1093
.pdfВиды сырья |
Запасы сы- |
Расход материалов на единицу продукции |
|
|
рья |
А |
Б |
|
|
|
|
Пиломатериал |
19 м3 |
2 м3 |
3 м3 |
Гвозди |
13 кг |
2 кг |
1 кг |
Олифа |
15 кг |
0 |
3 кг |
Краска |
18 кг |
3 кг |
0 |
|
|
|
|
Доход |
7 руб. |
5 руб. |
|
|
|
|
|
Количество продукции А обозначим через х1, количество продукции Б
– через х2. На основании предыдущих изложений ограничения-неравенства и линейная форма примут вид
х1 |
≥ 0; |
х1 |
≥ 0; |
х2 |
≥ 0; |
х2 |
≥ 0; |
2x1 + 3x2 ≤ 192 ; |
19 2х1 3х2 ≥ 0; |
||
2x1 + x2 ≤ 13; |
13 2х1 х2 ≥ 0; |
||
3x2 ≤ 15; |
15 3х2 ≥ 0; |
||
3x1 ≤ 18; |
18 3х1 ≥ 0. |
||
F = 7х1 + 5х2 .
Введем на плоскости прямоугольную систему координат х10х2.
Если неравенства заменить равенствами и нанести прямые, соответствующие данным уравнениям, на систему координат, то получим выпуклый многоугольник, который называется многоугольником решений данной системы неравенств (рис. 2.10).
Рассмотрим форму F = 7х1 + 5х2. Приравнивая значение формы к величине С (7х1 + 5х2 = С) и меняя значение С, получим различные прямые, которые параллельны между собой. Перемещая эту прямую параллельно самой себе до одной из крайних точек многоугольника, мы можем найти оптимальное (экстремальное) решение. Оптимальное решение достигается в точке М (5, 3), т.е. х1 = 5; х2 = 3. Значение формы при этом будет равно
F = 7 5 + 5 3 = 50.
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
(III |
|
5 |
|
|
М (5, 3) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Многоугольник ре- |
|
|||
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 9 |
x1 |
|
(F |
|
(IV |
(II) |
|
(I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10. Многоугольник решений системы неравенств |
|
||||||
Таким образом, для наиболее рационального плана использования сырья, гарантирующего предприятию наибольший доход, следует выпускать 5 ед. продукции А и 3 ед. продукции Б. При этом пиломатериал и гвозди используются полностью, а олифа и краска – не полностью.
19–2 5–3 3 = 0 используется весь пиломатериал; 13–2 5–1 3 = 0 используются все гвозди; 15–3 3 = 6 > 0 олифа; 18–3 5 = 3 > 0 краска.
Задача об использовании мощности оборудования. Предположим,
что предприятию задан план производства по времени и по номенклатуре: требуется за время Т выпустить N1 единиц продукции вида n1 и N2 вида n2. Каждый из видов продукции может производиться двумя машинами А и В с различными мощностями.
Исходные данные представлены в табл. 2.15.
Математическая формулировка поставленной задачи: поскольку машины А и В работают одновременно, то выполнение плана по времени будет обеспечиваться неравенствами
х1 + х2 ≤ Т; х1 + х2 ≤ Т.
Изготовлением продукции П1 машина А занята х1 ед. времени. При этом за единицу времени она производит а1 ед. продукции этого вида.
Следовательно, всего машина А изготовит а1х1 ед. продукции П1. Аналогично машина В изготовит b1x1 ед. продукции вида П1. Поэтому для обеспечения плана по номенклатуре должно выполняться равенство
а1х1 + b1x3 = N1.
|
|
|
Исходные данные |
|
|
Таблица 2.15 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тип |
Производительность |
Себестоимость |
Время работы ма- |
|||||||
машин |
машины по изготовлению |
маш.-ч по изго- |
шины по изготов- |
|
||||||
|
|
продукции |
товлению про- |
лению продукции |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
дукции |
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
П2 |
П1 |
|
П2 |
П1 |
|
П2 |
|
А |
а1 |
|
а2 |
α1 |
|
α2 |
х1 |
|
х2 |
|
В |
b1 |
|
b2 |
β1 |
|
β2 |
х3 |
|
х4 |
|
Примечание: а1, a2, b1, b2 – производительность машин по изготовлению продукции П1 и П2; α1, α2, β1, β2 цена единицы рабочего времени; х1, х2, х3, х4 – время работы машины по изготовлению продукции П1 и П2.
Для обеспечения плана выпуска продукции П2 необходимо удовлетворить равенство а2x2 + b2x4 = N2.
В итоге приходим к следующей математической задаче
x1 + х2 ≤ Т; x3 + х4 ≤ Т; a1х1 + b1x3 = N1; a2x2 + b2x4 = N2.
Линейная форма: F = α1x1 + α2x2 + β1x3 + β2x4.
Требуется среди всех неотрицательных решений системы найти такое, при котором линейная форма принимает наименьшее значение.
