Выделяют следующие этапы решения задачи оптимизации [1, 2]:

•определение варьируемых параметров (параметров, подлежащих оптимизации);

•установление области допустимых значений варьируемых параметров, т.е. формализация ограничений, налагаемых на параметры;

•выбор и оценка влияния внешних факторов, которые необходимо учесть при решении задачи оптимизации;

•выбор критериев оптимальности;

•выбор математического метода решения задачи оптимизации;

•проведение расчетов и оценка полученных решений по выбранным критериям;

•принятие окончательного решения с учетом неопределенностей в постановке задачи.

Критерий оптимальности можно определить как характерный показатель объекта проектирования, по значению Икоторого оценивается оптимальность найденного проектного решения. Как правило, не удается выбрать один критерий, который бы формализовалД полноту представлений проектировщика об оптимальности объекта проектирования. Однако следу-

ет избегать использования большого числа критериев, поскольку это существенно усложняет задачу принятияАрешения.

В простейшем случае задачу многокритериальной оптимизации (задачу МКО) сводят к задаче двухкритериальнойб оптимизации, критериями в которой являются «цена» и «качество». Это позволяет в доступной для анализа форме учесть и экономическиеи(цена), и производственно-технические (качество продукции) требован я. Часто задачу МКО различными методами сводят

кзадаче однокритерСальной опт мизации, что требует введения существенных допущений, но облегчает пр нятие окончательного решения [1].

Задачи однокритериальной оптимизации иногда называют задачами скалярной, а многокритериальной — векторной оптимизации. Одной из особенностей задач оптимизации, возникающих при автоматизированном проектировании, является высокая вычислительная сложность и сложность программной реализации. Это обусловлено тем, что при решении задач оптимизации в современных САЕ-системах широко используют метод суррогатных моделей (мета-функций), которые представляют собой аппроксимации целевых функций полиномами, радиально-базисными и другими функциями [1].

7.1.Методы одномерной оптимизации

Задачи оптимизации, в которых критерий оптимальности задан функцией одной переменной и методы их решения часто встречаются в инженерной практике, а также используются при исследовании подзадач многомерной

31

оптимизации. Поэтому анализ задач такого типа занимает центральное место в математическом обеспечении САПР. Это обусловило разработку большого числа методов и их модификаций. Математическая формулировка задач одномерной оптимизации часто эквивалентна задаче отыскания экстремума функции одной переменной. Вследствие этого для решения таких задач могут быть использованы методы математического анализа. Но часто на практике при математическом моделировании могут получаться функции трудоемкие для аналитического решения, поэтому актуальным является использование численных методов одномерной оптимизации и их реализация

всистемах автоматизированного проектирования [4].

Кнаиболее изученным методам одномерной оптимизации можно отнести следующие:

•метод сканирования;

•метод локализации экстремума;

•метод золотого сечения; И

•метод с использованием чисел Фибоначчи.Д

концах интервала и в точках его раз иения вычисляются значения целевой функции [4]. Затем производится сравнение полученных величин друг с другом и из них выб рается на ольшее значение, если определяется max, и

F(xmin)

Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода сканирования

Точность поиска решения методом сканирования равна подынтервалу разбиения [4].

32

7.3. Метод локализации экстремума

На первом этапе решения весь диапазон изменения неизвестной разбивается на крупные подынтервалы. Затем вычисляют значение целевой функции на концах рассматриваемого отрезка и в точках его разбиения и выбирают из них оптимальное, т.е. наибольшее при поиске max и наименьшее при определении min. Далее оптимальную точку окружают прилегающими подынтервалами и полученный новый интервал разбивают вновь на крупные отрезки. Деление отрезков повторяется до тех пор, пока на очередном шаге длина подынтервала не станет меньше или равной заданной точности [4] (рис. 6).

F(x)

Метод локализации экстремума при равных условиях обеспечивает

тода локализации экстремума получаются, если исходный отрезок делится на четыре равные части, а затем прилегающие к экстремальной точке подынтервалы делятся пополам [4].

7.4.Метод золотого сечения

Воснове этого метода лежит геометрическое соотношение, или закон золотого сечения [4]. Если весь отрезок обозначить через а, большую его часть − b,меньшую − c, то закон золотого сечения устанавливает следующую связь:

33

ab

,

bc

или

b2 a c.

Определим, при каких условиях возможно выполнение соотношения золотого сечения. Для этого рассмотрим отрезок единичной длины (рис. 7).

Сущность метода золотого сечения состоит в том, что рассматриваемый отрезок делится по закону геометрического соотношения, который называется золотым сечением [4] (рис. 8).

34