Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1402

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	dx
			.
	3
4 xln		x

Вариант 23

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

			π
1		2		1	xdx
а) ex	15 ex dx;	б) sin2xcos3xdx;		в)	xdx	.
а) ex	15 ex dx;	б) sin2xcos3xdx;		в)	2	.
0		0		0	1 x
0		0		0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

2 dx1 xln x .

Вариант 24

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

				π
e			4		1
	lnxdx
а)		;	б) cos2 xsin2 xdx;		в) x	x2 1	dx.

1	x		0		0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	x4	dx.

1 x5
1 x5

Вариант 25

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

xdx

ln3

а)

;

б) sin3 xdx;

в)

1 x4

0 1 ex

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

01 x3 dx.

§3. Вычисление площадей плоских фигур

В этом параграфе при помощи интегрального исчисления будет решен ряд задач.

Вычисление площади в прямоугольных координатах

Площадь S фигуры, ограниченной графиками функций y f x (сверху), y g x (снизу) и прямыми x a; x b, подсчитывается по формуле

Действительно,

Рис. 4

Рис. 5

	b
S	f x g x dx.	(2.17)

в силу геометрического смысла определенного интеграла [см. равенство(2.3)] имеем

(рис. 4)

f x dx S aA1B1b и g x dx S cBb S aAc ,

a		a
поэтому
b	b	b

f x g x dx f x dx g x dx

S aA1B1b S cBb S aAc S , как это вид-

но из рисунка.

Пример 1. Вычислить площадь между параболами y 4x x2 и y x2 6

(рис. 5).

Решение. Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений

y 4x x2 ;

y x2 6,

т.е. найдем точки на плоскости, коорди-

наты которых удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол. Из этой системы

	x2 6 4x x2; 2x2 4x 6 0; x2 2x 3 0 и
	x			2		22 4 3			2 4	или x 1;x			2	3.
	x									или x 1;x				3.
	1,2				2			2				1
	Тогда по				2		(2.17)	2				площадь				будет			равна:
	Тогда по	формуле					(2.17)	искомая				площадь		S		будет			равна:
	3						3								2			3
	3						3											3
S 4x x2 x2 6 dx 6 4x 2x2 dx													2				x3
												6x 2x
												6x 2x			3
	1						1											1
	1						1											1
		2									2						10
	6 3 2 32		33		6		1 2 1 2					1 3 18
	6 3 2 32	3	33		6		1 2 1 2				3	1 3 18					3
		3									3						3

18 10 64. 3

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y x2; y	1	; y 0; x 2, x 0.
	x2

Решение. Сначала найдем точки пересечения кривых y x2 и

y 1 , для чего решим систему уравне- x2

ний

y x2;

1y x2 .

Из этой системы x2	1	;	x4 1 или
	x2
x1 1; x2 1.			Рис. 6

Таким образом, заданная фигура (рис. 6) является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции

				y x2			, 0 x 1;
		f x
		f x				1
				y		1		, 1 x 2.
				y		x2		, 1 x 2.
По формуле (2.17)						x2
По формуле (2.17)									1			1		2
2	1	2	dx		x2 1					2	x3		x 2 1
2	1	2								2
S f x dx x2dx										x 2dx
S f x dx x2dx			2		2 1					x 2dx	3		2 1
0	0	1	x		2 1				0	1	3	0	2 1	1
0	0	1							0	1		0		1

1			1	2	1	1	1	1	1	5

		0								1	.
			x
	3			1	3	2	1	3	2	6

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y sin x;y 2 sin x; x 5 ; x 0.

Решение. Искомая площадь S равна

сумме площадей S1		и S2	двух фигур, пер-
вая из	которых	ограничена		линиями
y sin x;	y 2sin x;	x 0;	x ,	вторая ог-
раничена линиями y sinx;			y 2sin x; x ;

x 5 (рис. 7).

Для вычисления площадей S1 и S2 применим формулу (2.17):

y sin2x

Рис. 7


S1 2sinx sinx dx sin xdx cosx		0π cosπ cos 0


0	0

1 1 1 1 2.


	5				5		5
4				4			5
4				4					4
S2 sinx 2sinx dx sin xdx cosx									4
S2 sinx 2sinx dx sin xdx cosx


				2
Тогда S S		S	2			2		2,293.
Тогда S S		S						2,293.
1				2
				2

cos5 cos 2 1. 4 2

Вычисление площади, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x t ; y t , то площадь криволинейной трапеции, ограничен-

ной двумя вертикалями х = а и у = b и отрезком оси Ох, выражается интегралом

	t2	t dt ,
S			(2.18)
	ψ t
	t1		и b 2 t
где t1 и t2 определяются из уравнений a 1 t
( t 0на отрезке t1,t2 ).

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой

циклоиды x a t sint ; y a 1 cost и отрезком оси абсцисс (рис.

8).

