Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1402

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

z 1

t 4 1

z 1

t 4 1

§ 7. Некоторые интегралы тригонометрических функций

Интегрирование произведений синусов и косинусов

Интегралы вида sinaxcosbxdx, sinaxsinbxdx, sinaxcosbxdx

вычисляются с использованием формул тригонометрии

sinax cosbx 1 sin a b x sin a b x ; 2

sinax sinbx 1 cos a b x cos a b x ; 2

cos ax cos bx 1 cos a b x cos a b x , 2

которые позволяют представлять произведения синусов и косинусов в виде линейных комбинаций тех же функций (с другими аргументами) и могут быть использованы для интегрирования в рассматриваемом случае.

Пример 1. Найти sin7xcosxdx.

Решение.

sin7xcosxdx					1	sin 7 1 x sin 7 1 x dx						1	sin8xdx					1	sin6xdx
sin7xcosxdx						sin 7 1 x sin 7 1 x dx							sin8xdx						sin6xdx
		2							2							2
1		1				1			1							1			1
		sintdt		cosudu				cost			cosu C						cos8x				cos6x C.
	16	sintdt	12	cosudu			16	cost		12	cosu C					16	cos8x			12	cos6x C.
		При вычислении воспользовались заменой переменных
															dt
8x t; d 8x dt ;						8x dx dt;			8dx dt; dx							и 6x u; d6x du;
8x t; d 8x dt ;						8x dx dt;			8dx dt; dx					8		и 6x u; d6x du;
														8

6dx du; dx du .

Вычисление интеграла sinm x cosnx dx, где m

или n – положительное нечетное целое число

Если показатель степени одной из тригонометрических функций

– положительное нечетное целое число, то, принимая другую функцию за t, сведем рассматриваемый интеграл к табличным.

Пример 2. Найти sin xdx. cos2 x

Решение. Здесь показатель степени синуса равен единице, поэто-

му делаем подстановку cosx t, тогда d cosx dt; cosx dx dt;

-sin xdx dt ;

sin xdx dt. Заменив всюду под интегралом cosx на t,

получим

t 2 1

t 1

sin xdx

t 2 dt

2 1

cos

cosx

Пример 3. Найти cos5 x dx.

Решение. Заметим, что cos5 x cos2 x 2 cosx. Целесообразно вве-

сти переменную

t sin x, т.к.

cos2 x 1 sin2

x 1 t2. Тогда

dt dsin x;

dt sinx dx; dt cosxdx. Заменив всюду под интегра-

лом cos2 xна 1 t

cosxdx на dt, получим

cos5 xdx cos2

x 2 cosxdx 1 t2 2 dt 1 2t2 t4 dt dt 2 t2 dt

t4 dt dt 2 t2 dt t4 dt t

2t3

C sinx

2sin3 x

sin5 x

При

вычислении

воспользовались

формулой

a b 2 a2 2ab b2.

Вычисление интеграла sinm x cosnx dx, где сумма m и n есть отрицательное четное целое число

Если сумма показателей синуса и косинуса есть отрицательное четное число, подстановка tg x = t сводит интеграл к табличным.

Пример 4. Найти cos7 x sin x .

Решение. m + n =(7+ 1)/2 = – 4 есть отрицательное четное число,

поэтому применяем подстановку tg x= t; dt tgx dx

dx.

cos2

cos7 x sin x

cos8 x tg x

cos4

sin x

x tg x

cos

cosx

						dx									dx												1 tg 2 x					dx
	cos2		x cos2 x										cos2 x		1																cos2 x
										tg x																		tg x
																					tg x
														1 tg 2		x					tg x
														1 tg 2		x
	t2	1dt					t2dt											3		1					1	1						2		1
											dt						t			1		t				1
													3		1			2					2							2
													3		1			2					2							2
													t2 dt	t	2 dt													C			t	5 2t2
																	3							1						5
			t					t				t
			t					t				t							1								1
		2															2		1				2				1
																	2						2

					5
C				tg	5	x 2			tg x C.
C		5		tg		x 2			tg x C.																				1
		5
	При вычислении воспользовались формулой cos 2x																																.
	При вычислении воспользовались формулой cos 2x																																.
																												1 tg 2x

Вычисление интеграла sinm xcosn xdx m и n – четные неот-

рицательные числа

Применение формул тригонометрии

cos2 x 1 cos2x; sin2 x 1 cos2x 2 2

позволяет повторным уменьшением вдвое показателей степеней синуса и косинуса в конечном счете свести рассматриваемые интегралы к сумме интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.

