1601

вал ∆t, неизвестно: то ли возрастет (точка 5), то ли уменьшится (точка

52).

Иногда восстановление функции, квантованной по времени, с шагом, подсчитанным по теореме Котельникова, производится при помощи фильтра низких частот (НЧ), который выделяет постоянную составляющую и низкочастотные составляющие, соответствующие спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности из-за того, что амплитудно-частотная характеристика реального фильтра отличается от характеристики идеального фильтра. Восстановление при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функции достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Квантование по времени обычно используется для осуществления амплитудно-импульсной модуляции.

Квантование по уровню и времени. При квантовании по уров-

ню передаваемые значения могут следовать друг за другом с переменным шагом ∆t. При квантовании по времени найденные значения непрерывной величины в дискретные моменты времени чередуются через строго определенные интервалы времени ∆t (шаг квантования), но имеют самую разнообразную амплитуду (уровень).

В некоторых случаях квантование осуществляется с заданными шагами квантования как по времени, так и по уровню. На рис. 2.2.2 показано, как производится квантование по уровню и по времени функции λ(t).

Рис. 2.2.2. Квантование по уровню и времени

20

Сначала проводятся линии, параллельные оси с шагом ∆t, затем уровни с шагом q, параллельные оси времени. Квантование осуществляется путем замены через время ∆t значений функции λ(t) ближайшим дискретным уровнем. Проследим по рисунку, как находятся эти точки.

В начальный момент ближайшим уровнем к значениям функции будет уровень 3, поэтому здесь ставится точка а. В момент t1 ближайшим уровнем является уровень 2 (точка b). В момент t2 ближайший уровень – это снова уровень 2 (точка c). Далее следуют точки d, e, f и т. д. Таким образом, следует придерживаться правила: в данный момент времени заменяют функцию ее ближайшим дискретным значением (на пересечениях вертикальных и горизонтальных линий).

При восстановлении из выбранных точек (а, b, c и т. д.) следует сначала провести горизонтальные линии вправо на шаг квантования, т.е. до пересечения их с вертикальными линиями (при этом запоминается предыдущее значение функции). Далее горизонтальные отрезки соединяются вертикальными отрезками. Иными словами, функция восстанавливается при помощи ступенчатой интерполяции.

Погрешности, возникающие от одновременного квантования по уровню и времени, сначала находятся поочередно для каждого из видов квантования. Суммарная ошибка определяется как

где ку – ошибка квантования по уровню; кв – ошибка квантования

по времени.

В большинстве случаев узловые точки (а, b, c…) ломаной кривой могут располагаться не на непрерывной кривой, как при квантовании по времени, что увеличивает погрешность квантования.

Квантование по уровню. Квантование по уровню – это процесс замены непрерывной функции ее отдельными значениями, отстоящими друг от друга на конечный интервал (уровень), т.е. значение функции в произвольный момент времени заменяется ее ближайшим значением, называемым уровнем квантования. Интервал между двумя дискретными значениями уровней называется шагом квантования q.

По оси ординат (рис. 2.2.3,б) откладывается величина заранее выбранного шага квантования q и проводятся линии, параллельные оси времени, обозначающие уровни квантования. Переход с одного

21

уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования, так как в этот момент абсолютная погрешность квантования ∆ку оказывается наибольшей (рис. 2.2.3,а). Действительно, если значение функции находится в середине между двумя уровнями (точки а, b, c…), то возникает неопределенность, так как функция равноудалена от обоих уровней. Так, например, если значение функции в точке b возрастает на бесконечно малую величину, то это новое значение целесообразно отнести к уровню 3. Наоборот, значение функции, несколько меньше значения в точке с, будет заменено уровнем 2. Исходя из сказанного, процесс квантования осуществляется следующим образом: интервал квантования делится пополам и проводятся пунктирные горизонтальные линии до их пересечения с квантуемой функцией.

