УДК 681.5 ББК 32.965 А22

Рецензенты:

канд. техн. наук, доц. И.М. Князев (СибАДИ); канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Лизунов (Сибирское отделение академии военных наук РФ)

Автоматизированное проектирование [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / сост. : А.А. Соловьев, Ю.И.

А22 Привалова. – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2016. – URL: http://bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r_plus/cgiirbis_64_ft.exe. - Режим доступа: для авторизованных пользователей.

ISBN 978-5-93204-936-5.

Содержит теорию, задания к лабораторным работам, контрольные вопросы. Имеет интерактивные оглавление и элементы на первом титульном экране.

Предназначено для аспирантов направления подготовки «Наземные транспортно-технологические комплексы».

Работа утверждена редакционно-издательскимСибАДИсоветом СибАДИ в качестве учебно-методического пособия.

Текстовое (с мвольное) издание (862 КБ).

Систем. требования: Intel, 3,4 GHz; 150 Мб; Windows XP/Vista/7; DVD-ROM;

1 Гб свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader, Google Chrome

Издание первое, комплексного распространения Дата подписания к использованию 14.06.2016

Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2016

5.Техническое проектирование

6.Разработка конструкторской документации

Этапы разделяютина составные части, называемые проектными процедурами. ПримерамиСпроектных процедур являются подготовка чертежей, анализ кинематики издел я ли его части, моделирование переходных процессов, оптимизация параметров и структур. Таким образом, процесс проектирования представляет собой выполнение некоторых последовательностей типовых проектных процедур.

Основными направлениями типовых процедур проектирования являются:

1.Расчет (Одновариантный анализ). Определение выходных параметров и характеристик объекта проектирования при неизменных значениях его внутренних параметров и постоянной структуре.

2.Анализ (Многовариантный анализ). Определение изменения выходных параметров и характеристик объекта в зависимости от изменения его внутренних параметров.

3.Оптимизация. Определение наилучших (оптимальных) значений выходных параметров и характеристик путем целенаправленного изменения внутренних параметров объекта (параметрическая оптимизация) или его структуры (структурная оптимизация).

5

физических процессов, осуществляют динамическое моделирование, проверку изделия).

−CAM (computer-aided manufacturing) (технологические САПР, для технологической подготовки производства (АСТПП)).

3. Классификация САПР по масштабу:

−отдельные программно-методические комплексы (ПМК) САПР (например, комплекс анализа прочности механических изделий в соответствии

сметодом конечных элементов (МКЭ) или комплекс анализа электронных схем);

−системы ПМК;

−системы с уникальными архитектурами не только программного (software), но и технического (hardware) обеспечений.

Многие САПР совмещают в себе решение задач, относящихся к раз-

ным аспектам проектирования CAD/CAM, CAD/CAE, CAD/CAE/CAM. Та-

кие системы называют комплексными или Иинтегрированными. Область применения САПР очень велика. Возможности САПР во многом определяются программным обеспечением, котороеДзачастую делят на уровни, опираясь на сложность системы и область ее возможностей.

Системы автоматизированного проектирования нижнего уровня в основном применяются при выпускеАконструкторской документации, обычно они не связаны друг с другом, а также С ПР, которые обеспечивают выпуск комплектов конструкторскойбдокументации (КД). Применяются такие системы в создании проектов с различной степенью сложности в области строительства, архитектурыи, геодезии, генплана, машиностроения и других.

САПР среднего уровня о еспечивает моделирование в трехмерном пространстве, а такжеСвыпуск документации на проектируемые модели. Об-документирования и проектирования изделий.

САПР верхнего уровня позволяет производить комплексное решение задач в моделировании объектов, выпуска конструкторской документации, расчетов, помогает решить специфические прикладные задачи. Например, моделирование самолетов, испытание двигателей, ядерных реакторов.

8

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ САПР

Среди всех видов обеспечения современных систем автоматизированного проектирования особое место занимает математическое обеспечение, которое отличается разнообразием используемых методов вычислительной математики, статистики, математического программирования, дискретной математики и искусственного интеллекта, способных решать проектные процедуры синтеза или анализа любой сложности.

Математические модели, численные методы и соответствующие алгоритмы, используемые в системах автоматизированного проектирования, относятся к математическому обеспечению САПР. САЕ-системы машино-

•выполнение инженерных расчетов с цельюИопределения исходных параметров и данных для последующегоДматематического моделирования проектируемых объектов;

•математическое моделированиеАпроектируемых объектов, инженерный анализ и оптимизация проектных решений при изменении параметров

этих объектов.

