Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1402

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Интеграл f x dx называется сходящимся, если существует пре-

дел в правой части равенства (2.12), и расходящимся, если указанный предел не существует.

Аналогично определяется интеграл от функции, имеющий бесконечный разрыв в правом конце отрезка a;b .

	b		b
	f x dx lim		f x dx, 0.			(2.13)
	a	0	a
Если функция f x	a		a
Если функция f x	непрерывна при a x c;				c x b	и имеет
бесконечный разрыв в точке x c, то полагают
b		c		b
f x dx lim		f x dx lim		f x dx, 0.		(2.14)
a	0	a	0	c
a		a		c

Интеграл f x dx называется сходящимся, если оба предела в

правой части равенства (2.14) существуют, и расходящимся, если хотя бы один из указанных пределов не существует.

На практике для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций часто используются сле-

дующие признаки сходимости.

Если функция f x имеет бесконечный разрыв в одном из концов интегрирования a;b , например в точке x a, то несобственный ин-

теграл f x dx:

а) сходится, если		M
	f x		и m 1;	(2.15)

		x a m
б) расходится, если
		M
	f x		и m 1,	(2.16)

		x a m
здесь M и m постоянные.

Если же f x имеет разрыв во внутренней точке x c интервала
(a;b), то интеграл разбивают на два: от a до c и от c				до b и при-

меняют указанные признаки к каждому из полученных интегралов.

									1			dx
		Пример 4.										dx				.


									6					x
									6									1
		Решение. Функция																								непрерывна при 0 x 1 и имеет беско-
		Решение. Функция																								непрерывна при 0 x 1 и имеет беско-
																									x								1						1
																																	1						1
нечный разрыв в точке																		x 0, т.к. lim																							.


																														x 0 0 x									0
		Поэтому в силу равенства (2.12)																																			1
1	dx			1				dx								1					1											x		1		1



																																	2												1
			lim							lim x											2dx lim																	lim 2						x
			lim							lim x											2dx lim												1					lim 2						x
		x 0							x			0														0									1
		x 0							x			0														0
0
0																																	2
lim 2							2				lim 2 2lim


						1																									2 2 0 2.
						1																									2 2 0 2.
	0													0										0
		Значит, интеграл сходится и равен 2.
									1					dx
		Пример 5.												dx						.


									0				1 x2					1
		Решение. Функция																1										непрерывна при 0 x 1 и имеет бес-

																							1 x2
																							1 x2																1				1
																																							1				1
конечный разрыв в точке x 1, т.к.																																	lim													.


																																	x 1 0					1 x2					0
		Поэтому в силу равенства (2.12) имеем
1		dx			lim				1					dx					lim arcsinx 1																		lim arcsin 1 arcsin0


																																	\|
0 1 x2							0 0					1 x2											0										0					0
0 1 x2							0 0					1 x2											0															0
lim arcsin 1 lim arcsin0																									arcsin1 arcsin0																	0					.
lim arcsin 1 lim arcsin0																									arcsin1 arcsin0																	0					.
	0											0																													2				2
		Интеграл сходится и равен																													.
		Интеграл сходится и равен																													.
									3																		2
									3					dx
		Пример 6.												dx			.
		Пример 6.												2			.
									0			x 1													1
		Решение.							Функция																1				непрерывна при 0 x 1 и 1 x 3,
		Решение.							Функция													x 1 2							непрерывна при 0 x 1 и 1 x 3,
																						x 1 2
				1								1																					1					1
т.к. lim															и										lim															. Значит, в точке x 1
т.к. lim									2						и										lim								2							. Значит, в точке x 1
		x 1 0 x 1												0											x 1 0 x 1														0

функция имеет бесконечный разрыв. Поэтому в силу равенства (1.15) имеем

3	dx								1				dx							3			dx
					lim
				2	lim									2
	x 1			2		0						x 1		2									1	2
0	x 1								0			x 1								1 x			1
		1																		3														2 1	1
																																		2 1	1

lim			x 1 2 d x 1 x 1 2 d x 1 lim x 1
	0																	1											0		2 1
		0																1																	0
			x 1 2 1							3								1				1					1	3					1		0	1




lim												lim											lim						lim
lim												lim					x 1						lim			x 1			lim
	0		2 1							1			0									0	0					1		0 1 1						0 1
			2 1																			0						1		0 1 1						0 1
																			1						1			1				1
		1							1										1						1			1				1
lim													lim								lim						lim			lim
lim													lim								lim				1		lim			lim
	0 3 1						1 1						0										0		1		0		2		0
lim		1	1				1	lim			1				3			.
lim			1					lim										.
	0					2			0							2

Следовательно, интеграл расходится.

cos

xdx

Пример 7.

cos

Решение. Функция

т.к.

. Но для

lim

x 0 x

имеет бесконечный разрыв в точке x 0,

x 0

cos

, т.к.

cos x

1. Значит,

эта функция удовлетворяет неравенству (2.14) при m 1 1 и M 1.

Следовательно, интеграл сходится.						2
Следовательно, интеграл сходится.
		Задачи для индивидуальных заданий
				Вариант 1
1.	Вычислить следующие интегралы методом замены перемен-
ных:	2
	2			sin xdx
а)	x2	13 xdx;	б)	sin xdx	;	в) cos4 x sin4 x dx.
а)	x2	13 xdx;	б)		;	в) cos4 x sin4 x dx.
	1		0	2 cosx		0
2.	Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходи-
мость

dx
			.
(x 1)	2
		4

Вариант 2

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

xdx

tgxdx

а)

;

б)

;

в)

1 x2

cos

ln x 1

0 2

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	ln(x 1)	dx.

	x 1
1

Вариант 3

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

128xdx

arcsin xdx

а)

;

б)

;

в) sin xsin4xdx.

x2 1

1 x2

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

x2 x2 dx.

