1608

прочих равных условиях, тем эффективнее рассматриваемый метод решения транспортной задачи. Для выработки практических навыков решения транспортной задачи рассмотренными методами следует выполнить соответствующий типовой расчёт.

2.3. Типовой расчёт «Решение транспортной задачи методами

«северо-западного угла» и минимальной стоимости»

2.3.1. Задание

Исходные данные (см. прил.) записать в виде матрицы перевозок в задание для выполнения настоящей работы (см. табл. 3) и матрицы удельных транспортных расходов (см. табл. 4). При этом номер студента в списке группы является номером варианта задания в настоящей работе, если преподаватель не задал иначе. Причем, каждый студент умножает величины запасов (А1 А3) и заказов (В1 В4) на последнюю цифру номера своей группы.

Для выполнения вышеуказанного задания необходимо:

1.На основе исходных данных (см. прил.) определить вид модели транспортной задачи и если она окажется открытой, то свести

еек закрытой транспортной модели.

2.На основе исходных данных составить матрицу перевозок (см. прил., варианты с 1 по 30, вариант № 31 введен для рассмотрения образца выполнения настоящей работы). Следует особо отметить, что для каждого метода следует составить свою отдельную матрицу перевозок.

3.Определить величины поставок, решив составленную матрицу перевозок методом «северо-западного угла» и вычислить величину суммарных транспортных расходов.

4.Определить величины поставок, решив эту же матрицу перевозок методом минимальной стоимости, вычислив по результатам решения величину критерия оптимальности, целевой функции, функции цели.

5. Сопоставить результаты решения транспортной задачи по рассмотренным методам и определить наиболее эффективный из них для заданного варианта исходных данных.

20

Наилучшее решение транспортной задачи из двух этих методов в дальнейшем будет принято в виде опорного при дальнейшем решении рассматриваемой транспортной задачи методом потенциалов.

2.3.2. Образец выполнения работы

Рассмотрим выполнение настоящей работы по варианту № 31 (см. прил.).

Согласно исходным данным, (см. прил., вариант № 31) получаем три поставщика (n = 3) однородного продукта и четыре заказчика (m = 4) этого продукта. На этом основании имеем следующие исходные данные:

Таблица 4

Матрица удельных транспортных расходов (руб./ед)

Анализируем нагрузку транспортной сети на предмет определения модели транспортной задачи.

Для этого определяем суммарную величину запасов однородного продукта у поставщиков

3

Ai A1 A2 A3 180 150 120 450

i 1

и суммарную величину заказов у потребителей

21

4

B j B1 B2 B3 120 110 80 140 450 .

j 1

Для рассматриваемого варианта имеем закрытую транспортную модель, поскольку суммарная величина запасов у поставщиков (450) равна суммарной величине заказов потребителей (450). Иначе,

А это значит, что мы имеем такую транспортную модель, которую сразу можно решать без дополнительных процедур (фиктивный заказчик, вычисление величины его заказа и введение его в транспортную модель).

На основе исходных данных (см. табл. 3 и 4) составляем матрицу перевозок (см. табл. 5).

Таблица 5

Матрица перевозок

Для того, чтобы решить рассматриваемую транспортную задачу методом «северо-западного угла» воспользуемся составленной на основе исходных данных варианта № 31 (см. прил.) матрицей перевозок.

1 способ:

Метод «северо-западного угла»

Решение задачи начинается с левого верхнего угла табл. 5, который на географической карте принято обозначать как северозападное направление. В рассматриваемой матрице перевозок это

22

будет первая строка, первый столбец. Разместим в этой клетке максимально возможную перевозку – 120 единиц (величина заказа первого заказчика) и мысленно удаляем первый столбец, поскольку заказ первого заказчика полностью удовлетворен.

Теперь рассмотрим северо-западную клетку новой матрицы (1 строка, 2 столбец) и в ней также разместим максимально

возможную перевозку: поскольку у первого поставщика общий запас 180, из которых 120 мы планируем поставить первому заказчику, то на долю второго заказчика остается только 60 (180-120). Таким образом, мы исчерпали запасы первого поставщика и поэтому мысленно удаляем из дальнейшего рассмотрения первую строку.

Переходим к северо-западному углу новой матрицы – это клетка, образованная второй строкой и вторым столбцом (заказ первого заказчика – 120 уже удовлетворен). Помещаем в ней максимально возможную перевозку – 50.

