1477

На некоторых предприятиях существуют подразделения, обслуживающие заявки со стороны населения, организаций, причем заявки поступают в любое время суток. В этом случае используется график работы работников со скользящим графиком выходных. Количество заявок, поступающих в разное время суток, неодинаково. В дневное время суток заявок поступает больше, чем, например, в ночное. В связи с этим возникает необходимость в расчете оптимального количества работников (или бригад работников), работающих в разное время суток и имеющих выходные в разные дни недели таким образом, чтобы суммарный недельный (и месячный) фонд оплаты был минимальным. Работники часто выполняют однотипные работы и взаимозаменяемы и работают в две, три или четыре смены с одним или двумя выходными. Работники могут формироваться в бригады. Обычно бригады состоят из небольшого количества работников (до пяти). Для обеспечения бесперебойной и эффективной работы таких предприятий в условиях неравномерной нагрузки важное значение имеет оптимальный расчет численности рабочей силы. При расчете необходимого числа работников необходимо учитывать колебания нагрузки по дням недели, в течение суток, а также возможные варианты скользящего графика предоставления выходных.

В линейном программировании используется графический метод, с помощью которого определяют выпуклые множества (многогранник решений). Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая функция принимает значение в одной из вершин многогранника решений.

1.2.3. Симплексный метод решения задачи ЛП

Вопросы для рассмотрения: Стандартный и канонический вид задачи линейного программирования. Способы приведения задач линейного программирования к каноническому виду. Симплекстаблица. Критерий оптимальности симплекс-таблицы, алгоритм улучшения оптимального плана. Экономическая интерпретация результатов решения задач.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение литературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о

лабораторной работе.

Каноническая форма ЗЛП - задача линейного программирования вида ax = b где a - матрица коэффициентов, b - вектор ограничений.

В каждой задаче ЛП ищутся значения переменных при условии, чтобы:

–эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;

–при этих значениях целевая функция обращалась бы в минимум или максимум.

Одним из универсальных методов ЛП является симплексный метод, который, однако, можно применять, если задача ЛП имеет каноническую форму.

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать.

Примером такой задачи ЛП в канонической форме является задача 1 – сбалансированная транспортная задача с системой ограничений и целевой функцией.

Однако в большинстве экономических задач чаще всего в систему ограничений первоначально входят не только уравнения, а и неравенства.

1.2.4. Решение экономических задач с помощью компьютера

Вопросы для рассмотрения: Решение экономических задач с помощью компьютера.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение литературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о лабораторной работе.

Линейное программирование - наука о методах исследования и нахождения наибольшего или наименьшего значений линейной (целевой) функции при наличии линейных ограничений. Термин "программирование" понимается в смысле "планирования". Он был

предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, еще до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

Развитие компьютерной техники, совершенствование информационных технологий, распространение пакетов прикладных программ позволили сделать доступными и наглядными современные методы решения математических задач широкому кругу пользователей, освободив от проведения трудоемких расчетов.

Опыт преподавания показывает необходимость использования в рамках дисциплины исследования операций табличного процессора MS Excel и систем компьютерной математики, в частности системы MathCAD, главными достоинствами которой является то, что она проста в изучении и использовании, позволяет одновременно с расчетами создавать документы в общепринятом виде.

1.2.5. Приведение задачи ЛП к каноническому виду

Вопросы для рассмотрения: Способы приведения задачи к каноническому виду. Правило нахождения первоначального опорного плана.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3. Наименование вида самостоятельной работы: изучение ли-

тературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о лабораторной работе.

Для определения опорного плана существует несколько методов: метод северо-западного угла (диагональный метод), метод наименьшей стоимости (минимального элемента), метод двойного предпочтения и метод аппроксимации Фогеля.

–Метод северо-западного угла. Следуя этому методу, начи-

нают с того, что приписывают неизвестной (расположенной в се- веро-западном углу таблицы) максимальное значение, допускаемое ограничениями на спрос и объем производства. После этого вычеркивают соответствующий столбец (или строку), фиксируя этим, что остальные неизвестные вычеркнутого столбца (строки) полагаются равными нулю. Если ограничения, представляемые столбцом и строкой, выполняются одновременно, то можно вычеркнуть либо столбец, ли-

бо строку (это условие автоматически гарантирует обнаружение нулевых базисных переменных, если таковые встречаются). После того спрос и объем производства во всех невычеркнутых строках и столбцах, приведены в соответствие с установленным значением переменной, максимально допустимое значение приписывается первому невычеркнутому элементу нового столбца (строки). Процесс завершается, когда остается невычеркнутой в точности одна строка (или один столбец).

