1608

Достижение максимума целевой функции (A0) будет происходить в реальных условиях следующих ограничений:

а) ограничения по запасам габардина:

На изготовление одного мужского костюма требуется a11 м. габардина (2 м./шт.), искомое количество мужских костюмов x1 , а для рассматриваемого варианта 2 x1 .

Аналогично и для женских костюмов – a12 x2 или конкретно для рассматриваемого варианта 1 x2 .

Общий расход габардина для пошива всех мужских и женских костюмов не должен превышать запасов габардина на складе – b1

(для рассматриваемого варианта – 10 м.) Окончательно имеем:

б) ограничения по запасам бархата:

Для пошива одного мужского костюма требуется a21 м. бархата (в рассматриваемом примере 1 м./шт.). Для пошива искомых x1 мужских костюмов потребуется a21 x1, а для рассматриваемого

варианта 1 x1 .

Аналогично и для женских костюмов – a21 x2 или конкретно для рассматриваемого варианта 2 x2

Общий расход бархата для пошива всех мужских и женских

Кроме того, решение задачи – это искомые количества мужскихx1 и женских x2 костюмов. Это реальные величины, допустим, 5

шт. мужских и 7 шт. женских костюмов, которые не могут быть отрицательными величинами. Отсюда логически вытекают

40

следующие ограничения, которые непременно следует учесть при постановке рассматриваемой задачи:

Таким образом, имеем следующую экономико-математическую модель задачи оптимального распределения ресурсов для рассматриваемого варианта:

Изобразим эту задачу графически.

Соотношения (A0) – (E0) – прямые линии, которые строим по двум точкам. Рассмотрим это на примере построения линии, соответствующей соотношению (B0):

2 x1 x2 10 .

Положим, что x2 0 , тогда x1 10 / 2 5 ; а если x1 0, то x2 10 . Откладываем эти точки на осях координат и соединяем их

прямой линией (рис. 3).

По аналогии строим прямую линию (C0), а затем отмечаем линии, соответствующие соотношениям (D0) и (E0), как показано на рис. 3.

Построим прямую линию, соответствующую целевой функции (A0). Построение необходимо вести с таким расчетом, чтобы точки, по которым мы будем строить эту прямую, не выходили за пределы максимальных величин, указанных на осях координат.

Исходя из этого, приравниваем целевую функцию, допустим, к

41

40.

R(x) c1 x1 c2 x2 4 x1 5 x2 40 ;

тогда, если x1 0, то x2 8 ;если x2 0 , то x2 10 .

По этим двум точкам строим прямую (A0) (см. рис. 3).

Как в самом общем случае определить, в какой полуплоскости от любой рассматриваемой прямой, которая изображает соответствующее ограничение, лежит область допустимых решений (ОДР)? Для этого необходимо выбрать точку по одну сторону этой прямой и, если ее координаты удовлетворяют условию рассматриваемого ограничения, то ОДР лежит в этой полуплоскости, в противном случае – в противоположной полуплоскости.

Для рассматриваемого примера выбираем точку x1 x2 0 ,

координаты которой подставляем в соотношения (B0) – (E0) и убеждаемся в том, что эта точка принадлежит области допустимых решений.

Отсюда многоугольник OMNG - область допустимых решений задачи (B0) – (E0).

x2

10

С

М

B

x1

G

Рис. 3. Геометрическая интерпретация задачи оптимального распределения ресурсов для рассматриваемого варианта

42

Построенная прямая линия (A0) изображает направление целевой функции данной задачи. Эту прямую, не меняя углов наклона к осям координат, можно перемещать параллельно самой себе. При этом, если необходимо найти максимум целевой функции, то прямую (A0) необходимо удалить на максимально допустимое

большое расстояние от начала координат x1 x2 0, но с таким

расчетом, чтобы прямая (A0) имела хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений данной задачи.

В рассматриваемом примере это будет точка N с координатами

Таким образом, получено графическое решение данной задачи оптимальный план выпуска товарной продукции: мужских костюмов необходимо сшить 4 шт.( x1 4 шт.), а женских - 2 шт. ( x2 2 шт.)

Для графического решения задачи (A0) – (E0) нам удалось изобразить ее в двумерном пространстве X 1 X 2 , что позволило

продемонстрировать наглядно область допустимых решений, направление целевой функции и, наконец, количественное решение рассматриваемой задачи.

Вместе с тем, в такой постановке задача (A0) – (E0) не является задачей линейного программирования, поскольку у нее два неизвестных ( x1 и x2 ) и два ограничения по ресурсам [(B0) и (C0)], а

необходимо, чтобы количество неизвестных было больше числа ограничений. Кроме того, запишем рассматриваемую задачу в каноническом виде, т.е. сведем неравенства [(B0) и (C0)] к равенствам.

Теперь, зная графическое решение рассматриваемой задачи, решим эту задачу симплекс-методом. Для этого введем дополнительные переменные y3 и y4 , соответственно, остатки

габардина и бархата, м.

Сведем за счет этого неравенства (B0) и (C0) к равенствам и введем штрафные санкции: за каждый метр остатка ткани назначаем штраф 1 руб. и записываем рассматриваемую задачу в каноническом виде:

Подставляем значения небазисных переменных в (A2) – (C2) и имеем первое опорное решение, которое для компактности записи, лучшей обозримости и сравнения решений заносим в таблицу (табл. 10).