Процесс математическогобмоделирования технических изделий и объектов в общем случае можно представить как последовательность следующих четырех основныхиэтапов [1]:

1) получение на основе фундаментальных физических законов исходной математическойСмодели объекта исследования в форме систем уравнений, математических выражен й, зависимостей и т.п.;

2) выбор численных методов и алгоритмов решения уравнений математической модели;

3) выбор или разработка на выбранном алгоритмическом языке и отладка программы, реализующей указанные методы и алгоритмы;

4) ввод исходных данных для выбранной или разработанной програм- мы-решателя исходных данных, получение и обработка результатов математического моделирования на ЭВМ.

В машиностроительных САЕ-системах используют математические модели объектов проектирования двух основных типов:

− модели объектов с сосредоточенными параметрами; − модели с распределенными параметрами.

Математическая модель, как правило, приближенно описывает иссле-

дуемый объект. Поэтому она должна соответствовать основным требованиям адекватности, точности и экономичности. Модель называют адекватной,строительных изделий призваны решать две следующие основные задачи

9

если она отражает свойства объекта с заданной точностью. Под точностью понимают степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и его модели. Экономичность модели определяется затратами машинного времени и памяти, требуемыми для реализации на ЭВМ.

Адекватность модели оценивают перечнем отражаемых свойств объекта и областью адекватности. Областью адекватности называется область в пространстве параметров объекта, в пределах которой погрешности (точность) модели находятся в допустимых для пользователя пределах. Пусть, например, P=(p1,p2,...,pn) − вектор рассматриваемых параметров модели объекта проектирования и ε1,ε2,…,εn предельно допустимые значения относительной точности этих параметров. Тогда область адекватности Ар представляет собой множество всех тех значений параметров p1,p2,...,pn, для которых их относительная погрешность не превышает предельно допусти-

тематическая модель представляет собой систему обыкновенных диффе-

сматриваемый интервал времени. В более лаконичной векторной форме система ОДУ записывается в виде

X F(X,t), X(0) X 0 , t [0,tK ],

где X − (n 1) − вектор фазовых переменных с компонентами x1 ,x2 ,...,xn ; F(X, t) − вектор-функция той же размерности; Х0 − аналогичный вектор начальных условий.

10

2. Модель в дифференциально-алгебраической форме (полуявная фор-

ма) имеет вид

G(X,Y) 0,

где Y (y1 , y2 ,..., ym )− (m 1) − вектор алгебраических переменных, G(X,Y)− (m 1) − вектор-функция.

3. Модель в дифференциально-алгебраической форме (неявная форма)

определяет система уравнений

G(X, X,Y,t) 0, X(0) X 0, Y(0) Y0, t [0,tK ],

ния, описывающие состояния элементов объектаИ, называют компонентными уравнениями, а уравнения, задающиеАвзаимосвязи элементов объекта, —

где G − ((n m) 1) − вектор-функция.

Рассмотренные математические модели вида строят на основе компонентных и топологических уравненийДобъекта проектирования. Уравне-

топологическими. Таким образом, математическая модель объекта с сосредоточенными параметрами представляетб собой совокупность компонентных и топологических уравнений этого о ъекта [1, 2].

Математическимиимоделями о ъектов с распределенными параметрами, используемыми в САПР, являются в основном краевые задачи для дифференциальныхСуравнен й в частных производных (ДУЧП). Фазовыми переменными в эт х уравнениях могут быть температура (если речь идет о задаче теплопроводности, например), величина механического напряжения (в задаче анализа на прочность) и т.д. Различают стационарные и нестационарные краевые задачи для ДУЧП. В стационарной краевой задаче решение не зависит от времени. В качестве независимых переменных в такой задаче чаще всего используют пространственные переменные x, у, z. В нестационарной краевой задаче решение меняется во времени. В качестве независимых переменных в данном случае используются пространственные переменные x, у, z и время t [1, 2].

Как в стационарной, так и в нестационарной краевых задачах для ДУЧП должны быть заданы граничные условия — значения фазовых переменных и (или) их некоторых функций на границе моделируемого объекта. Различают граничные условия первого, второго и третьего рода [1, 2].

Граничные условия первого рода {условия Дирихле) − это значения фа-

зовых переменных V, заданных на границе области V(Г) = VГ.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) имеют вид

11

dV

k dn |Г q,

где к и q — как правило, константы; я — нормаль к поверхности объекта.

Граничные условия третьего рода представляют собой так называе-

В нестационарных задачах, кроме краевых условий, должны быть заданы начальные условия — значения фазовых переменных и (или) их некоторых функций внутри объекта в начальный момент времени:

V(0) =V0.