Рис. 2.2.3. Квантование сигнала по уровню:

а– с постоянным шагом квантования;

б– погрешности квантования;

в– квантование с переменным шагом

Точки пересечения обозначаются буквами (а, b, c, d и т. д.), в них значение функции передается наименее точно, возникает ошибка квантования ∆ку, равная разности между значением функции λ(t) и ближайшим уровнем. Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q/2, то максимальная ошибка квантования по уровню определится как

22

где +q/2 – максимальная положительная ошибка квантования, например, от точки b до уровня 2, а –q/2 – максимальная отрицательная ошибка квантования, например, от точки с до уровня 3. Погрешности квантования представлены на рис. 2.2.3,б, на котором на оси времени отложены отрезки уровней квантования, пересекаемые функцией.

Так, функция между точками k и a пересекает уровень 2. Этот уровень отложен на оси t (см. рис. 2.2.3,б), и проведен отрезок функции k–a. На участке а–b функция хотя и не пересекает ни один из уровней, но так как она проходит ближе к уровню 1, то отрезок этого уровня откладывается на оси времени. В этом диапазоне от точки а до точки b погрешность отсчитывается от уровня 1 и будет только положительная. На других участках имеет место погрешность и положительная, и отрицательная.

Таким образом, в результате квантования функции λ(t), произведенного по определенному правилу, был отобран ряд дискретных значений этой функции в точках а, b, c, d и т. д. Отбором точек и заканчивается собственно процесс квантования. Если же необходимо представить себе полностью форму той функции, которая заменила функцию λ(t), поступают следующим образом. Через точки а, b, c, d и т. д. проводят вертикальные отрезки (до их пересечения с уровнями), которые затем соединяются горизонтальными отрезками, образуя ступенчатую квантованную функцию λ’(t). Из рис. 2.2.3,а следует, что квантованная ступенчатая функция λ’(t) как бы обходит с двух сторон (выше и ниже) непрерывную функцию λ(t). Это позволяет рассматривать квантование как результат наложения на функцию λ(t) помехи ∆(t), которую называют шумом или помехой квантования.

Как следует из рис. 2.2.3,а, число уровней квантования Nк на единицу больше числа интервалов Nк–1.

Если сообщение λ(t) ограничено диапазоном от λmin до λmax, то

При λmin=0 имеем Nк max 1. q

23

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде значения приведенной относительной погрешно-

сти δк.у (в %), которая по определению равна к.у ку 100 . При

max min

описанном выше методе квантования погрешность (см. рис. 2.2.3,б) не может превышать q/2, т.е. при подсчете δк.у нужно учитывать (2.2.8). Таким образом, считая, что λmin=0 (это достигается соответствующим расположением осей координат), получим

откуда шаг квантования при заданной погрешности квантования равен

Пример. Предположим, необходимо провести квантование непрерывной функции от нуля до 100 В с точностью δк.у=1%.

Согласно (2.2.11) q=2В. Из (2.2.9) определяем, что необходим 51 уровень квантования.

Замена действительного значения функции ее ближайшим значением создает погрешность квантования, которая может принять любые величины от –q/2 до +q/2 (см. рис. 2.2.3,б). При достаточно большом числе уровней квантования Nк распределение погрешности квантования в пределах от –q/2 до +q/2 будет равномерное независимо от закона распределения самой функции (t). Поэтому среднеквадратичное значение погрешности квантования по уровню

т. е. в 3 раз меньше максимальной ошибки.

Неравномерное квантование по уровню. Некоторые функции,

подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с переменным шагом квантования q1, q2,…, qn. Так, на рис. 2.2.3,в показана нелинейная зависимость тока I от напряжения U. Если необходимо при измерении получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q, уменьшая его с ростом амплитуды. Могут быть и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

24

Восстановление функции, квантованной по уровню. Кванто-

вание по уровню осуществляется для последующего кодирования, т.е. каждый уровень квантованной функции передается кодом.

