходимые материалы

всовременной литературе.

Решим симплекс-методом одну из типовых задач линейного программирования – задачу оптимального распределения ресурсов.

3.3. Типовой расчёт

"Решение задачи оптимального распределения ресурсов симплекс-методом"

3.3.1. Задание

Пусть имеется 10 n * N м габардина и 8 n * N м бархата. Здесь N — порядковый номер студента в списке группы; - вторая цифра номера группы;

37

n - дополнительная переменная, которая принимает следующие значения:

Необходимо из этих тканей изготовить мужские и женские костюмы. При этом известно, что на один мужской костюм требуется 2 м габардина и 1 м бархата, а на один женский костюм1м габардина и 2 м бархата. Стоимость одного мужского костюма (4+N) единиц, а одного женского- (5+N) единиц. Составить план производства товарной продукции при условии обеспечения максимальной величины выручки от реализации рассматриваемых костюмов.

3.3.2. Образец выполнения работы

Введем следующие обозначения:

x j искомое количество костюмов j-го типа;

x1 искомое количество мужских костюмов, шт.; x2 искомое количество женских костюмов, шт.; bi запасы i-го сырья, м.;

b1 запасы габардина, м.; b2 запасы бархата, м.;

aij норма расхода i-го сырья для изготовления единицы j-ой

продукции;

a11 норма расхода габардина на один мужской костюм, м./шт.; a21 норма расхода бархата на изготовление одного мужского

костюма, м/шт.;

a12 то же, но габардина на один женский костюм, м./шт.;

38

a22 то же, но бархата на один женский костюм, м./шт.;

c j стоимость (цена) единицы j-й товарной продукции,

един./шт.;

c1 цена за один мужской костюм, един./шт.; c2 цена за один женский костюм, един./шт.

В соответствии с заданием необходимо рассчитать параметры — исходные данные рассматриваемой задачи.

Рассмотрим вариант постановки и решения данной задачи при условии, что n= N 0.

Тогда имеем следующие исходные данные:

Это типичная задача оптимального распределения ресурсов, которая имеет в общем виде следующую формулировку: составить план производства товарной продукции при заданных запасах сырья, нормах расхода каждого вида сырья на изготовление единицы товарной продукции и установленной цене каждого вида товарной продукции при условии обеспечения максимума суммарной выручки

оптимального распределения ресурсов для рассматриваемого варианта.

Обеспечить максимум целевой функции, выражающей суммарную величину выручки от реализации всех мужских и

рассматриваемого варианта 4 един./шт.), искомое количество мужских костюмов – x1. Отсюда c1 x1 величина выручки от реализации всех мужских костюмов (для рассматриваемого варианта 4 x1). Аналогично определяем величину выручки от реализации всех женских костюмов c2 x2 (5 x2 ) . Окончательно имеем

39