Компонентные и топологические уравнения объектов различной фи-

хом могут быть использованы при математическомИмоделировании не только механических, но и электрических, гидравлических, пневматических и

зической природы отражают различные физические законы, но могут иметь

одинаковый формальный вид, т.е. быть аналогичными. Наличие таких ана-

логий приводит к тому, что многие компонентные и топологические урав-

нения оказываются инвариантными к предметной области и с равным успе-

функция соответствующейСразмерности.

Топологическое уравнение объекта можно представить в виде

T(V) 0,

где V {Vi} − вектор фазовых переменных объекта; Т − вектор-функция. Различают фазовые переменные двух типов − фазовые переменные

типа потенциала (например, электрическое напряжение, скорость в механической поступательной системе) и типа потока (например, электрический ток, сила, действующая на тело, в механической системе). Каждое из компонентных уравнений описывает связи между разнотипными фазовыми переменными, относящимися к данному компоненту. Например, второй закон

12

Ньютона описывает связь между силами, действующими на тело, и приобретаемым им ускорением [1,2].

Топологическое уравнение определяет связи между однотипными фазовыми переменными в разных элементах объекта. Например, принцип Даламбера для механической поступательной системы требует, чтобы сумма всех сил, действующих на тело с учетом инерциальных сил, была равна ну-

лю [1, 2].

Математические модели объектов с сосредоточенными параметрами удобно представлять в графической форме в форме эквивалентных схем, которые часто используются в качестве входного языка в САЕ-системах. Совокупность компонентных и топологических уравнений представляет собой математическую модель объекта проектирования в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В явном виде матема-

тическая модель объекта проектирования в форме системы ОДУ и (или) системы линейных, нелинейных алгебраических уравнений может быть решена с использованием численных методов решения систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений, а также с помощью методов оптимизации.

13

3.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Математическое моделирование технических устройств, объектов и систем часто приводит к решению систем линейных уравнений. Для автоматизации их решения используют численные методы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными:

Система называется обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы 0, и тогда система имеет единственное решение.

Система называется не обусловленной (вырожденной, особенной), если = 0, и тогда система не имеет решений или имеет бесконечное мно-

14

жество решений. Для решения СЛУ широко применяют прямые и итерационные методы. Рассмотрим особенности решения СЛУ методом простых итераций .

3.1. Метод простых итераций для решения систем линейных уравнений

Формула итерационного процесса

i j

Если в полученных результатах значения δ > k > kmax, то задача не решена. Необходимо проверить условия сходимости или увеличить kmax.

15

3.2. Метод Зейделя для решения систем линейных уравнений

В формуле итерационного процесса метода простых итераций к моменту вычисления xi(k) уже вычислены значения x1(k),x2(k),...,xi− 1(k). Очевидно, что эти значения в большинстве случаев ближе к решению и их можно использовать для вычисления xi(k). Исходя из этого можно модифицировать формулу итерационного процесса метода простой итерации следующим образом:

i j

Данный метод позволяет достигать требуемой точности ε за меньшее число итераций, т.е. имеет лучшую сходимость.

Достоинства итерац онных методов для решения систем линейных уравнений следующие:

личеством нулевых коэффициентов (систем с разряженной матрицей коэффициентов).

Недостаток − не всегда можно обеспечить сходность итерационного процесса. С увеличением размерности системы труднее выполнить линейные преобразования для обеспечения сходимости.

16

4.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

При моделировании задача нахождения решения системы нелинейных уравнений является распространенной вычислительной задачей. Например, к решению таких систем сводятся расчеты фазового и химического равновесия многокомпонентных смесей, расчеты статических режимов многих технологических процессов и др.

Запишем систему n нелинейных уравнений с n неизвестными в общем

виде:

f1(x1, x2, …, xn) = 0; f2(x1, x2, …, xn) = 0;

…

fn(x1, x2, …, xn) = 0.

X*), при которых все функции fi равны 0 (система нелинейных уравнений обращается в тождество).

Системы нелинейных уравнений могут иметь единственное решение, множество решений или вообще не иметь его. Поэтому численное решение проводят в два этапа:

1-й этап – отделение решений.

2-й этап – уточнение всех или только нужных решений.

Отделить решения – значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным [3].

Задача отделения решений реализуется только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

17

f1(x1, x2) = 0; f2(x1, x2) = 0.

Для этого необходимо в координатах (x1, x2) построить кривые f1(x1,х2) = 0, f2(x1,х2) = 0.