– Метод наименьшей стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в

клетку (i, j), которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел

и . Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс размещения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

–Метод двойного предпочтения. Суть метода заключается в следующем. В каждом столбце отмечают знаком «√» клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку «√√». В них находится минимальная стоимость, как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком «√». В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

–Метод аппроксимации Фогеля. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Вычислить штраф для каждой строки (столбца), вычитая наименьший элемент этой строки (столбца) из следующего за ним по величине элемента той же строки (столбца).

2. Отметить строку или столбец с самым большим штрафом (если таких несколько, выбрать из них любую строку или любой столбец). В отмеченной строке или столбце выбрать переменную с самой низкой стоимостью и придать ей наибольшее возможное значение. Скорректировать объем производства и спроса и вычеркнуть

строку или столбец, соответствующие выполненному ограничению. Если ограничения по строке и столбцу выполняются одновременно, то вычеркнуть либо строку, либо столбец, а оставшемуся столбцу (строке) приписать нулевой спрос (объем производства). Строка (или столбец) с нулевым объемом производства (или спросом) не используется в дальнейших вычислениях (на шаге 3).

1.2.6. Двойственная задача линейного программирования Теоремы двойственности

Вопросы для рассмотрения: Постановка двойственной задачи линейного программирования. Свойства прямой и двойственной задач линейного программирования. Первая теорема двойственности, ее экономический смысл. Вторая теорема двойственности, ее экономический смысл. Двойственный симплексметод. Анализ чувствительности в линейном программировании.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3. Наименование вида самостоятельной работы: изучение ли-

тературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о лабораторной работе.

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования. При решении одной из них автоматически решается и другая задача. Такие задачи называют взаимодвойственными.

Первая (основная) теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их линейных функций равны. Если линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Из первой части утверждения теоремы следует, что равенство является не только достаточным признаком оптимальности решений, но и необходимым признаком оптимальности решений взаимно двойственных задач.

Двойственный симплекс-метод заключается в построении оптимального недопустимого плана с последующим преобразованием его в допустимый, не нарушая оптимальность.

некоторые параметры задачи ЛП (финансы, запасы сырья,

производственные мощности) можно регулировать, что, в свою очередь, может изменить найденное оптимальное решение. Эта информация получается в результате выполнения анализа чувствительности. Анализ чувствительности позволяет оценить влияние этих параметров на оптимальное решение. Если обнаруживается, что оптимальное решение можно значительно улучшить за счет небольших изменений заданных параметров, то целесообразно реализовать эти изменения. Кроме того, во многих случаях оценки параметров получаются путем статистической обработки ретроспективных данных (например, ожидаемый сбыт, прогнозы цен и затрат). Оценки, как правило, не могут быть точными. Если удается определить, какие параметры в наибольшей степени влияют на значение целевой функции, то целесообразно увеличить точность оценок именно этих параметров, что позволяет повысить надежность рассматриваемой модели и получаемого решения.

Таким образом, после математического решения задачи линейного программирования, расчета ее оптимального плана и оптимума, необходимо проанализировать полученные результаты.

Общая задача такого анализа - определить устойчивость полученного решения к тому или иному изменению ситуации, к изменению условий задачи, а также оценить чувствительность решения к изменению конкретных численных значений тех или иных параметров ситуации.

1.3. Транспортная задача

1.3.1. Общие понятия. Постановка транспортной задачи, ее особенности. Метод потенциалов для открытых ТЗ

Вопросы для рассмотрения: Постановка транспортной задачи. Особенности транспортной задачи. Понятие открытой модели транспортной задачи (пример). Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение литературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о лабораторной работе.

Классическая постановка транспортной задачи общего вида такова.

Имеется m пунктов отправления («поставщиков») и n пунктов потребления («потребителей») некоторого одинакового товара.

Решить транспортную задачу можно различными методами, начиная от симплекс-метода и простого перебора, и заканчивая методом графов. Один из наиболее применяемых и подходящих для большинства случаев методов – итерационное улучшение плана перевозок. Суть его в следующем: находим некий опорный план и проверяем его на оптимальность (Z → min). Если план оптимален – решение найдено. Если нет – улучшает план столько раз, сколько потребуется, пока не будет найден оптимальный план.

Транспортная задача называется открытой, если не соблюдается баланс между объемом спроса и объемом предложения. Например, если запасы на всех складах меньше или больше потребностей всех магазинов - потребителей, то имеем дело с открытой транспортной моделью.

Для того, чтобы применить к задаче метод потенциалов, необходимо привести открытую транспортную задачу к закрытой модели. Т.е. необходимо выполнить преобразования, при которых , "то, что есть, станет равным, тому, что надо".

Если не хватает товара, чтобы удовлетворить потребности магазинов, нужно добавить мнимого (фиктивного) поставщика. Если предложение превышает над спросом, добавим мнимого (фиктивного) потребителя.

