1608

при условии, что закупаемые количества продуктов не могут быть отрицательными величинами, а также не могут превышать конечных (реальных) запасов этих продуктов в магазине ( Aj ) :

В компактном виде математическая модель задачи о диете имеет следующий вид: определить оптимальные количества продуктов

питания x10, x20 ,...,x 0j ,...,x n0 при ограничениях

что в совокупности позволит получить наиболее экономичный рацион суточного потребления рассматриваемых продуктов, т.е. оптимальное решение задачи.

5.2. Типовой расчёт "Экономико-математическая постановка задачи о диете"

5.2.1. Задание

Для нормальной жизнедеятельности организма человека необходимо, допустим, потреблять 118 + N грамм белков, 56+ N грамм жиров, 500+ N грамм углеводов и 8+0,001 N грамм минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимости приведены в табл. 15.

Здесь – вторая цифра номера группы; N – порядковый номер

60

- по белкам:

180x1 190x2 30x3 70x4 260x5 160x6 21x7 180 ;

-по жирам:

20x1 3x2 40x3 865x4 310x5 30x6 2x7 56 ;

-по углеводам:

0x1 0x2 180x3 6x4 20x5 650x6 200x7 500 ;

-по минеральным солям:

9x1 10x2 7x3 12x4 60x5 20x6 10x7 8;

при условии неотрицательности решения, т.е.

которые позволили бы обеспечить минимум затрат на приобретение всех необходимых продуктов питания, т.е.

R(x) [1.9 x1 x2 0.38 x3 3.4 x4 2.9 x5 0.56 x6 0.1 x7 ] min .

Решение рассматриваемой задачи, например, симплекс-методом с использованием одного из пакетов прикладных программ дает

искомые величины x10 x70 . Если выполнить рекомендации по

формированию оптимального рациона питания, т.е. закупить только те продукты в рекомендуемых количествах, то получим минимальную сумму затрат в денежном эквиваленте на приобретение всех продуктов питания.

Отчет о работе должен содержать исходные данные, сведенные в таблицу (см. табл. 15) и необходимые пояснения к экономикоматематической постановке задачи.

62

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Какова сущность задачи о ресторане?

2.Записать целевую функцию задачи о ресторане.

3.Дать перечень ограничений задачи о ресторане.

4.Для чего вводятся и как формируются условия неотрицательности решения?

5.Каковы типичные инженерные проблемы, которые решаются

сиспользованием задачи о диете?

63

ГЛАВА 6. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСКРОЯ МАТЕРИАЛА, МАРШРУТИЗАЦИИ И УПАКОВОК

Для того, чтобы завершить рассмотрение семи типовых задач линейного программирования, обратим внимание на три оставшиеся из них:

-задача оптимального раскроя материала; -задача о коммивояжере; -задача о рюкзаке.

6.1. Задача оптимального раскроя материала

Впервые была сформулирована, поставлена и решена в 1939 г. российским учёным Л.В. Канторовичем на примере раскроя древесных хлыстов.

Задачу оптимального раскроя материала лучше всего пояснить, разобрав конкретный пример.

Допустим, имеется два вида заготовок в виде стержней: L1 = 650 мм в количестве 100 шт.

L2 = 400 мм в количестве 80 шт.

Необходимо раскроить из них детали длиною 125 мм и 200 мм, из которых впоследствии будут изготовлены комплекты в виде скоб. Причём, каждый комплект содержит две детали по 125 мм и одну деталь 200 мм, как показано на рис. 4.

250мм

125мм

Рис. 4 Комплект деталей в виде скоб

При этом необходимо обеспечить выпуск максимального количества таких комплектов.

На первом этапе производится анализ, в результате которого просматриваются все возможные варианты раскроя рассматриваемых заготовок с целью получения деталей заданных размеров.

64

В результате имеем:

Для удобства дальнейшего использования имеющихся данных сведем их в таблицу 16.

Для экономико-математической постановки рассматриваемой задачи введем следующие обозначения:

s – искомое число комплектов;

xij – количество заготовок i-го типа, раскроенных j-ым способом.

Согласно формулировке данной задачи, необходимо обеспечить максимум выпуска числа комплектов. Отсюда:

Достижение максимума целевой функции (51) будет происходить в реальных условиях следующих ограничений:

1. Ограничения по количеству заготовок: каким бы способом ни раскраивалась рассматриваемая заготовка, общее количество раскроенных заготовок не должно превышать их запаса по заданному типу. У нас заготовок длинной 650 мм – 100 шт., а длиной 400 мм – 80 шт., соответственно. Отсюда имеем:

65

2. Ограничения по количеству деталей в комплекте: для деталей длинной 125 мм (по условию задачи таких деталей в комплекте 2 шт.) и длинной 200 мм соответственно:

Наконец, условие неотрицательности решения:

Для того, чтобы записать математическую постановку задачи оптимального раскроя материалов в общем виде, введем дополнительное обозначение: akj – количество деталей k-го вида, полученных при раскрое

заготовок j-ым способом.

Тогда в общем виде будем иметь: целевая функция

m – количество разновидностей заготовок ; n – количество типов деталей;

q– количество способов раскроя заготовки;

k количество деталей k-го типа в заданном комплекте.

Решение задачи (55)–(58), например, симплекс-методом дает оптимальный план раскроя предложенных заготовок при условии максимизации выпуска числа комплектов.

6.2. Задача о коммивояжере

Эта задача довольно часто встречается на стадии проектирования и сооружения больших энергосистем, газораспределительных и тепловых сетей, когда необходимо создать замкнутый кольцевой маршрут при условии включения в него большого числа потребителей, расположенных на значительной территории. От того, как будет проложен этот маршрут, напрямую зависят материальные, трудовые и финансовые затраты на его создание. Поэтому становится понятным, насколько актуален этот вопрос.

В литературе обычно такая задача имеет несколько наименований: задача маршрутизации, задача о коммивояжере либо задача о командируемом.

Суть задачи состоит в том, что командируемый выезжает из исходного пункта A, посещает (n-1) остальных пунктов и возвращается в пункт A (см. рис. 5). Естественно, что при этом необходимо стремиться минимизировать суммарное расстояние либо продолжительность времени, либо финансовые затраты в зависимости от обстоятельств. При небольшом количестве пунктов посещения эта задача легко может быть решена вручную. Сложность решения этой задачи значительно возрастает с увеличением числа пунктов посещения, поскольку количество вариантов ее решения (N) определяется по формуле

где n – общее количество пунктов посещения.

Так, при n 6 N 120 вариантов, а при n=10 уже N=36000 вариантов.

67

Постановка рассматриваемой задачи сводится к следующему: задается матрица затрат (см. табл. 17), где cij затраты времени либо

денег, либо расстояние при перемещении из i-го в j-й пункт.

А

Рис. 5. Схема пути коммивояжера

Вводим дополнительную переменную xij и условимся, что если xij 1, то командируемый воспользовался маршрутом из i-го в j-ый пункт, и xij 0 , если он этим маршрутом не воспользовался.

Используя матрицу затрат (см. табл. 17), формируем целевую функцию рассматриваемой задачи:

Достижение минимума целевой функции (60) будет происходить в реальных условиях следующих ограничений:

68

1. Ограничение одноразового посещения города:

условие одноразового въезда в j-ый пункт посещения

Особо необходимо отметить, что наиболее эффективным методом решения задачи (65)–(68) является метод ветвей и границ.

69