1093

Окончание табл. 2.23

2.4.2.Применение математических критериев, сводящих риск

кдопустимому уровню, в процессе принятиярешений

Процесс принятия решений заключается в выборе последовательности действий (альтернативы) для перевода объекта управления из состояния в текущий момент времени в желаемое состояние. Реализация той или иной альтернативы приводит к различным исходам (состояниям объекта). Задача принятия решений в условиях риска возникает в тех случаях, когда с каждым принимаемым решением связано множество исходов. Рассмотрим методы принятия решения, соответствующие наиболее простому дискретному случаю, когда число принимаемых решений равно m: xi, i=1, 2,..., m; а число возможных вероятностных исходов равно n: sj возможные исходы с вероятностями P(sj/xi), j = 1, ..., n; i = 1, ..., m. Интерес представляет случай, когда удаетсяоценитьполезностьuij = f(xi,sj)исходаsj припринятиирешенияxi.

Рассмотрим принцип поиска оптимального решения в сформулированных условиях, используя критерий ожидаемого значения.

Критерий ожидаемого значения используется, если необходимо максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчетные формулы.

Математически это выглядит так: пусть X это случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX.

Если х1, х2, ..., хn значения случайной величины (СВ) X, то среднее арифметическое их значений

х х1 х2 ... хn n

имеет дисперсию (дисперсия показывает, насколько в среднем отличаются

значения случайной величины от среднего значения) DX . n

Таким образом, при n → ∞, DX → 0 и x → МХ. n

При достаточно большом объеме выборки разница между средним арифметическим и математическими ожиданиями стремится к нулю. Следовательно, использование критерия ожидаемого значения возможно только в случае, когда одно и то же решение приходится применять достаточно большое число раз. Для решений, которые приходится принимать небольшое число раз, критерий будет давать неверные результаты.

Пример: необходимо принять решение о том, когда нужно проводить профилактический ремонт парка автотехники (АТ) строительно-монтажного управления (СМУ), чтобы минимизировать потери из-за случайных поломок. Поскольку невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что единица АТ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент риска.

Математически это выглядит следующим образом: единица АТ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через Т интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n единиц АТ. Требуется определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных единиц автотехники и проведение профилактического ремонта в расчете на один интервал времени.

Пусть pt вероятность выхода из строя одной единицы AT в момент t; nt случайная величина, равная числу всех вышедших из строя единиц AT в один и тот же момент; C1 затраты на ремонт неисправной единицы AT; С2 затраты на профилактический ремонт одной единицыAT.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправданно, если автотехника работает в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

Т 1

С1 M(n1) C2 n

ОЗ t 1 , (2.32)

T

где M(nt) математическое ожидание числа вышедших из строя единиц AT в момент t.

M(nt) = npt.

Таким образом,

T

Необходимые условия оптимальности Т* имеют вид

ОЗ(Т* 1) ≥ ОЗ(Т*);

ОЗ(Т*+1) ≥ ОЗ(Т*).

Следовательно, начиная с малого значения Т вычисляют ОЗ(Т), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности; т.е. будет найден такой момент времени Т, что затраты и в предшествующий ему период, и в последующий будут превосходить ожидаемые затраты в период Т* .

Пример: необходимо принять решение о проведении профилактического ремонта парка из 50 машин, чтобы минимизировать потери от неисправностей при условии, что затраты на ремонт неисправной единицы C1 = 100, затраты на профилактический ремонт одной единицы техники составляют С2 = 10; а вероятности выхода из строя одной единицы рt в момент времени t приведены во втором столбце табл. 2.24.

Таблица 2.24

Схема определения оптимального значения Т* для критерия «Ожидаемое значение»

При Т = 3 ОЗ(Т*) = 366,7. Следовательно, профилактический ремонт необходимо делать через Т* = 3 интервала времени.

Задания для выполнения

Принять решение о проведении профилактического ремонта парка из 40 машин, чтобы минимизировать потери от неисправностей при условии: затраты на ремонт неисправной единицы С1, затраты на профилактический ремонт одной единицы техники С2, вероятности выхода из строя одной единицы pt в момент времени t приведены в табл. 2.25 для каждого варианта.

Таблица 2.25

Исходные данные повариантам

2.4.3. Применение математических критериев для оценки рисков в условиях неопределенности

Данные, необходимые для принятия решения в условиях неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы возможным состояниям системы.

Пусть, например, из некоторого материала требуется построить здание, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь здание из данного материала.

Варианты решения таковы:

Еl выбор размеров из соображений максимальной долговечности; Еm выбор размеровиз соображений минимальной долговечности; Ei промежуточные решения.

Условия, требующие рассмотрения, таковы:

Fl условия, обеспечивающие максимальную долговечность;

Fn условия, обеспечивающие минимальную долговечность; Fj промежуточные условия.

Под результатом решения еij будем понимать оценку, соответствующую варианту Ei и условиям Fj и характеризующую прибыль, полезность или надежность. В дальнейшем будем называть такой результат полезностью реше-

Для того чтобы прийти к однозначному и, по возможности, наиболее выгодному варианту решения, необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений eij сводится к одному столбцу. Каждому варианту Ei приписывается некоторый результат eir, характеризующий все последствия этого решения, представленные в табл. 2.27.

Таблица 2.27

Исходные данные и результаты решения

Пример: при производстве строительных материалов сложной конфигурации (или при единичном производстве) необходимо периодически приостанавливать обработку заготовок и проверять промежуточный результат на соответствие необходимым размерам (допуски, припуски и т.д.). Приостановка в обработке приводит к определенным экономическим издержкам. В случае же, если несоответствие размеров вовремя обнаружено не будет, возможна потеря и некоторой части сырья, что приведет к еще большим убыткам.

В рассматриваемом примере критерий Байеса-Лапласа, в предположении, что все состояния равновероятны P(Fj) = qj = 0,33, рекомендует отказаться от проверки.

Из требований, предъявляемых к критериям, следует, что из-за жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов волевым методом выбирают окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Задания для выполнения

Принять решение о проведении проверки соответствия заготовок стандартам, используя изложенные выше критерии и минимизируя экономические издержки, если варианты решения имеют вид:

Е1 полная проверка; Е2 минимальнаяпроверка; Е3 отказ от проверки, а проверяемое изделие может находиться в следующих состояниях:

F1 несоответствие отсутствует; F2 несоответствие есть, но есть возможность исправить ошибку; F3 требуется переделка.

Издержки еij, соответствующие варианту решения Ei и условиям Fj, приведены в вариантах заданий (табл. 2.28). Необходимые дополнительные параметры для критериев брать такие же, как и в рассмотренном вышепримере.

Таблица 2.28

Исходные данныеповариантам