1608

Из этого следует, что сумма переменных Хij любого столбца и любой строки равна 1.

Эти ограничения можно записать в таком виде:

i 1 j 1

Согласно формулировке задачи, в качестве критерия оптимальности выбираем максимум суммарной производительности коллектива, состоящего из n рассматриваемых работников.

Задача заключается в отыскании неотрицательных значений (Хij.>0) системы линейных равенств (ограничений), чтобы обеспечить общую производительность труда всех работников (41) максимально возможной. Назовем задачу, в которой число исполнителей равно числу работ, задачей оптимального распределения сотрудников (исполнителей) по должностям (работам).

50

4.2. Экономико-математическая постановка задачи распределения машин и механизмов по работам

Иная планово-производственная задача возникает тогда, когда на одну и ту же работу, в общем случае, необходимо назначить не одного, как в предыдущем случае, а несколько, причем, может быть даже разных исполнителей (обычно это машины либо механизмы) в силу большого объема работ, с которым не может справиться один исполнитель. Для экономико-математической постановки такой задачи (назовем ее задачей о назначениях) введем следующие обозначения:

Вi – количество исполнителей i-го типа, шт.; Aj – плановый объем j-ой работы;

ij – производительность i-го исполнителя при выполнении j-ой

работы за рассматриваемый период;

ij – удельные эксплуатационные расходы при выполнении i-ым

исполнителем j-ой работы за рассматриваемый период;

X ij – искомое количество исполнителей i-го типа, которое

предполагается направить на выполнение j-ой работы, шт.

Исходные данные задачи о назначениях удобно записать в виде двойной матрицы (см. табл. 12).

Задача о назначениях имеет следующую экономикоматематическую постановку: в качестве критерия оптимальности выбирается минимум суммарных эксплуатационных расходов:

При условии выполнения плановых объемов по каждому виду работ:

51

Таблица 12

Исходные данные задачи о назначения

Ограничения по количеству исполнителей: на какую бы из работ не назначались исполнители, общее количество исполнителей, назначенных на все работы, не должно превышать количества, имеющегося в наличии:

Кроме того, непременным условием решения реальных задачи о назначениях является условие не отрицательности решения, когда

52

Решения задач (39)-(41) и (42)-(45), допустим, симплекс-методом позволяют определить оптимальные значения величин Хij для выбранного критерия оптимальности.

4.3.Типовой расчёт

«Экономико-математические постановки задач о назначениях»

4.3.1. Задание

1. За основу исходных данных задачи оптимального распределения сотрудников по должностям принимаем матрицу, в которой по верхней строке указаны девушки-партнерши, а по крайнему левому столбцу – юноши - партнеры бальных танцев, оцениваемых по десятибалльной шкале.

Величина Aij – экспертная оценка танца, исполняемая i-ым партнером в паре с j-ой партнершей (0<Aij<10). Матрица исходных данных должна содержать семь юношей и семь девушек. Экспертные оценки в своем варианте задачи студент проставляет по своему усмотрению в рамках допустимого. Необходимо сформулировать задачу и составить экономико-математическую модель формирования семи пар при условии максимизации суммы оценок этих пар.

2. Исходными данными второй проблемы-задачи о назначениях машин и механизмов по работам будет служить таблица исходных данных, которая использовалась в работе «Транспортная задача» (см. прил.). Введем дополнительно следующие обозначения: a1 a3 в

транспортной задаче соответствуют запасам однородного продукта у поставщиков, а в рассматриваемой задаче о назначениях они будут обозначать, соответственно, плановые объёмы работ на каждом из трёх автобусных маршрутов. Величины bi в этой задаче обозначают наличное количество исполнителей (автобусов) i-го типа, а в транспортной задаче – это величины заказов заказчиков. Эти условности необходимы здесь для того, чтобы воспользоваться таблицей исходных данных транспортной задачи для постановки рассматриваемой задачи о назначениях машин и механизмов по

53

пос.Чкаловский»; № 51 «Сибкриотехника-ж.д.вокзал», плановые объемы перевозок которых, соответственно, равны ai a N Ai (Ai – см.прил. столбцы 2-4 ). Заданы удельные эксплуатационные расходыij=Cij (см.прил. столбцы 9-20) и производительность автобусов на

расходов по обслуживанию всех маршрутов и выполнить плановый объём перевозок на каждом маршруте.

Для выполнения данного задания необходимо составить экономико-математические модели рассматриваемых задач для заданного варианта расчета (N). Величина а – это вторая цифра номера группы.

4.3.2. Образец выполнения работы

Задача о распределении сотрудников по должностям В качестве примера задачи распределения исполнителей по

работам рассмотрим результаты экспертных оценок бальных танцев, в которых участвовали трое юношей и три девушки, а их результаты сведены в табл. 13.

Экономико-математическая постановка задачи для рассматриваемого варианта будет иметь следующий вид: в качестве критерия решения задачи принимаем максимум суммарных оценок

54

составленных пар:

каждый партнер в результате решения будет иметь только одну партнершу:

Х31 Х32 Х33 1.

акаждая партнерша – только одного партнера:

Кроме того, необходимо соблюсти условие не отрицательности решения

Х31 0; Х32 0; Х33 0.

Врезультате решения задачи (А)-(Г) будут получены

оптимальные значения Xij, которые позволяют составить наилучшие пары танцоров, обеспечивающих максимум их суммарных экспертных оценок.

Задача о назначениях Запишем таблицу исходных данных. Согласно заданию,

воспользуемся для рассмотрения примера вариантом № 31(см. прил.). Примем a=1, N= 200. На основе этих посылок имеем следующие исходные данные задачи о назначениях (см. табл. 14).

Введем дополнительную переменную Xij-искомое количество автобусов i-го типа, назначенных для работы на j-м маршруте.