Пример 5. Найти cos4 xdx.

Решение. Заметим, что cos4 x																						1 cos2x 2
																																	.
																												2					.
Следовательно,																												2
Следовательно,																			1 2cos2x cos2																		2x dx
cos4 xdx						1		1 cos2x 2 dx									1																							1	dx
cos4 xdx								1 cos2x 2 dx																																	dx
				4												4																							4
	1	cos2xdx							*)	1		cos		2	2xdx						1			x				1		costdt						1 1 cos4x						dx	1		x

	2									4											4							4								4			2				4
	2									4											4							4								4			2				4
	1	sint	1	dx							1	cos4xdx				**)							1		x				1		sin2x				1		x	1	cosudu					1		x
	4	sint	8	dx						8		cos4xdx										4			x				4		sin2x				8		x	32	cosudu					4		x
	4		8							8												4							4						8			32						4
	1	sin2x			1		x				1		sinu C					1		x						1	x					1		sin4x C.
	4	sin2x					x			32			sinu C							x							x					32		sin4x C.
	4			8						32						4									8							32

*) Делаем подстановку t 2x; dt 2dx; dx dt. 2

**) Делаем подстановку u 4x; du 4dx; dx du.

§ 8. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей

Интегралы вида R x,nx dx(n – натуральное число)

Символ R(x, nx ) означает рациональную функцию от х и nx . Интегралы вида R(x, xr, хs, ...)dx, где r, s, ... – рациональные числа,

относятся к рассматриваемому типу так, как если n – общий знаменатель дробей r s, ..., то подынтегральная функция оказывается рацио-

нальной функцией от х и хn .

3x 3

3x 12

Так, функция

x3 12

есть R(x, n x ).

x3 3

Подстановка x = tn (n – общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входит в подынтегральную функцию) рационализирует рассматриваемый интеграл, т. е. сводит его к интегралу рациональной дроби.

Пример 1. Найти		х	dx.
	x

		3 х2

Решение. х входит в подынтегральную функцию под радикалами с показателями 2 и 3. Общее наименьшее кратное показателей 6, поэтому делаем подстановку

х t6; dx t6 dt; dx 6t5dt; t 6 x.

Тогда

6t5dt 6

t3t5

t8dt

t4dt

t4 t2 1 6

x 3

t6 3

t6 t4

t2 1

х2

t6 2

1 1

t2 1 t2 1 1

1 t2 1

dt 6

6 t2 1 dt 6

6 t2 dt 6 dt 6

t 1

t2 1

t 1

1 t

2 1

t 1

3ln

C 2t3

3ln

C 2 6 x

x 3ln

t 1

			6
				x 1
2	x 66	x 3ln		x 1		C.

			6		1
			6	x	1

Интегралы вида	ax b	dx

	px2 qx d
	px2 qx d

Интегралы этого вида вычисляют, используя замену переменных:

	1				q		2t q
t	1	px2	qx d	px	q	, откуда x	2t q	; dx	2	dt .
2				2			p		p

Пример 2. Найти .