Таблица 10

Результаты решения задачи

метр остатка любой из тканей, которые находятся в нашем распоряжении, назначается штраф в 1 руб., то отсюда имеем 18 1=18 руб. убытков.

После экономического анализа проводим математическую проверку правильности решения.

Для этого подставляем значения неизвестных в целевую

функцию (A1)

R(x) 4 0 5 0 10 8 18 .

Данные проверки и решения совпадают, а это значит, что расчёты выполнены верно.

2 шаг: для того, чтобы осуществить следующий шаг, анализируем целевую функцию (A2) на предыдущем шаге: ее можно быстрее увеличить за счет переменной x2 , поскольку у нее

коэффициент 8, а у x1 – 7, поэтому x2 переводим в базисные переменные. А теперь необходимо решить, какую из базисных переменных ( y3 или y4 ) перевести в небазисные взамен x2 . Для этого проанализируем равенства (B2) и (C2): если в соотношении (B2)

основу перевода уравнение (C2), поскольку здесь x2 меньше. Отсюда становится ясно, что y4 переходит в небазисные переменные вместо

Подставляем значение x2 из равенства (C3) в (B2):

45

По аналогии с первым опорным решением проведите самостоятельно экономический анализ второго опорного решения.

Проводим математическую проверку правильности второго опорного решения. Для этого значение переменных из второго опорного решения подставляем в целевую функцию (A1):

R(x) 4 0 5 4 6 0 14 .

На этом основании считаем полученное второе опорное решение верным.

3шаг: на очередном шаге анализируем целевую функцию (A3):

ееможно увеличить за счет x1 (по условию задачи неизвестные не

Подставляем x1 из (B4) в (A3):

46

Производим проверку правильности третьего опорного решения, подставляя значение неизвестных в (A1): R(x ) 4 4 5 2 0 0 26 .

Отсюда делаем вывод: расчеты по третьему опорному решению выполнены верно.

Далее, анализируем целевую функцию (A4). Дальнейшее увеличение целевой функции невозможно, поскольку все входящие в нее коэффициенты при неизвестных, кроме свободного члена, отрицательные (а сами неизвестные по условию постановки задачи

этого оптимального плана полностью обеспечено. Приведенные проверки подтверждают правильность третьего опорного решения.

Это значит, что третье опорное решение является оптимальным. Перенесем последовательно каждое опорное решение задачи

N.

Таким образом, решение задачи линейного программирования симплекс-методом представляет собой последовательный перебор вершин выпуклого многогранника области допустимых решений. Как видно из графика (см. рис. 3), графическое решение и решение задачи симплекс-методом совпали. В настоящее время разработано множество программных продуктов для решения задачи линейного программирования симплекс-методом на компьютере, в которых рассмотренная последовательность формализована, представляет

47

собой алгоритм последовательного перебора вариантов решения и предполагает выполнение определенных условий при вводе исходных данных и выводе результатов расчетов.

Отчет о выполнении работы оформляется в произвольной форме, но с обязательным приведением расчетов и указанием исходных данных задачи, с подробным объяснением и обоснованием всех действий. При этом отчет должен быть оформлен аккуратно и не вызывать затруднений при чтении.

3.4. Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что является ресурсами и способами их расходования в задаче

орекламе?

2.Как формируется целевая функция задачи оптимального распределения ресурсов?

3.В чём физический смысл и каково математическое выражение условия неотрицательности решения в реальных инженерных задачах?

4.В чем заключается основная идея симплекс-метода?

5.Каковы условия окончания расчетов при решении задач линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом?

6.Когда и кем был разработан симплекс-метод для решения

ЗЛП?

7.Кем, когда, с использованием каких методов впервые была решена ЗЛП?

8.Чем определяется область допустимых решений и само оптимальное решение ЗЛП?

9.В чем заключается экономический анализ результатов решения конкретной инженерной ЗЛП?

10.Как осуществляется шаг при решении ЗЛП симплексметодом?

48

ГЛАВА 4. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ

В процессе управленческой деятельности часто возникает необходимость распределения сотрудников по должностям либо машин и механизмов – по работам. Известно, что один и тот же сотрудник может выполнять различные функции с разной производительностью в зависимости от опыта работы, интеллекта, квалификации и индивидуальных особенностей. Что касается машин и механизмов, то различные их типы могут выполнять одну и ту же работу с разной производительностью и c разными эксплуатационными расходами и т.д. Поэтому возникают задачи о назначениях, предполагающие такое распределение исполнителей по работам, чтобы суммарная производительность труда в коллективе была бы максимальной либо суммарные эксплуатационные расходы на выполнение предполагаемых работ машинами и механизмами были бы минимальными.

4.1.Экономико-математическая постановка задачи распределения сотрудников по должностям

Рассмотрим такой пример. Имеется n сотрудников в организации А1, А2,…Аi…,Аn, каждый из которых может выполнять каждую из n работ (исполнять n должностей) В1, В2,…,Вj,…, Вn. Причем, каждый сотрудник Аi может выполнять работу Вj с производительностью Аij. Условимся, что Хij- это назначение i-го сотрудника для выполнения j-ой работы. Тогда имеем:

Условие задачи удобно записать в виде двойной матрицы //Xij// и //Aij// и представить в табл.11.

Из табл. 11 видно, что если работник А1 назначен на работу В1, то Х11=1, а все остальные Хij в первой строке и первом столбце равны нулю:

Х21=…=Хi1=…=Xn1=0

Х12=…=Х1j=…=X1n=0

49