1402

ISBN 978-5-93204-375-2

Е. Ю. Руппель, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Неопределенный интеграл

§1. Непосредственное интегрирование …………………………………

5

§2. Интегрирование подстановкой ………………………………………

7

§3. Интегрирование по частям ……………………………………….…..

9

§4. Интегрирование простейших дробей ……..........................................

11

§5. Интегрирование рациональных дробей……………………………...

12

Схема интегрирования рациональных дробей………………..…….

12

Случай, когда знаменатель разлагается лишь на неповторяющие-

ся множители первой степени…………………………………….…

14

Случай, когда знаменатель разлагается лишь на множители пер-

вой степени, среди которых есть повторяющиеся………………….

15

Случай, когда знаменатель разлагается лишь на неповторяющие-

ся множители второй степени и, возможно, множители первой

степени…...............................................................................................

16

§ 6. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригоно-

метрических функций

17

§ 7. Некоторые интегралы тригонометрических функций......................

19

Интегрирование произведений синусов и косинусов.......................

19

Вычисление интеграла sinm xcosnx dx, где m или n – положи-

тельное нечетное целое число.............................................................

19

Вычисление интеграла sinm xcosnx dx, где сумма m и n – отрица-

тельное четное целое число.................................................................

20

Вычисление интеграла sinmxcosn xdx m и n– четные неотрица-

тельные числа........................................................................................

21

§ 8. Интегрирование некоторых алгебраических иррационально-

стей.........................................................................................................

22

Интегралы вида .......................R x,n x dx(n – натуральное число)

22

Интегралы вида .......................................................

dx

23

Задачи для индивидуальных ..................................................заданий

24

Глава 2. Определенный интеграл.....................................................................

39

§1. Определенный интеграл ......................и его геометрический смысл

39

§2. Несобственные интегралы....................................................................

47

Интеграл с бесконечными .................................................пределами

47

Интегралы от неограниченных ............................................функций

48

Задачи для индивидуальных ..................................................заданий

51

§3. Вычисление площадей ................................................плоских фигур

60

Вычисление площади ......................в прямоугольных координатах

60

Вычисление площади, ограниченной кривой, заданной парамет-

58

рическими уравнениями.......................................................................

62

Вычисление площади ................................в полярных координатах

63

§ 4. Вычисление длины дуги ………………………………………….....

64

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольной сис-

теме координат......................................................................................

65

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими

уравнениями…………………………………………………………..

67

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координа-

тах...........................................................................................................

68

§ 5. Вычисление объема.........................................................................….

71

Вычисление объема тела по известным площадям его попереч-

ных сечений…………………………………………………...............

71

Вычисление объема тела вращения....................................................

72

Задачи для индивидуальных заданий..................................................

75

Библиографический список………………………………………….

88

ся найти функцию.

Определение. Функцию y F x ,

заданную на промежутке x,

называют первообразной для функции

y f x , заданной на том же

промежутке, если для всех x X выполняется равенство

F x f x

ции f x cosx первообразной будет

функция F x sin x, т. к.

x для всех x;

для функции 3x2 первооб-

F x sinx cosx f

разной будет функция x3

для всех x; для скорости V

, т.к. x3 3x2

точки первообразной будет путь S , который прошла эта точка, т. к.

Если

функция y F x

является первообразной для функции

y f x

на промежутке X ,

то и любая из функций вида y F x C

I. xndx

xn 1

C, где n 1;

II.

dx

ln

x

C;

n 1

x

III. axdx

ax

C;

IV. ex dx ex C;

ln a

V.

dx

arcsin x C

VI.

dx

x

;

arcsin

C;

1 x2

arccos x C

a2 x2

a

VII.

dx

dx

1

x a

C;

ln

ln

x

x2 a

; VIII.

a

2

2

2 a

x a

x2 a

x

IX. cosxdx sinx C;

X. sinxdx cosx C;

XI.

dx

ctg x C;

XII.

dx

tg x C;

sin2 x

cos2 x

dx

arctg x C

dx

1

x

C;

XIII.

;

XIV.

arctg

1 x2

a2 x2

a

arcctg x C

a

)dx

x

a

XV. (

x2 a

x2 a

ln

x

x2

a

C;

2

2

f x dx f t t dt ;

(1.1)

ложим

x 3 t2 .

Отсюда

x t2 3;

dx d t2 3 ;

2

2

dx d t

3

dx 2t 0 dt;

dt;dx (t

dt;

dx 2tdt .

Заменив

)

3

всюду под интегралом x на (t) t2 3, получим

x

dx t2 3

2tdt 2t4 6t2 dt 2 t4dt 6 t2dt

t2

x 3

2 t4dt 6 t2dt 2

t4 1

6

t2 1

C

2

t5 2t3 C

2

5

x 3

2 1

2

3 C.

4 1

5

5

x 3

При вычислении воспользовались формулой xndx

xn 1

C.

n 1

2xdx

Пример 2. Найти

3e

.

e4x

C

Решение. Заметим,

что e4x e2x 2

. Целесообразно ввести пере-

менную e2x t . Тогда

de2x dt ;

e2x 2dx dt. Заменив

e2x dx dt;

2sinxdx

2

dt

2ln

t

3 t2

C 2ln

cosx

3 cos2 x

C.

3 cos2 x

3 t2

Пример 4. Найти sin 3x 1 dx.

Решение. Заметим,

что

dx

1

d 3x 1 , т.к.

d 3x 1

3

Целесообразно ввести переменную t 3x 1. То-

3x 1 dx 3dx.

гда dx

1

dt. Заменив всюду под интегралом dx на

1

dt,

3x 1 на t;

3

3

получим

1

1

1

sin 3x 1 dx

cos 3x 1 C.

sintdt

cost

3

3

3

На основании вышеизложенного можно ввести формулу

f ax b dx

1

F ax b C ,

(1.2)

a

где F x – первообразная функции f x .

Тогда e2x 3dx

1

e2x 3

C.

2