Новый северо-западный угол – 2 строка, 3 столбец. Здесь максимальная возможная поставка – 80.

2 строка, 4 столбец – 20 (150 – 50 – 80); 3 строка, 4 столбец – 120.

Таким образом, в результате решения имеем следующие величины поставок:

соответствующее данному решению:

R(X ) C11 X11 C12 X12 C22 X 22 C23 X 23 C24 X 24

C34 X34 15 120 3 60 5 50 11 80 9 20 6 120 4010руб.

2 способ:

Метод минимальной стоимости

Сущность этого метода сводится к тому, что решение задачи начинают с клетки, в которой указана величина минимальных удельных транспортных расходов (если же клеток с такими величинами несколько, то берут любую из них). В этой клетке ставят максимально возможную перевозку, а остальное станет понятным,

23

если мы решим этим методом уже рассмотренную матрицу перевозок (см. табл. 5), которая для нового решения записана в виде табл. 6.

Здесь наименьшая удельная стоимость перевозки от третьего поставщика третьему заказчику (С33 = 2). Помещаем в эту клетку максимально возможную перевозку – 80 единиц (заказ третьего заказчика – 80 удовлетворен, поэтому Х13 = Х23 = 0 и четвертый столбец исключаем из рассмотрения), а остаток поставок третьего поставщика – 40 (120-80) размещаем четвертому заказчику (X34 = 40), поскольку здесь наименьшая (из оставшихся заказчиков) величина стоимости доставки (С34 = 6).

Таким образом, запасы третьего поставщика исчерпаны, поэтому мысленно исключаем из рассмотрения четвертую строку.

Следующая клетка с минимальной удельной стоимостью – С12 = 3, размещаем здесь 110 единиц (величина заказа второго заказчика) и поскольку второй заказчик удовлетворен, то исключаем из дальнейшего рассмотрения третий столбец, Х22 = Х32 = 0. Остаток товарных запасов первого поставщика 70 единиц (180-110) планируем перевести четвертому заказчику, поскольку у него наименьшая стоимость доставки в первой строке – С14 = 12 (С13 = 7, но заказ третьего заказчика уже удовлетворен поставкой Х33 = 80 единиц).

Остается удовлетворить заказ первого заказчика, поскольку следующая наименьшая удельная стоимость поставки С21 = 4. Планируем здесь максимально возможную поставку - Х21 = 120 единиц, а остаток запасов второго поставщика – 30 единиц (150-120) доставляем четвертому заказчику – Х24 = 30.

Таким образом, имеем следующий план перевозок:

24

Суммарная стоимость доставки однородного продукта будет

R(X ) 3 110 12 70 4 120 9 30 2 80 6 40 2320 руб.

Сопоставляем величины целевой функции, полученные при решении транспортной задачи методом «северо-западного угла» (4010 руб.) и методом минимальной стоимости (2320 руб.). Очевидно, что метод минимальной стоимости дает лучшие результаты (4010-2320=1690), и поэтому его обычно используют при определении опорного решения рассматриваемой задачи.

Отчет о работе должен содержать все необходимые действия с соответствующими обоснованиями.

Далее, рассмотрим следующий метод решения транспортной задачи.

2.4. Решение транспортной задачи методом потенциалов

Метод потенциалов является одним из наиболее эффективных методов решения транспортной задачи.

Сущность метода заключается в следующем. В начале формируют на основе величин транспортных нагрузок и матрицы удельных транспортных расходов матрицу перевозок. Затем на основе одного из известных методов (чаще всего метода минимальной стоимости) формируют так называемое стартовое или, иначе говоря, опорное решение транспортной задачи, в котором указываются величины перевозок (от кого, кому и сколько). В результате опорное решение матрицы перевозок будет иметь занятые и свободные от поставок клетки.

Затем матрицу перевозок, содержащую опорное решение задачи, дополняют крайними правым столбцом и нижней строкой. В крайнем правом столбце записываются потенциалы поставщиков, которые обозначаются как i (где i – потенциал i-го поставщика, i 1, n ), а в

25

Для решения транспортной задачи методом потенциалов задают произвольно один из потенциалов (допустим, 1 = 0), а остальные потенциалы определяют для занятых клеток из соотношений

Например, 1 + 2= С12 (если поставка Х12 не нулевая). Тогда

и т.д. Когда будут определены все потенциалы для занятых клеток,

26

их заносят в соответствующие вспомогательные столбцы и строки (см. табл. 7, столбец i потенциалов и строка j).