В открытой транспортной задаче это реализуется добавлением строки или столбца, в зависимости от того, чего не хватает. Так как в реальности фиктивный поставщик (потребитель) не существует, то стоимость доставки до него от любого пункта равна нулю.

1.3.2. Закрытые транспортные задачи. Проблема вырожденности

Вопросы для рассмотрения: Сведение закрытой транспортной задачи к открытой модели введением фиктивного поставщика. Правило вырожденности.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение литературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о

лабораторной работе.

Транспортные задачи открытой модели с помощью введения дополнительных (фиктивных) поставщиков или потребителей преобразуются в закрытые модели решаются обычным способом. В фиктивных (дополнительных) столбцах и строках матрицы, соответствующих фиктивным (дополнительным) потребителям или поставщикам, значения элементов (расстояние, тариф, прибыль и т. п.) принимаются нулевыми.

Вырожденная матрица — квадратная матрица A, определитель det(A) равен нулю.

1.3.3. Усложнённые ТЗ, задачи о распределениях

Вопросы для рассмотрения: Задачи с отграничениями по каналам поставки, с обязательными поставками. Задачи о кадрах, об оптимальном распределении работ.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение литературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о лабораторной работе.

Запрет на перевозку. Запрет перевозок при решении транспортной задачи достигается за счет введения стоимости перевозки единицы груза cij намного большей, чем стоимость остальных перевозок. Например, если по каким-то соображениям не-обходимо запретить перевозку от 1-го поставщика к 1-му потребителю, то вместо тарифа на перевозку с11 исходной транспортной задачи следует записать некоторое большое число М, которое намного превышает наибольшую стоимость перевозки груза. Так как задача решается на минимум функции, а стоимость с11 довольно высокая, то в оптимальном плане объем перевозки хij будет равен нулю.

Если же при решении транспортной задачи все-таки окажется, что запрещенная перевозка отлична от нуля при достаточно высокой стоимости перевозки груза в данной клетке, то это значит, что спрос j- го потребителя невозможно удовлетворить без i-го поставщика.

Задача с ограниченной пропускной способностью. Пусть в исходной задаче, приведенной в таблице 3, в силу некоторых обстоя-

тельств по каналу А2-В1, несмотря на низкую стоимость перевозок, можно поставить не более 125 единиц продукции.

Вэтом случае на соответствующую поставку вводят дополнительное ограничение: x21 <125. При решении задачи в Excel данное ограничение вводят для соответствующей ячейки.

Задача с фиксированной поставкой. Пусть объем dij поставки груза от i-го поставщика к j-му потребителю должен быть строго определенным. Эту поставку следует включить в оптимальный план даже в том случае, если она невыгодна.

Вэтом случае на соответствующую поставку вводят дополнительное ограничение: xij = dij. При решении задачи в Excel данное ограничение вводят для соответствующей ячейки.

Впроцессе управления производством зачастую возникают за-дачи назначения исполнителей на различные виды работ, на- при-мер: подбор кадров и назначение кандидатов на вакантные должности, распределение источников капитальных вложении между различными проектами научно-технического развития, распределение экипажей самолетов между авиалиниями.

Задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом. Необходимо выполнить N различных работ. Для их выполнения можно привлечь N рабочих. Каждый рабочий за определенную плату готов выполнить любую работу. Выполнение любой работы следует поручить одному рабочему. Требуется так распределить работы между рабочими, чтобы общие затраты на выполнение всех работ были минимальными.

1.4. Динамическое программирование

Основные идеи динамического программирования. Задача об оптимальном управлении

Вопросы для рассмотрения: Принцип оптимального управления. Пример задачи о выборе оптимального управления.

Рекомендуемая литература: 4.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3.

Наименование вида самостоятельной работы: изучение литературы: (с учетом подготовки к экзамену); подготовка отчета о лабораторной работе.

Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.

Задача оптимального управления включает в себя расчет оптимальной программы управления и синтез системы оптимального управления. Оптимальные программы управления, как правило, рассчитываются численными методами нахождения экстремума функционала или решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. Синтез систем оптимального управления с математической точки зрения представляет собой задачу нелинейного программирования в функциональных пространствах.

Для решения задачи определения программы оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния.

Если математическая модель управляемого объекта или процесса заранее неизвестна, то для её определения необходимо провести процедуру идентификации управляемого объекта или процесса.

Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств.

Все задачи оптимального управления можно рассматривать как задачи математического программирования и в таком виде решать их численными методами.

При оптимальном управлении иерархическими многоуровневыми системами, например, крупными химическими производствами, металлургическими и энергетическими комплексами, применяются многоцелевые и многоуровневые иерархические системы оптимального управления. В математическую модель вводятся критерии качества управления для каждого уровня управления и для всей системы в целом, а также координация действий между уровнями управления.

1.5. Сетевое планирование и управление