Вариант 4

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:


3	15xdx		2		2	tgxdx
а)	15xdx	;	б) xsin πx dx;	в)		tgxdx	.
а)	3	;	б) xsin πx dx;	в)			.
2	x2 1		0			sin2x
					6

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	dx	dx.
4
	x 3

Вариант 5

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

1	6x	2	dx		1	e	dx
а)				;	б) xex dx;	в)				.
			3				x1 ln	2	x
0	1 2x				0	1

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

		arctgx
				dx.
	1 x		2
0

Вариант 6

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

π	sin xdx		e	1	2

а)		;	б) x2 ln xdx;	в) x2	3 dx.
	3 cosx
0			1	0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	dx
0		.
	9 x2

Вариант 7

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

2	cosxdx		7	1	4
а)		;	б) ln x 5 dx;	в) x x2	3 dx.
а)	2 sin x	;	б) ln x 5 dx;	в) x x2	3 dx.
0			6	0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

ln x dx.

e x

Вариант 8

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

а)

dx;

б) 5

cosx

sin x dx;

в)

dx.

1 x

1 e

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

ex dx.

1 x2

Вариант 9

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

0		0,25π	arctgx			2
а) cos3 x dx	б)		arctgx	dx;	в)		xsinx2	dx.
а) cos3 x dx	б)		2	dx;	в)		xsinx2	dx.
			1 x
		0,25π				0
		0,25π				0
2

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

1 x2 dx.

1 x3

Вариант 10

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

1		x	dx		e	2
а)	e			;	б) x5 ln xdx;	в)		6x 5		dx.
	x						3x	2	2
0 e		5			1	1		5x 1

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходи-

мость

		x	dx.
4
	3 x2 9
	3 x2 9

Вариант 11

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

	π					π
3		1	πx		2		cosxdx
а) ecosx sinxdx;		б) xsin		dx;	в)			.
			2
0		1			0		2sin x 1

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

3 ( x 2)3 .

Вариант 12

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:


			1			π
1	3		1			4
а) 3ex	3	2 dx;	б) xe 5x 1dx;
	x			в)				cos	4x		dx.
	x			в)				cos	4x	3	dx.
0			0				π			3
			0
					12

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

dx dx.

1 x2

Вариант 13

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:


4				1
4			dx	1		2
а)			dx	; б) x 2 cosπxdx;	в) ctgxdx.
а)	x	2	3x 2	; б) x 2 cosπxdx;	в) ctgxdx.
3	x		3x 2	0
						4

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

arctgx

0 1 x2 dx.

Вариант 14

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

1	dx			1	ln	3 ex dx
а)			;	б) xarctgxdx;	в)			.
а)	6 5x x	2	;	б) xarctgxdx;	в)	1 e	2x	.
0	6 5x x			0	0	1 e

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

x e x2 dx.

Вариант 15

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

	π					1		π
12			dx					2
12						2		2	x dx
а)						б) arctg2xdx;			x dx
					;		в)				.
			2	π	;		в)		sin2	x	.
0		sin	x			0		π
0		sin	x	6		0		π
				6				6

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

4x dx

1 x2 .

Вариант 16

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

4						1	2x 1 dx
		2	3πx		2
а) x	x2 9dx;	б) x 1 sin		dx;	в)			.
			2				2
0		1			0		x x 1

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

dx
			.
(x 2)	2
		9

Вариант 17

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

0		1				0		x3
0			2			0		x3
а) 2x4 x5	19 dx;			2πx					1
									1
		б) xcos			dx;	в) x2 e 3 dx.
		б) xcos		3	dx;	в) x2 e 3 dx.
1		0				3
1		0				3	3

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	x	dx.
3
	x2 4
	x2 4

Вариант 18

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

2	2			xdx
а)					;	б) cos3 xsin xdx;


			1 x2			0
		3

в) xsin πxdx.

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	x2
			dx.
	1 x	6	dx.
1	1 x

Вариант 19

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

ln2

xdx

а)

;

б)

cosx

sinxdx;

в)

31 2e

1 6 1 x4

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	x
3		dx.
3	( x2 4)3	dx.

Вариант 20

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

4		1 5tg x dx			1	xdx		2
а)			2	;	б)		;	в) cos2 xsinxdx.
		cos				4
				x	0	1 x		0
	6

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	x2
			dx.
	1 x	2	dx.
1	1 x

Вариант 21

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

ln3

arcsin

а) xex2 dx;

б)

;

в) sin2 x 3sin x 1 cosxdx.

1 x2

ln2

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	dx
0		.
	4 x2

Вариант 22

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

	π						0
2				2			0
а) 3			sin xdx;	б) x2	x3 8	dx;	в) sin3 xdx.
а) 3		cosx	sin xdx;	б) x2	x3 8	dx;	в) sin3 xdx.
0				0			π
							2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.11 Mб31399.pdf
#
07.01.2021193.56 Кб114.pdf
#
07.01.2021309.74 Кб2140.pdf
#
07.01.20211.12 Mб31400.pdf
#
07.01.20211.12 Mб61401.pdf
#
07.01.20211.12 Mб181402.pdf
#
07.01.20211.12 Mб21403.pdf
#
07.01.20211.12 Mб261404.pdf
#
07.01.20211.12 Mб61405.pdf
#
07.01.20211.12 Mб231406.pdf
#
07.01.20211.12 Mб31407.pdf