1494

релаксации позволяет уточнить физический смысл коэф-

Это позволяет определять коэффициент затухания как ве-

личину, обратную промежутку времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента.

Логарифмический декремент затухания показывает в логарифмических единицах, во сколько раз убывает амплитуда колебаний за один период. Это безразмерная величина , равная натуральному логарифму отношения зна-

чений амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период

где N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения ампли-

туды в e раз.

Следовательно, логарифмический декремент есть величи-

на, обратная числу колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Если в формулу (11) подставить значение для R2L и

T 2 , то

Согласно (7), частота определяется параметрами контура

(R, L, C), следовательно, можно утверждать, что логарифмический декремент является характеристикой контура, т. к. его величина определяется только параметрами контура.

Колебательный контур также характеризуют добротно-

стью, безразмерной величиной Q, пропорциональной от-

ношению энергии W(t) колебаний контура в произволь-

ный момент времени t к убыли этой энергии за интервал

времени, равный периоду

W(t) W(t T)

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату

амплитуды колебаний A(t), то

Из (14) можно видеть, что добротность пропорциональна

числу колебаний, совершаемых за промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e

раз.

В случае слабого затухания, когда 1, 0 , величина

добротности определяется параметрами колебательного контура и равна

R C

При увеличении коэффициента затухания условный пери-

од T затухающих колебаний возрастает и обращается в бесконечность при 0 . При этих условиях свободных

колебаний в контуре не происходит, а колеблющаяся величина асимптотически стремится к нулю при t (рис. 3).

Такой процесс называется апериодическим. Сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим Rкр и определяется из усло-

вия 0 ,

Величину LC , которая имеет размерность элек-

трического сопротивления, называют волновым сопротивлением контура.

Оче- U

видно, что

при всех U0

значениях омического сопротивления контура

R Rкр – процесс апериодический (коле-бания не возника-

ют – наблюдается апериоди-ческий разряд конден-сатора).

Рис. 3. Апериодический про-

Описание экспериментальной установки

Схема установки представлена на рис. 4. Колебания в контуре возбуждаются с помощью импульса, формируемого компьютером.

Схема смонтирована в настольном макете, расположенном слева от монитора. В качестве резистора в RP1 в колебательном контуре II используется переменный резистор, максимальное значение сопротивления которого 470 Ом устанавливается поворотом ручки потенциометра по часовой стрелке в крайнее положение. При повороте ручки против часовой стрелки в крайнее положение значение сопротивления RP1=0. В этом случае активное сопротивление колебательного контура складывается из сопротивления соединительных проводов контура и активного сопротивления катушки индуктивности, R Rx . В дальнейшем это сопротивление необходимо рассчитать по результатам измерений. Ёмкости конденсаторов различны в разных макетах, по маркировке, либо в приложении определите номинал C1.

Рис. 4. Принципиальная электрическая схема установки

Возбуждение контура производится периодически от импульсов, формируемых компьютером I, регистрируются колебания на осциллографе, представленном на экране монитора. Каждый импульс, подаваемый на колебательный контур, возбуждает один цуг затухающих колебаний.

Измерения амплитуды и периода колебаний осуществляются с помощью осциллографа и скобок, расположенных в углах экрана и перемещаемых с помощью мыши.

ЗАДАНИЕ

1.Наблюдать свободные затухающие колебания в контуре.

2.Исследовать влияние величины активного сопротивления контура на характер затухания колебаний.

3.Убедиться в наличии экспоненциального закона убывания амплитуды со временем.

4.На основе экспериментальных данных определить параметры затухающих колебаний: δ, ω0, ω, T, Rх, Rкр, Θ, Q, где Rх – сопротивление соединительных проводов и катушки.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1.Включить экспериментальный макет кнопкой на передней панели.

2.Включить питание стенда, для чего активизировать мышью кнопку «Выключено». Откалибруйте нули осциллографов. Для этого бегунка-

ми «прогресс-баров» выберите такое положение, чтобы сигналы осциллографов при замыкании выводов размещались точно по центру окон осциллографов. Затем необходимо включить импульсный генератор, нажав кнопку «Питание Imp». При этом на экране осциллографа должна появиться картина затухающих колебаний.

3.Вращением рукоятки на макете в крайнее положение против часовой стрелки установить нулевое значение сопротивления RP1, т. е. RP1=0.

4.Измерить амплитуды Un и периоды Т пяти первых колебаний. Для этого, взяв мышью вертикальные измерительные скобки, находящиеся в углах экрана осциллографа, подвести их к двум соседним максимумам, а горизонтальные скобки подвести соответственно к оси симметрии картины колебаний и к выбранному максимуму. Всякий раз нажимать кнопку

«Данные».

5.Заполненную таблицу перерисовать в рабочую тетрадь.

6.На макете, вращая рукоятку потенциометра, увеличить сопротивление RP1 до максимально возможного, следя за тем, чтобы в картине колебаний оставалось не менее пяти максимумов. Зафиксировать в таблице значение RP1. Повторить п. 4.

7.На основании результатов измерений вычислить значения логарифмического декремента затухания для обоих случаев

ln Un ,

Un 1

где n – номер измеряемой амплитуды. За истинное значение логарифмического декремента контура взять значение среднего арифметического для каждого из двух значений RP1.

8. Проверить справедливость экспоненциального закона убывания амплитуды со временем U U0e t . Для этого привести выражение к виду

lnU0 .t, из которого следует, что в координатах lnU0 , .t эксперимен-

U U

тальные точки должны укладываться на прямую, а δ – угловой коэффициент этой прямой. В данном случае время удобнее выражать в периодах

t=nT. Построить графики зависимости lnU0 от nT для случаев R=R1 и

U

R=R2.

