Контрольные вопросы
1.Чем отличается метод Рунге-Кутта 2-го порядка от метода Эйлера?
2.Сколько раз применяется формула метода Эйлера в метод РунгеКутта 2-го порядка?
3.Как используется начальное условие задачи Коши в методе РунгеКутта 2-го порядка?
4.Какой вид функции используется для построения частного решения задачи Коши?
Лабораторная работа № 7
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта 3-го порядка
Задание. Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта 3-го порядка:
1. |
y' 3 3 x2 , |
y(2) 0, |
|
x [2;3,5]. |
|
И |
|||||
2. |
y' |
|
y2 |
y |
, |
y(1) 0,5, |
x [1,2]. |
Д |
|||
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.y' |
|
|
ex |
|
|
, y(0) |
1, x [0,3]. |
|
|||
(1 e2x)y2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
А |
|
||||||
4. y' ex y, |
|
y(0) 0, |
бx [0,2]. |
|
|
||||||
Для расчетов использовать следующую таблицу: |
|||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
h |
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
f(x,y) |
|
R1 |
|
R2 |
|
R3 |
0 |
|
1 |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
|
Контрольные вопросы
1.В чем отличие метода Рунге-Кутта 3 порядка и модифицированного метода Эйлера?
2.Сколько раз применяется формула метода Эйлера в метод РунгеКутта 3-го порядка?
3.Как используется начальное условие задачи Коши в методе РунгеКутта 3-го порядка?
4.Какие вспомогательные вычисления в методе Рунге-Кутта 4-го по-
рядка?
52
Лабораторная работа № 8
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Задание. Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка:
1. y' x ey, |
|
y(1) 1, |
x [1,2]. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
y' y cosx, |
y(2) 0, x [2,4]. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
y' |
|
y |
|
, |
|
y(1) 1, |
x [1,4]. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(1 x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. y' ex y, |
y(0) 1, |
x [0;1,3]. |
|
И |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для расчетов использовать следующую таблицу: |
|
|
|||||||||||||||||
|
h |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
y |
|
|
|
f(x,y) |
|
|
R1 |
|
R2 |
|
R3 |
|
R4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
олее точный результат? |
||||||||
1. Какой из методов Эйлера дает |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Сколько раз применяется формула метода Эйлера в метод Рунге- |
|||||||||||||||||||
Кутта 4-го порядка? |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Как используется начальное условие задачи Коши в методе Рунге- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кутта 4-го порядка?
4. Какие вспомогательные вычисления в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?
Лабораторная работа № 9
Алгоритмы одномерной оптимизации. Метод сканирования. Метод локализации экстремума
Цель работы. Изучить основные алгоритмы одномерной оптимизации, реализовать их в приложении для автоматизации процесса решения прикладных задач.
Задание. Создать приложение «Нахождение оптимальных размеров цилиндрического бака из жести».
53
х
y
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
х |
|||
|
|
А |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
б |
|
|
|
|
y |
|
и |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
С |
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Найти оптимальные размеры цилиндрического бака с крыш-
кой из жести, при которых общая площадь поверхности была бы наименьшая, если известен объем бака v =100 л.
Найти:
Целевая функция : f (x) 2(π x2 v) min, x
проектируемые параметры : v
x (радиус), y |
|
(высота). |
2 |
||
|
π x |
|
54
Для определения оптимальных размеров использовать алгоритмы одномерной оптимизации (алгоритмы сканирования, локализации экстремума, золотого сечения и Фибоначчи).
P.S. Для вывода полученных результатов в ListBox необходимо написать процедуру на активацию формы:
Private Sub UserForm_Activate() ListBox1.Clear ListBox1.ColumnCount = 4
ListBox1.AddItem "Название алгоритма" ListBox1.List(0, 1) = "Радиус" ListBox1.List(0, 2) = "Высота" ListBox1.List(0, 3) = "Площадь поверхности" ListBox1.AddItem "Алг. сканирования"
1.Какова суть метода сканированияАД? И
2.Какой критерий завершениябвычислений в методе сканирования?
3.Какова геометрическая интерпретация методов сканирования и локализации экстремума?и
4.Какова последовательность вычислений в методе локализации экстремума? С
Цель работы. Изучить основные алгоритмы одномерной оптимизации, реализовать их в приложении для автоматизации процесса решения прикладных задач.
Задание.Создать приложение «Нахождение оптимальных размеров балки с прямоугольным поперечным сечением».
55
|
|
|
И |
|
|
Д |
|
|
А |
|
|
б |
|
|
|
Задача. Из половины круглого металлического бруска с диаметром |
|||
и |
|
|
|
d = 25 см вырезают балку с прямоугольным поперечным сечением, основа- |
|||
ние которого равноСy и высота x. Оставшаяся часть поступает в отходы. Найти оптимальные размеры балки, при которых количество отходов минимально.
Найти: |
|
|
π d |
2 |
|
|
|
|
||
Целевая функция : f (x) |
x |
d2 4 x2 |
min, |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||
проектируемые параметры: x (высота |
балки), |
|
||||||||
y |
|
|
(основание). |
|
|
|
|
|
||
d2 |
4 x2 |
|
|
|
|
|
||||
56
Для определения оптимальных размеров использовать алгоритмы одномерной оптимизации (алгоритмы сканирования, локализации экстремума, золотого сечения и Фибоначчи).
P.S. Для вывода полученных результатов в ListBox необходимо написать процедуру на активацию формы:
Private Sub UserForm_Activate() ListBox1.Clear ListBox1.ColumnCount = 4
ListBox1.AddItem "Название алгоритма" ListBox1.List(0, 1) = "Высота" ListBox1.List(0, 2) = "Ширина" ListBox1.List(0, 3) = "Целевая функция" ListBox1.AddItem "Алг. сканирования" ListBox1.AddItem "Алг. лок. экстремума"
1.В чем смысл закона золотогоАсеченияД?И
2.Какое соотношение используется для деления отрезка по закону золотого сечения? б
3.Что такое последовательность чисел Фибоначчи и как она формируется? и
4.Какова геометр ческая нтерпретация метода Фибоначчи?
5.Какой критерСй завершен я вычислений в методах золотого сечения и Фибоначчи?
Метод наискорейшего спуска (крутого восхождения)
Цель работы. Изучить основные алгоритмы многомерной оптимизации, реализовать их в приложении для автоматизации решения задач.
Задание. Создать приложение «Градиентные методы» для нахождения проектируемых параметров методами покоординатного спуска, методом конфигураций, методом Ньютона, методом деформируемого многогранника, методом сопряженных градиентов.
57
Задание 1.
f (x1, x2 ) 2x13 2x23 36 x1x2 10 min,
h 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||
Начальные |
значения |
|
параметров |
Д |
||||||||||
|
: |
|
|
|||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1) 5,6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x(2) 5,6. |
|
|
|
б |
|
|
|
|
||||||
Задание 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x |
1 |
, x |
2 |
) 14 x3 27 x |
1 |
x2 |
69 x |
54 x |
2 |
min |
||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
А1 |
|
||||||
h 0,001. |
С |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Начальные |
значения |
параметров |
: |
|
|
|
||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1) 0,8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x(2) 0,8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Контрольные вопросы
1.Что такое градиент функции многих переменных?
2.Сформулируйте основную формулу итерационного процесса в методе градиента.
3.В чем отличие методов градиента и наискорейшего спуска (крутого восхождения)?
4.Как выбирать начальное решение в градиентных методах?
5.Какой критерий завершения вычислений в методах градиента и наискорейшего спуска (крутого восхождения)?
58