Решение. Точкам 0 и А соответствуют значения параметра t0 = 0 и

tА=2π, поэтому по формуле (2.18) ис-

комая площадь

2π

1 cost

a t sint dt

2π

2πa

a2 1 cost 2 dt

πa

2π

1 cos2t

Рис. 8

1 2cost

2π

dt 2

cost dt

cos2td

t 2sint

sin2t

2 3

2π 2sin2π

sin 4π

0 2sin0

sin0

3πa

Вычисление площади в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то площадь сектора 0АВ (рис. 9), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами 0А и 0В, соответствующими значениями 1

и 2 , выразится интегралом
	S 1	2d .	(2.19)
	2

			y
	ρ = ρ(φ)		π/4
S	A		π/4
			x
0			0

Рис. 9

Рис. 10

Пример 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернули ρ2 a2 cos 2 (рис. 10).

Решение. В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат. По формуле (2.19) имеем

	y													a	2
			1				1		4						2		1		4
			1	S			1	a2 cos2 d									1	a2 cos2 d 2
		4		S				a2 cos2 d										a2 cos2 d 2
		4		2				0				2				2		0
		х			a2							a2								a2
0					a2						4	a2								a2
						sin2							sin			2					sin0
				4		sin2						4	sin			2		4		4	sin0
				4						0		4						4		4
					a2					0
					a2
						,
						,
Рис. 11				4
		отсюда S = a2.

Пример 6. Найти площадь одного лепестка кривой ρ = 4sin2φ (рис. 11).

Решение. Заметим, что если полярный угол φ изменяется от φ = 0 до φ = π, то точка на кривой обходит против часовой стрелки один лепесток; поэтому по формуле (2.19) для искомой площади имеем

		1						sin2			2			1 cos 2 2
S				16sin4 d 8							d 8												d
S		2		16sin4 d 8							d 8							2					d
		2																2
			0				0							0

2 (1 2cos					2 cos2 2 )d 2 d 2 cos 2 d 2
0											0		0
		1 cos 4															1			1		cos 4 d 4
		1 cos 4															1			1
2						d 2			0	2sin2		0	2					d
2				2		d 2				2sin2			2				2	d		4


	0													1		0					0
2 2 0 2sin2 2sin 2 0																sin4

													0						0
															4
															4

2 1 sin4 sin0 3 .

§ 4. Вычисление длины дуги кривой

Перейдем теперь к следующей задаче – определению длины линии. В школьном курсе давалось определение длины окружности как предела периметров правильных вписанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон.

Теперь мы обобщим это понятие на любые линии. Для этого выделим из приведенного выше определения самое существенное: в линию (окружность) вписывается ломаная, берется длина этой ломаной, а затем увеличивается число звеньев ломаной так, что длины всех звеньев стремятся к нулю (удваиваются числа сторон). Из этого и будем исходить.

Определение. Длиной l линии называется предел

limдлина АА1А2 Аn 1B l,	(2.20)
0

где AA1A2 An 1B– вписанная в L ломаная, а – длина наибольшего из звеньев этой ломаной (рис. 12).

Вычисление длины дуги кривой, заданной
в прямоугольной системе координат				y f x ,
Покажем, что если линия L			есть график функции
a x b, имеющей непрерывную производную, то ее длина
	b
		1 f x 2 dx.
l				(2.21)

Рис. 12

Рис. 13

Впишем в линию L ломаную AA1A2 An 1B (рис. 13). Ее вершины имеют координаты

A a; f a ,

A1 x1; f x1 ,

A2 x2; f x2 ,

, An 1 xn 1; f xn 1 , B b; f b .

Подсчитаем

длину

этой

ломаной

по

формуле

f x1 f a f c1 x1 a ,

a c x1 ,так, длина первого звена равна

AA1

a x1

f x1

f a

x a 2 f c x a 2

1 1

1 f c1 2 x1 a ,

a c1 x1.

Аналогично

устанавливается,

что

длина

второго

звена рав-

наA A

1 f c

x , x

, и т.д.,

наконец,

длина по-

b xn 1 , xn 1 cn b.

следнего звена An 1B

1 f cn 2

Следовательно, в силу определения длины линии [формула

(2.20)]

l lim 1 f x 2 x1 a 1 f x 2 x2 x1 1 f x 2 b xn 1 ,

а так как очевидно, что наибольшее звено ломаной и длина наибольшего из отрезков a1;x1 , x1;x2 , , xn 1;b (на которые разбился отрезок a;b ) стремятся к нулю одновременно, то

l lim 1 f c1 2 x1 a 1 f c2 2 x2 x1 1 f cn 2 b xn 1

1 f x 2 dx,т.к. в квадратных скобках стоит интегральная сумма

для написанного интеграла.

Пример 1. Найдем длину линии y 2 xx , 0 x 3.