2 3x 2x2

Решение. Сделаем замену переменных

1																			1												3														3 t													3				t
t		2 3x 2x2																				3 4x													2x ; x																	; dx			d								;
t		2 3x 2x2																	2			3 4x													2x ; x																	; dx			d				4		2		;
2																			2												2													4 2															4		2
	3						t													1
	3						t													1
dx											dt;				dx									dt.
dx				4			2				dt;				dx				2					dt.
				4			2												2
																																												3						t									dt
	Заменив всюду под интегралом x на																																													, dx на										, получим
	Заменив всюду под интегралом x на																																					4					2			, dx на							2			, получим
																																						4															2
				dx																						1				dt												1	2																	dt
																														dt
																									2

																																						2				2
										2																																																								2
																				3							t					3				t
2				3x			2x													3							t					3				t																9 3t							9					3 t	t
2				3x			2x										2 3												2


																																																2												2
																																																2							2					2
																				4							2				4					2																4 2											4 2 4
																				4							2				4					2																4 2					16						4 2 4
	1															dt																	1						dt												1					dt
																																	2
2						2			9					3t				9				3t						t2					2					25			t2											2				25		t2
									9					3t				9				3t						t2										25			t2													4
																																						8
								4				2					8				2				2													8				2
	1												dt												1										t									1											2t
																													arcsin								C												arcsin								C
																																		5																						5
			2					5					2													2								5													2									5
															t2																			2
										2					t2																			2
										2
															3		2x
	1												2																		1									3 4x
													2		2
					arcsin										2								C											arcsin														C.
					arcsin												5						C											arcsin														C.
		2															5															2										5

Задачи для индивидуальных заданий

Вариант 1

tg2x

ln(x 6)

cosxdx

2x2

dx;

;

xdx;

cos2 x

x 6

2sinx 1

2 x 2

1 arctg2x

dx;

cos 1 3x dx;

dx;

1+x2

5xdx

3 x 1 x 33 x 1 dx;

6x2 4

2. (x2

3x)sin(2x)dx; x

lnxdx.

1 xdx; (x4 lnx (x 1)ex 1)dx;

;

xdx

;

2x 3

5 4x x2

x(3x 5)

x x2

;

x3 1

dx;

3х 3

dx;

;

1 x

5x 6

x 1 x 1

3x3 5x2 25x 1

dx.

x 1 2 x 2

x 1

dx;

x2dx

;

x 1

x x2 4x 2

x 1

1) 2

sin

xcos

xdx;

;

sin4xcos6xdx.

cos

xdx.

3sinx 4cosx

Вариант 2

dx;

;

3cosx

;

6dx

;

3x4

x1 ln

3x 7

1 3sin x

3 3

1 arcsin2x

sin 1 3x dx;

dx;

1 x2

1 2

dx;

53x2

xdx.

2. (x2

4x 3)cosxdx ;

lnxdx ;

arctgxdx ;

(x 2)ex 2dx.

;

3x 1 dx

;

3x 5

dx.

4x 8

x2 6x 20

4x 12

3x2 5x 3

x3 2x 1

dx;

x2 6

dx;

;

dx;

4x 5

x 1)

6x 7

xdx

x2 1 x 1

x 3

dx;

;

x2 9 x2

x 10x2 6x 1

x 1

;

sinxcos3xdx;

;

sin2xdx.

sinx

5 4sin

Вариант 3

sin

dx;

1. ex2 xdx;

;

dx;

x 1 ln

x 2

3 x

1 earctgx

cos 5 sin d

x 1

dx;

;

dx;

dx.

1+x2

2. (x 1)ln

(x 1)dx;

xsin3xdx;

arcsinxdx;

x 1 e3xdx.

;

3x 1dx

;

x2 6x 13

3 2x x

x2 2x 2

4x 8

;

x3 3x

dx ;

x 2

dx;

3x3 5x2

11`x 13

dx;

7x 12

6x 7

(2x 5)dx

(x 7)2(x 5)

x2 1

dx;

;

x 1

dx;

x 2x2 5x 3

;

sin x

dx;

;

sin3xcosxdx.

sinxcosx

2sin x cosx

cos

Вариант 4

(sin x cosx)

dx;

e3x3

3x2dx;

ln x 5

dx;

xdx

;

cosxdx

x 5

1 x4

(sin x cosx)

sin

x2 2

1 tg3x

x 2

dx;

x 2

dx.

cos2 1 3x

cos2 x

ln x

dx ;

1 3x cos 3x 2 dx ;

arcsin

xdx;

x2e2xdx .