Точки пересечения этих кривых являются решениями системы (рис. 2). Так как координаты точек пересечения определяются приближенно, целесообразно говорить об области существования решения D. Эта область задается интервалами по каждой координате, внутри которых находятся искомые значения неизвестных.

решаемой задачиС, например, исходя из физического смысла неизвестных проектируемого объекта.

Отделение решений позволяет:

1.Выявить число решений и область существования каждого из них.

2.Проанализировать возможность применения выбранного метода решения СНУ в каждой области.

3.Выбрать начальное приближение решения X(0) из области его сущест-

вования, так что X(0) D.

При отсутствии информации об области существования решения выбор начального приближения X(0) проводится произвольным способом и варьируется в ходе вычислительного эксперимента. Уточнение интересующего решения до требуемой точности ε производится итерационными методами.

18

4.1. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений

Метод простых итераций заключается в замене исходной системы уравнений эквивалентной системой X = Φ(X) и построении итерационной

последовательности

X(k) = Φ(X(k − 1)) , где k = 1, 2, 3,… − номер итерации, которая при k→∞ сходится к точному решению.

Здесь Φ(X) − вектор-функция; X(0) D – начальное приближение решения. В развернутом виде формула итерационного процесса (выражение для вычисления очередного k-го приближения решения) имеет вид

Таким образом, для уточнения решения методом простых итераций нужно найти такое эквивалентное преобразование, чтобы в области существования решения выполнялись условия сходимости.

19

4.2. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы нелинейных уравнений, что позволяет свести исходную задачу к многократному решению системы линейных уравнений [3].

Пусть известно приближение xi(k) решения системы нелинейных уравнений xi*. Введем в рассмотрение поправку xi как разницу между решением и его приближением:

Δxi x*i xi(k) x*i xi(k) Δxi , i 1,n.

Подставим полученное выражение для xi* в исходную систему.

задачу так же сложно, как и исходнуюА. Однако эту систему можно линеари-

правки xi. Для определения xi нужно решить эту систему. Но решить эту

зовать, и, решив ее, получ ть при лиженные значения поправок xi для

Для линеаризации системы следует разложить функцию fi в ряды Тейлора в окрестности xi(k), ограничиваясь первыми дифференциалами.

Полученная система имеет вид

20

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения xi(k). Для решения системы линейных уравнений при n = 2, 3 можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n – метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности , расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

δ= max Δxi(k) ε.

i1,n

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

1 n | xi | . n i 1

F(X) − вектор-функция;

W(X(k)) – матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения. F(X(k)) – вектор-функция, вычисленная для очередного приближения.

Выразим вектор поправок ∆X(k):

X(k) W 1(X(k)) F(X(k)),

21

где W-1 – матрица, обратная матрице Якоби.

Окончательно формула последовательных приближений метода Ньютона решения системы нелинейных уравнений в матричной форме имеет

вид X(k 1) X(k) W 1(X (k)) F(X(k)).

Достаточные условия сходимости для общего случая имеют очень сложный вид и на практике проверяются редко. Нужно отметить, что метод сходится очень быстро (за 3 – 5 итераций), если det|W| 0 и начальное приближение X(0) выбрано близким к решению (отличаются не более чем на

10%).

Алгоритм решения методом Ньютона состоит в следующем:

1.Задается размерность системы n, требуемая точность ε, начальное приближенное решение X = (xi)n.

2.Вычисляются элементы матрицы ЯкобиИW = ( i xj)n,n.

3.Вычисляется обратная матрица W-1.Д

22

5.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), на-

зывается обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Общий вид дифференциального уравнения:

F(x,y,y ,y ,...,y(n)) 0,

где n – наивысший порядок производной, определяет порядок уравнения. Решением ОДУ называется функция y = y(x), которая после ее подста-

новки в уравнение обращает его в тождество.

i 1,n. Эти значения определяютсябАиз n дополнительных условий. В качестве таких условий могутиыть заданы значения функции и ее производных при некоторых значен ях аргумента x, иначе говоря, в некоторых точках.

В зависимостиСот того, как заданы эти дополнительные условия, выделяют 2 типа задач:

Задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому они называются начальными условиями.

Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке, обычно в начальной и конечной. Условия в этом случае называются краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только при решении ОДУ с порядком выше первого.

Разработано множество методов решения подобных задач:

1. Графические методы. Например, метод изоклин − путем графических построений находят точки исходной функции и строят ее график.

2. Аналитические методы позволяют получить формулу исходной функции путем аналитических преобразований.

3. Приближенные методы позволяют получить приближенное аналитическое решение в результате принятых упрощений. К приближенным относятся асимптотические методы и метод малых возмущений.

23