На приемной стороне кодовая комбинация, поступая на дешифратор, преобразуется в ток или напряжение, которые используются по назначению (отклоняют стрелку прибора, изменяют показания цифровых индикаторов и т.д.). Принятая квантованная функция в своем первоначальном (непрерывном) виде на приеме обычно не восстанавливается, хотя это можно сделать путем линейной или более сложной интерполяции. Простейшая ступенчатая интерполяция функции λ(t) была осуществлена, когда горизонтальными отрезками соединялись вертикальные отрезки, образуя функцию λ’(t) (рис. 2.2.4,а).

Рис. 2.2.4. Дифференциальное квантование: а – квантование и восстановление функции; б – импульсы ∆-модуляции

Дифференциальное квантование. Этот вид квантования при-

меняется при осуществлении дельта-модуляции. Также расчерчивается сетка из вертикальных и горизонтальных линий с точками ∆t и q соответственно.

Переход с уровня на уровень осуществляется через интервал ∆t по следующему правилу: если значение λ(t) больше, чем дискретное значение λ’(t) в предыдущем интервале, то происходит переход на следующий, более высокий, дискретный уровень. Если текущее зна-

25

чение λ(t) меньше, чем дискретное значение в предыдущем интервале, происходит переход на более низкий дискретный уровень.

Из рис. 2.2.4,а следует:

-в точке b λ(t)<λ’(t) в точке а', λ’(t) переходит на уровень ниже в точку b';

-в точке c λ(t)<λ’(t) в точке b', λ’(t) переходит на уровень ниже в точку c';

-в точке d λ(t)>λ’(t) в точке c', λ’(t) переходит на уровень выше в точку d';

-в точке e λ(t)<λ`(t) в точке d’, λ’(t) переходит на уровень ниже в точку e’;

-в точке f λ(t)>λ’(t) в точке е’, λ’(t) переходит на уровень выше в точку f’.

На рис. 2.2.4,б показано, что отрицательные импульсы появляются при отрицательной ошибке, а положительные – при положительной ошибке. Этот ряд импульсов соответствует производной dλ(t)/dt и представляет собой результат дифференциального квантования функции λ(t) с приращениями ∆.

Характерно, что при быстрых изменениях функции λ(t) возможно отставание ступенчатой функции от непрерывной из-за того, что по условиям квантования не разрешается переход больше чем на один уровень в отличие от квантования по уровню и времени, где возможен переход через несколько уровней. Чем круче кривая, тем больше отставание функции λ’(t) от λ(t). Для уменьшения отставания необходимо уменьшать интервал квантования как q, так и ∆t.

Поэтому погрешность дифференциального квантования больше, чем при других видах квантования:

Достоинством дифференциального квантования является то, что квантованная функция передается только полярными признаками импульсов, т.е. значительно проще, чем при других видах квантования.

2.3. Кодирование

Код в телемеханике – это система сигналов для передачи сообщений двоичным или двоично-десятичным кодом по каналу связи. Для представления и передачи отдельных элементов кода применя-

26

ются сигналы с различными признаками по амплитуде, частоте, полярности, фазе, длительности и др. Так, в двоичном коде при полярных признаках элемент 0 кодируется импульсом отрицательной, а 1 – положительной полярности; широтные признаки означают различие в длительности импульсов либо в паузах между ними и т.д. Если для передачи сообщений используются не все возможные комбинации элементов кода, применяют специальные методы, позволяющие при приеме обнаруживать и исправлять искажения (ошибки) в переданных элементах кода, что повышает достоверность передачи информации.

Выбор системы кодирования сообщения, способа его передачи и методов повышения достоверности передаваемой информации определяется конкретными условиями работы телемеханической системы, важностью объектов, свойствами каналов связи, применяемой аппаратурой и др.

Кодирование – операция отождествления символов или групп символов одного кода с символами или группами символов другого кода. Необходимость кодирования возникает прежде всего из потребности приспособить форму сообщения к данному каналу связи или какому-либо другому устройству, предназначенному для преобразования или хранения информации. Так, сообщения, представленные в виде последовательности букв, например, русского языка, и цифр, с помощью телеграфных кодов преобразуются в определённые комбинации посылок тока. При вводе в вычислительные устройства обычно пользуются преобразованием числовых данных из десятичной системы счисления в двоичную и т.д.