хdx

;

13 x

1 4x x2

4x 3 x2

2x 10

x4dx

;

dx;

;

3x3 2

dx;

2x 1 dx

2x 8

x 1 x 2

x 2x

3x 6x 2

x 1

dx;

;

2 x

x2 x2 1

x x2 2x 2

2 x 3

cos5 xdx;

;

sin4xcos2xdx;

cos4xdx.

5 4sin

Вариант 5

e5x2 2x 3 5x 1 dx;

sin xdx

;

sin

arcsinx 2

cos

x 4 ctgx

1 x2

1 x

2 2

4sin

3 4x dx;

1 ln

dx;

2 dx;

xdx.

1 x2

9 sin2xdx ;

x 3 ex 4dx ; x 1 2 ln x 1 dx ; arcsindx.

2x 8

dx ;

;

2x 1

dx.

x2 6x 13

1 x x2

2x2 3x 4

x2 2x 3

x3 1

dx;

x3 3

dx;

;

xdx

;

x 6

x 1 x 2

x 1 x

1 x 1

x4 1

dx.

x 3

x 2

dx;

1 3 x

dx;

;

3x 2

2 4

cos

xsin

xdx;

;

sinxcos2xdx;

sin

xdx.

3sinx 4cosx

Вариант 6

2 3

sin xdx

tgx

dx ;

;

arctgx

dx ;

dx;

cos

2 cosx

1 x

1 2

x dx;

dx;

cos 3x 3 dx;

;

ln х

arcsinx

4 x 3

dx;

2x 1 dx.

1 x2

(3x 1)sin3xdx ;

x 2 exdx ;

x 3 2 ln x 3

dx ;

arcsinxdx.

;

dx.

2x x2 2

3 x

2x 5

4x 13

;

3x4 4х

dx;

;

x3 6x2 11x 3

;

6x 10

x 1 x

x2dx

x2 1 x 1

1 x

dx ;

1 x2

x x2 2x 2

cos

xsin

xdx;

;

sin6xcos2xdx;

ctg

xdx.

5 sinx 3cosx

Вариант 7

e3x2 2x 6x 2 dx ;

cos5

x sinxdx ;

xdx

;

xsinx2dx ;

x2 1

lnxxdx;

1 22

dx;

x e

dx;

dx ;

sin

x arctg2x

x 3

x 1

dx;

dx.

1 x2

2. 2x2

4 cos2xdx ;

dx ;

3x 1 ex 2dx ;

arctgхdx.

;

x 1 dx

;

2x 2

3 2x x2

x2 4x 8

x2 8x 20

х2

2х 1

x 1

3х2 5х 4

x2 1

dx;

;

dx;

x x

x 1 x

x 5

2x3 13х2 24х 10 dx

x2 6x 9

dx;

x 2

1 x

x 2x2 4x 4

x 1

1 x2

cos

xsin

xdx;

;

sinx cos2x cos3xdx;

sin

x 5cos

x 4sin x cosx

tg4xdx.

Вариант 8

1. x3 cos x4 dx;

dx;

arcsinx

dx;

e3x 1 e3x 10dx;

1 tgx

cos

1 x2

3 3 x

1 ln2x

1 3e

sin 2 5x dx;

dx;

x 1

x 1 dx;

3x 2

110

dx.

2x 3

2. x 12 cosxdx ;

2xe2xdx ;

arcsin xdx ;

ln xdx.

x 3

dx;

;

dx;

x2 6x

2 6x 10

8x 3

2x2 x 1

3х2 3х 3

3x3 10x2 11x 21

x4 3

dx;

x 1

dx;

x x

6x 5

4x 5

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.11 Mб11399.pdf
#
07.01.2021193.56 Кб014.pdf
#
07.01.2021309.74 Кб0140.pdf
#
07.01.20211.12 Mб01400.pdf
#
07.01.20211.12 Mб01401.pdf
#
07.01.20211.12 Mб111402.pdf
#
07.01.20211.12 Mб01403.pdf
#
07.01.20211.12 Mб161404.pdf
#
07.01.20211.12 Mб31405.pdf
#
07.01.20211.12 Mб121406.pdf
#
07.01.20211.12 Mб21407.pdf