Для свободных от поставок клеток (т.е. для тех, где Хij = 0) определяют величины ij по формуле

которые называют косвенными тарифами или псевдостоимостями. Условия оптимальности плана перевозок в транспортной задаче сводится к тому, что для каждой свободной клетки (где Хij = 0) косвенные тарифы ( ij) не должны превышать истинных тарифов или удельных транспортных расходов (Сij), т.е. необходимо, чтобы

В соответствии с этим правилом определяют разности между истинными и косвенными тарифами (27) для свободных от поставок клеток (Хij = 0) по формуле

Если среди разностей, определенных по формуле (29), есть

i 0, то условия оптимальности плана перевозок не выполняется. Улучшение плана перевозок состоит в использовании свободных от поставок (Хij = 0) клеток путем перераспределения намеченного к перевозкам продукта. При этом отрицательная разность (допустим,22 0) указывает на ту перспективную клетку, загрузка которой приведет к улучшению плана перевозок, т.е. к снижению суммарных транспортных расходов. Если таких клеток (как 22 0) несколько, вначале выбирают ту, у которой разность по абсолютной величине больше. Итерация или шаг поиска при этом осуществляется в такой последовательности: на основе перспективной клетки (допустим. клетки X22) составляют прямоугольник, углы которого должны быть всегда прямыми. При составлении данного прямоугольника исходят из того, что в вершинах этого прямоугольника, двигаясь по часовой стрелке, поочередно меняют знаки. Из клеток со знаком минус (Х21 и Х12) выбирается наименьшая величина поставки (min [100, 60] = 60) и

27

перемещается по клеткам построенного прямоугольника: догружаем

клетки со знаками плюс (Х22 = 0 + 60; Х11 = 20 + 60 = 80) и разгружаем клетки со знаком минус (Х12 = 60 - 60 = 0; Х21 = 100 - 60 =

40). Таким образом, получаем новый план перевозок, для которого формируем свою матрицу перевозок. В ней будут заняты уже другие клетки, а поэтому заново вычисляем для них потенциалы, косвенные тарифы и разности между истинными тарифами и псевдостоимостями, как это было уже показано ранее, на основе формул (25) (29). Очередной цикл расчетов заканчивается проверкой рассматриваемого плана перевозок на оптимальность по формуле (29), и если план вновь окажется не оптимальным, то осуществляют следующий очередной цикл по изложенной методике до тех пор, пока не будет сформирован оптимальный план перевозок. Для приобретения практических навыков решения транспортной задачи методом потенциалов предусмотрен следующий типовой расчёт.

2.5. Типовой расчёт «Решение транспортной задачи методом потенциалов»

2.5.1. Задание

На основе опорного решения, полученного методом минимальной стоимости (табл. 6), определить оптимальный план перевозок однородного продукта от поставщиков к заказчикам методом потенциалов.

Сущность этого метода будет рассмотрена на конкретном примере, который приведен ниже как образец выполнения данной работы.

2.5.2. Образец выполнения работы

Записываем матрицу (см. табл. 6), полученную в результате определения опорного решения методом минимальной стоимости в виде табл. 8, в которой предусматриваем нижнюю строку и крайний правый столбец для записи потенциалов.

Для решения транспортной задачи, изображенной матрицей перевозок (см. табл. 8), поставим каждому поставщику в соответствие потенциалы i ( 1, 2, 3) и запишем их в крайнем правом столбце (см. табл. 8), а каждому заказчику поставим в

28

соответствие потенциалы j ( 1, 2, 3, 4), которые запишем в нижней строке.

Затем один из потенциалов задаем произвольно, например, 1 =0, остальные находим их следующих соотношений.

Для заполненных клеток, где Хij 0 справедливо равенствоi + j = Сij. Отсюда имеем:

Полученные значения потенциалов запишем во вспомогательных столбце и строке табл. 8.

Для свободных клеток, где Хij = 0, вычисляем сумму потенциаловi + j = ij, которая называется косвенным тарифом

(псевдостоимостью):

11 = 1 + 1=0 + 7 = 7;13 = 1 + 3=0 + 8 = 8;22 = 2 + 2= - 3 + 3 = 0;32 = 3 + 2= -6 + 3 = - 3;

29