Кодирование в теории информации применяют для достижения следующих целей:

1)для уменьшения так называемой избыточности сообщений;

2)для уменьшения влияния помех, искажающих сообщения при передаче по каналам связи.

Поэтому выбор нового кода стремятся наиболее удачным образом согласовать со статистической структурой рассматриваемого источника сообщений. В какой-то степени это согласование имеется уже в коде телеграфном, в котором чаще встречающиеся буквы обозначаются более короткими комбинациями точек и тире.

Кодирование, уменьшающее помехи, превратилось в большой раздел теории информации со своим собственным математическим аппаратом, в значительной мере чисто алгебраическим.

27

В дальнейшем будут рассматриваться линейные коды. Линейным называется код, в котором проверочные символы представляют собой линейные комбинации информационных.

Корректирующие коды. Помехоустойчивыми или корректирующими кодами называются коды, позволяющие обнаружить и устранить ошибки при передаче информации из-за воздействия помех.

Наиболее распространенным является класс кодов с коррекцией одиночных и обнаружением двойных ошибок (КО–ОД). В дальнейшем речь пойдет о самом известном среди этих кодов – коде Хэмминга, который имеет простой и удобный для технической реализации алгоритм обнаружения и исправления одиночной ошибки. Построение кодов Хемминга базируется на принципе проверки на чётность веса (числа единичных символов) в информационной группе кодового блока.

Идею представления корректирующих кодов можно представить с помощью N-мерного куба. Возьмем трехмерный куб (рис. 2.3.1), длина ребер в котором равна одной единице. Вершины такого куба отображают двоичные коды. Минимальное расстояние между вершинами определяется минимальным количеством ребер, находящихся между вершинами. Это расстояние называется кодовым и обозначается буквой d.

Рис. 2.3.1. Представление двоичных кодов с помощью куба

Таким образом, кодовое расстояние это то минимальное число элементов, в которых одна кодовая комбинация отличается от другой. Для определения кодового расстояния достаточно сравнить две кодовые комбинации, сложив их по модулю 2. Количество единиц в полученной сумме будет являться кодовым расстоянием. Так, сложив две комбинации

28

10110101101

11001010101

01111111000,

определим, что кодовое расстояние между ними d=7.

Для кода с N=3 восемь кодовых комбинаций размещаются на вершинах трехмерного куба. Такой код имеет кодовое расстояние d=1 и для передачи используются все восемь возможных кодовых комбинаций 000,001,..,111. Такой код не является помехоустойчивым, т.к. он не в состоянии обнаружить ошибку.

Если выберем комбинации с кодовым расстоянием d=2, например, 000,110,101,011, то такой код позволит обнаруживать однократные ошибки. Назовем эти комбинации разрешенными, предназначенными для передачи информации. Все остальные 001,010,100,111 – запрещенные.

Любая одиночная ошибка приводит к тому, что разрешенная комбинация переходит в ближайшую запрещенную комбинацию (см. рис. 2.3.1). Получив запрещенную комбинацию, мы обнаружим ошибку.

Далее выберем вершины с кодовым расстоянием d=3.

Такой код может исправить одну одиночную ошибку или обнаружить две ошибки. Таким образом, увеличивая кодовое расстояние, можно увеличить помехоустойчивость кода. В общем случае кодовое расстояние определяется по формуле d=p+l+1, где p – число исправляемых ошибок; l – число обнаруживаемых ошибок. Обычно l>p.

Минимальным кодовым расстоянием d называется минимальное число искаженных символов, необходимое для перехода одной разрешенной комбинации в другую. Если код способен исправить p ошибок, то необходимо и достаточно, чтобы d≥2p+1.

Таким образом, кодовые слова корректирующих кодов содержат информационные и проверочные разряды. В процессе кодирования при передаче информации из информационных разрядов в соответствии с определёнными для каждого корректирующего кода правилами формируются дополнительные символы – проверочные разряды. При декодировании из принятых кодовых слов по тем же правилам вновь

29