55

Например, Х23 – искомое количество автобусов второго типа («Икарус»), назначенных для работу на третьем маршруте (№ 51).

Экономико-математическая модель задачи о назначениях для рассматриваемого варианта будет иметь следующий вид: в качестве критерия решения данной задачи принимаем минимум суммарных эксплуатационных расходов автобусов, обслуживающих все указанные маршруты:

R(X) 15X11 4X12 10X13 3X 21 5X 22 8X 23 7 X 31 11X 32 2X 33 (А)

12X 41 9X 42 6X 43 min .

Здесь Xij, – количество автобусов i-го типа, назначенных для работы на j-м маршруте. Например, Х21 – количество автобусов второго типа (марки «ИКАРУС») для работы на маршруте № 69 (1 маршрут). Достижение минимума целевой функции (А) будет происходить в реальных условиях следующих ограничений:

1)Система ограничений по плановым объемам перевозок на маршрутах:

56

2)Система ограничений по количеству автобусов. Здесь необходимо соблюсти принцип: куда бы не распределялись автобусы, их общее количество не может превышать реальное их наличие, т.е.

3) Условия неотрицательности решения:

Решение задачи (А)-(Г) одним из известных методов решения задачи линейного программирования с помощью компьютера дает оптимальные значения искомых переменных Х11, Х12,….,Х43.

Отчет о работе составляется в произвольной форме с указанием исходных данных по заданному варианту и с необходимыми пояснениями экономико-математической постановки задачи.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Сформулируйте задачу распределения исполнителей по должностям.

2.Сформулируйте задачу распределения машин и механизмов по работам.

3.Что общего и чем отличаются задачи о распределении сотрудников по должностям и машин и механизмов по работам?

4.Приведите целевые функции, функции цели рассмотренных задач о назначениях.

5.Запишите ограничения по объемам работ, которые используются при постановке задачи о назначениях.

6.Запишите ограничения по наличному количеству исполнителей.

7.Как записываются условия неотрицательности решения, которые используются в виде ограничений рассматриваемых задач?

57

ГЛАВА 5. ЗАДАЧА О РЕСТОРАНЕ

5.1.Экономико-математическая постановка задачи

Вповседневной практике приходится довольно часто встречаться с ситуациями, когда необходимо составить единое целое из разных ингредиентов, компонентов, просто каких-то частей.

Например, необходимо рассчитать рецепт приготовления жидкой смеси из нескольких исходных компонентов. При этом, как правило, заданы (известны) физико-химические параметры как смеси так и исходных компонентов. Эта задача в условиях нефтеперерабатывающего предприятия усложняется еще и тем, что готовится не один продукт (допустим, бензин), а целый набор, согласно ассортименту (допустим, АИ-93, А-95 и т.п.). Это, можно сказать, одна из разновидностей такого рода проблем.

А вот другая их разновидность: заданы питательные качества пищевых продуктов, их стоимости. Необходимо обеспечить в рамках, допустим, столовой, кафе или ресторана оптимальный план закупки необходимых продуктов питания при условии обеспечения экстремума выбранного критерия.

Наконец, в нашей повседневной жизни возникает проблема обеспечения семьи продуктами питания в условиях выбора рациона питания из огромного множества взаимозаменяемых продуктов, имеющих различную питательную ценность и стоимость. Это непростые задачи. Для решения задач этой группы специально разработана типовая задача линейного программирования, которая в разных научных источниках именуется по разному: задача о ресторане, задача о смесях либо задача о диете.

Сущность ее сводится к следующему. Применительно к смесям: имеется n исходных компонентов с заданными свойствами в заданных количествах. Необходимо определить рецепты и объемы приготовления смеси с заданными качествами при условии, например, максимизации выпуска высококачественных смесей либо максимизации суммарной выручки от реализации всего ассортимента смесей и т.п. В такой постановке, как правило, решается задача оптимизации выпуска большинства товарных нефтепродуктов, которые готовят путем смешения довольно большого числа

исходных компонентов, получаемых в виде фракций на

58

технологических установках в результате разгонки нефти. Подобные задачи могут возникать и в других областях науки, техники и быта.

Рассмотрим формулировку и экономико-математическую постановку данной задачи на основе организации рационального питания человека, которая называется задачей о диете либо задачей о ресторане. На практике нередко возникают задачи, связанные с рациональным планированием покупок продуктов питания, обеспечивающих необходимый рацион (например, планирование рациона семьи). Как правило, эти задачи решаются в реальных условиях ограниченного ассортимента товарных запасов, стоимостей, суточных норм потребления питательных веществ и их содержания в продуктах. В любом случае, из всех допустимых вариантов необходимо выбирать самый экономичный.

Экономико-математическая постановка задачи

Допустим, в наличии имеется набор продуктов: мясо, рыба, молоко, сахар, яйца, картофель, овощи, фрукты, хлеб, мука (см. табл. 15) по ценам, соответственно, C1,C2 ,C3,...C j ,...,Cn , с запасами

A1, A2 , A3,...A j ,...,An . Содержание питательных веществ – белков,

жиров, углеводов, витаминов и минеральных солей – в одном грамме каждого продукта составляет, соответственно: q11,q21,...qij ,...,qmn , а

также известны суточные нормы потребностей человека в каждом питательном веществе: B1,B2 ,B3,...Bi ,...,Bm . Введем дополнительную переменную x j – искомое количество закупаемого продукта j-го типа. Эти показатели можно связать системой линейных ограничений:

В задаче необходимо определить такое количество закупаемых продуктов x1,x2 ,x3,...,x j ,...,x n , которое, с одной стороны, обеспечило

бы потребности человека в питательных веществах, а с другой, – стоимость этого набора была бы минимальной, т.е.

59