																			3
										2		3				2	3		3					1
																				1
																				1
Решение. Так как y											x2							x2				x2 , то по формуле (2.21)
Решение. Так как y											x2					3	2	x2				x2 , то по формуле (2.21)
										3						3	2
получаем длину линии
получаем длину линии																									1
		3						3					1													1 3


l			1			2 dx 1 x									d 1 x							1 x 2						\|
					x
														2
														2								1
		0					0																1				0
		0					0														2		1				0
																					2
	2			3 3			2			3						3			2								14
	2						2												2								14
		1 x 2 \|							1 3 2 1 0 2												8 1								.
	3	1 x 2 \|							1 3 2 1 0 2										3		8 1						3		.
	3			0			3												3								3

Здесь воспользовались тем, что d 1 x 1 x dx dx.

Пример 2. Найти длину дуги кривой y 1 x2 1ln x от x 1 до

4 2

x e.

Решение. Воспользовались формулой (2.21). Найдем y :

									1							1								1							1		1					1					1
							y					x2						lnx								2x2 1															x					.
							y					x2				2		lnx						4		2x2 1								x							x					.
Откуда									4							2								4							2			x				2					2x
Откуда															1 2
				2					1						1 2									1 2							1 1											1 2					1			1

					1						x										1				x				2x							2		1						x							2
1 y					1						x										1			4	x				2x		x			x		2		1					4	x			2			4x	2
									2						x									4							x			x									4				2			4x
	1		2				1		1					1					2						1				1 2						1							1	2
		x															x				2 x																x						.
		x									2						x				2 x																x						.
	4						2 4x				2			4												x x									4							x
	4						2 4x							4												x x									4							x
Следовательно,
		e																		e		1			1						1 e										1 e 1
		e		1 y x							2									e		1			1						1 e										1 e 1
l														dx									x					dx					xdx											dx
l														dx									x					dx			2		xdx							2		x		dx
																						2				x					2									2		x
		1				e														1												1										1
	1 x2							1		lnx			e			1		e		2	1 1						lne			1	ln1					1		e	2			1 1 1						e	2		1	.
	1 x2							1					e			1				2	1 1									1						1			2			1 1 1							2		1


	2			2		1		2					1			4					4			2						2						4						4			2		4				4
				2		1							1

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t1 t t2 ,

то длина дуги кривой вычисляется по формуле

dx 2	dy	2
		dt,	(2.22)

dt	dt

где t1 и t2 – значения параметра, соответствующие концам дуги.

			d
			d		2
Действительно, из формулы (2.21) следует				1 f	x	или
			dx
dl	1 f x	2dx,				(2.23)

где f x dy . dx

Подставляя значение f x в формулу (2.23), получаем выраже-

ние для дифференциала дуги dl dx2 dy2 или

	dx 2	dy	2
dl			dt .	(2.24)

	dt	dt

Проинтегрировав равенство (2.24) на отрезке t1 ; t2 , получим

t2	t2		dx	2	dy	2
dl						dt .


t	t	1	dt		dt
1

По формуле Ньютона - Лейбница находим dl l t2 l t1 . Но

l t1 0,	t1
	обозначив l t2 l, получим формулу (2.22).

Пример 3. Вычислить длину астроиды

х acos3 t;y asin3 t.

Решение. Кривая симметрична относительно обеих координатных осей (рис. 14), поэтому вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной в первом квадранте. Находим

dx 3acos2 t sint; dy 3asin2 tcos t. dt dt

Параметр t изменяется от t = 0 до t = π/2.

Следовательно, по формуле (2.22) имеем

		y
a							1		2
a									2		9a2cos4 t sin2t 9a2sin4 t cos2 t dt
								l
						4		l
				x		4			0
									0
-a	0		a

						2
						2				9a2cos2 t sin2t cos2 t					sin2t dt
										9a2cos2 t sin2t cos2 t					sin2t dt
-a						0


									2						2
									2						2
		Рис. 14				3a					cos2 t sin2t dt 3a cost sintdt =
		Рис. 14							0						0
														cos2 t
						2								cos2 t			2
						3a cost dcost 3a
						3a cost dcost 3a								2
						0								2		0
cos2						0										0
cos2			2	cos2	0						1	3
3a			2			3a					0		a, l 6a.
3a	2			2		3a					0	2	a, l 6a.
	2			2							2	2

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах r r ; ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.11 Mб31399.pdf
#
07.01.2021193.56 Кб114.pdf
#
07.01.2021309.74 Кб2140.pdf
#
07.01.20211.12 Mб31400.pdf
#
07.01.20211.12 Mб51401.pdf
#
07.01.20211.12 Mб171402.pdf
#
07.01.20211.12 Mб21403.pdf
#
07.01.20211.12 Mб251404.pdf
#
07.01.20211.12 Mб51405.pdf
#
07.01.20211.12 Mб231406.pdf
#
07.01.20211.12 Mб31407.pdf