9. Из графиков определить значения коэффициентов затухания δ1 и

δ2.

10.Зная δ1 и δ2, определить индуктивность контура.

11.Рассчитать суммарное активное сопротивление проводников Rx, собственную частоту контура и частоту затухающих колебаний.

12.Рассчитать период колебаний для двух значений сопротивлений R=R1 и R=R2. Полученные значения сравнить с измеренными. Рассчитать критическое сопротивление Rкр. Оценить добротность контура.

Контрольные вопросы

1.Какова цель работы?

2.В какой системе можно получить свободные электромагнитные колебания?

3.Какие характеристики колебаний изменяются при увеличении активного сопротивления в контуре?

4.Каким должно быть соотношение между элементами контура (R, L, C), чтобы в контуре смогли существовать электромагнитные колебания?

5.Каким образом можно подтвердить экспоненциальный характер изменения амплитуды со временем?

6.Как экспериментально определяется коэффициент затухания?

7.Какими параметрами контура определяется его собственная часто-

та?

8.Как соотносятся между собой собственная частота и частота затухающих колебаний?

9.Какие физические величины изменяются в контуре по колебательному закону?

10.Чем обусловлено затухание колебаний в контуре?

11.Какие характеристики колебаний изменятся при изменении индуктивности контура?

12.Как нужно изменить параметры контура, чтобы при однократной зарядке конденсатора его разрядка осуществлялась апериодически?

13.Что называется временем релаксации?

14.Каков физический смысл коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности колебательного контура?

15.Выведите дифференциальное уравнение для затухающих колебаний в контуре.

Лабораторная работа №5

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ДИЭЛЕКТРИКОВ В ПОЛЕ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА

Цель работы – определить величину относительной диэлектрической проницаемости и нормальной составляющей вектора поляризации для различных диэлектриков, помещённых в электрическое поле плоского конденсатора.

Приборы и принадлежности: комплекс реально-виртуальной лаборатории по электричеству и электромагнетизму (РВЛ ЭиЭ).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Вещества, которые не проводят электрический ток, называются диэлектриками, или изоляторами. При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит поляризация диэлектрика, состоящая в том, что в диэлектрике возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул вещества, из которого состоит твёрдый диэлектрик. Из-за этого в тонких слоях у поверхностей диэлектрика возникают заряды, называемые поверхностными поляризационными зарядами, что приводит к уменьшению напряжённости электрического поля в диэлектрике по сравнению с её значением в вакууме. Это уменьшение характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью, которая определяется как отношение напряжённости электрического поля в вакууме к величине напряжённости в диэлектрике.

Под действием электрического поля заряды разных знаков каждой молекулы смещаются относительно друг друга. В результате каждая молекула будет обладать электрическим дипольным моментом

где – поляризуемость молекулы; E – напряжённость электрического поля в месте нахождения молекулы внутри диэлектрика.

Поляризация диэлектрического образца приводит к тому, что в приповерхностных слоях диэлектрика, прилегающих к электродам, появляются заряды противоположного электродам знака. Их поверхностная плот-

l

диэлектрика E равно разности между внешним электрическим полем E0 и полем E'.

еском поле

Из рис. 1 следует, что образец в целом приобретает электрический момент, модуль которого равен

где S – площадь заряженной поверхности; – поверхностная плотность связанных зарядов; l – длина образца.

С другой стороны, поляризация диэлектрика характеризуется дипольным моментом единицы объёма, который называется вектором поляризации.

Отсюда p . Или в общем случае pn, где pn – нормальная составляющая вектора поляризации.

Поверхностная плотность связанных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке диэлектрика.

Вектор поляризации можно записать и по-другому:

p 0nE 0E, (6)

где n – диэлектрическая восприимчивость, макроскопическая безразмерная величина, характеризующая поляризуемость единицы объёма.

Для двух бесконечных заряженных плоскостей

Поле в диэлектрике в скалярной форме:

Относительная диэлектрическая проницаемость 1 . Её величина показывает, во сколько раз электрическое поле ослабляется внутри диэлектрика.

Метод измерений

Метод измерений основан на исследовании временной зависимости напряжения на конденсаторе при его заряде или разряде через сопротивление. Чем больше относительная диэлектрическая проницаемость, тем больше ёмкость конденсатора. Для плоского конденсатора ёмкость определяется выражением

где 0 8,85 10 12 Ф/м – электрическая постоянная; S – площадь проводящей обводки (электрода); d – расстояние между электродами.

Электрическая схема измерений состоит из генератора сигналов G, резистора R1, конденсатора с твёрдым диэлектриком C1 (резистор и конденсатор образуют RC-цепочку) и осциллографа, измеряющего напряжение на конденсаторе (рис. 2).

В данной работе роль генератора и осциллографа выполняет компьютер. После подачи прямоугольного импульса напряжения с амплитудой U0 в цепи возникает ток и конденсатор зарядится до напряжения U0 . Весь процесс зарядки конденсатора описывается уравнением

R1

Рис. 2. Схема измерения

После окончания действия импульса напряжения конденсатор разряжается по закону

Так как внутренне сопротивление генератора много меньше сопротивления R1 и входного сопротивления осциллографа R0, то величина r оп-

При подаче на RC-цепочку прямоугольных импульсов напряжения закон измерения напряжения на конденсаторе имеет вид, изображённый на рис. 3. Передний фронт импульса (1) описывается выражением (11), а задний фронт импульса (2) – выражением (12). Исследуя задний фронт импульса (2), можно найти C и .

U

U0

t

Рис. 3. Вид сигнала после прохождения RC-цепочки

Описание экспериментальной установки

Схема, используемая для измерений в данной лабораторной работе, изображена на рис. 4.

C1

R1