Пример: строительному управлению необходимо выполнить земляные работы по рытью котлованов в объеме 30 м3 и рытью траншей в объеме 96 м3. В распоряжении строительного управления имеется два типа машин – экскаватор-драглайн и экскаватор-обратная лопата. Время работы машин – 6 часов. Производительность каждой машины и себестоимость машиночаса находим в справочных источниках (табл. 2.16).
|
|
|
Исходные данные |
|
Таблица 2.16 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тип ма- |
Производительность |
Себестоимость |
Время работы |
||||||
машин по рытью |
маш.-ч по рытью |
машины по рытью |
|||||||
шин |
|||||||||
котлованов |
траншей |
котлованов |
траншей |
котлованов |
траншей |
||||
|
|||||||||
Драглайн |
6 |
|
24 |
4 |
47 |
х1 |
|
х2 |
|
Обратная |
13 |
|
13 |
13 |
26 |
х3 |
|
х4 |
|
лопата |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Система ограничений и форма F примут вид |
|
|
|
||||||
х1 + х2 ≤ 6 |
время работы драглайна; |
|
|
|
|
||||
х3 + х4 ≤ 6 время работы обратной лопаты;
6х1 + 13х3 = 30 |
общий объем работы по рытью котлованов; |
|
24х2 + 13х4 = 96 |
общий объем работы по рытью траншей. |
|
Выразим из ограничений-равенств х3 |
и х4 через х1 и х2: |
|
|
х3 = (30 6х1)/13; х4 |
= (96 24х2)/13. |
Подставим в левую часть исходных ограничений-неравенств и в форму F полученные выше выражения:
(30 6х1)/13 + (96 24х2)/13 ≤ 6;
F = 4х1 + 47х2 + (30 6х1) + 2(96 24х2).
После алгебраических преобразований получим
х1 + 4х2 ≥ 8;
F = 222 2х1 – х2.
Требование неотрицательности х3 и х4 эквивалентно неравенствам
(30 |
6х1)/13 ≥ 0 |
х1 ≤ 5; |
(96 |
24х2)/13 ≥ 0 |
х2 ≤ 4. |
Учитывая исходное неравенство х1 + х2 ≤ 6 и неотрицательность всех величин, получим
|
|
|
|
х1 ≥ 0; |
х2 ≥ 0; |
|
|
|
х1 ≤ 5; |
|
х2 ≤ 4; |
|
|||
х1 + х2 ≤ 6; |
х1 + 4х2 ≥ 8; |
|
F = 222 2х1 – х2. |
|
|||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
К (5, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
||||
1 |
2 3 |
4 5 |
6 |
7 8 9 |
|
||||||||||
|
|
|
|
(F) |
|
|
(III) |
|
(V) |
|
(VI) |
|
|
||
РИС. 2.11. МНОГОУГОЛЬНИК РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
Введем на плоскости систему координат х10х2 и вычертим многоугольник решений системы (рис. 2.11). Наименьшее значение F достигается в точке К (5,1).
Fmin = 222 – 2 5 – 1 = 211;
х3 = (30 – 6 5)/13 = 0;
х4 = (96 – 24 1)/13 = 72/13.
Экономический смысл полученного решения: определили рациональное время работы каждой машины по выполнению того или иного вида работы.
На рытье котлованов экскаватор-драглайн должен работать 5 часов, экскаватор-обратная лопата работать не должен. На рытье траншей экска- ватор-драглайн должен работать 1 час, экскаватор-обратная лопата 72/13 часа. Объем выполненных работ составит:
по рытью котлованов: 6х1 + 13х3 = 6 5 + 0 = 30 (м3);
по рытью траншей: 24х2 + 13х4 = 24 1 + 13 72/13 = 96 (м3), т.е.
объем работ по номенклатуре и по времени выполнен.
2.2.3. Задачаоптимизациираспределениябригад пообъектамстроительства
Задача распределения трудовых ресурсов в общем виде определяется следующими условиями: существует ряд работ (или объектов), для выполнения которых можно привлекать различные бригады. Каждая бригада характеризуется заданной мощностью (численностью и интенсивностью труда), суммарной мощности достаточно для выполнения работ.
Рациональное распределение трудовых ресурсов, при котором достигается максимум общей эффективности системы, обеспечивается расстановкой бригад по объектам годовой программы строительной организации с учетом непрерывной загрузки в течение планового периода и минимальной разности между мощностями объекта и бригады. Загрузка бригад планируется на основе графиков движения их по объектам. При построении графиков необходимо учитывать требования:
1)неделимость бригады как первичного производственного коллектива;
2)соблюдение основных принципов поточной организации производства (непрерывность ведения работ, соблюдение технологической взаимосвязи
ипоследовательность выполнения работ);
3)выполнение производственной программы в заданный период при условии обеспечения объектов необходимыми ресурсами.
Предлагаемая модель оптимального распределения ресурсов строительной организации предназначена для различных производственных ситуаций календарного планирования. Введем условные обозначения:
i– индекс бригады (i = 1, 2, …, m);
j– индекс объекта (j = 1, 2, …, n);
xij – время работы i-й бригады на j-м объекте;
Qj – объем работ на j-м объекте;
Pij – выработка i-й бригады на j-м объекте;
Ti – ресурс рабочего времени i-й бригады в планируемом периоде; aki – затраты ресурса вида k в единицу времени работы i-й бригады; bk – запас ресурса вида k (k = 1, …, K);
K – количество различных видов ресурсов.
Планирование осуществляется на текущий период.
Целевая функция представляет собой минимизацию недоиспользованных ресурсов бригад:
n m |
Q |
|
|
min, |
(2.16) |
y P x |
|
|
|||
j 1 i 1 i ij |
|
j |
|
|
|
т.к. Qj = const, то (1.1) примет вид |
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
y Pi xij min. |
(2.17) |
||||
j 1i 1 |
|
|
|
|
|
Первая группа ограничений – требование выполнения производственной программы по всем объектам:
m |
j 1,n . |
|
Pi xij Qj |
(2.18) |
i 1
Вторая группа ограничений – требование выполнения производственной программы по ресурсам:
n |
|
|
|
|
|
|
|
xij |
Ti |
i 1, m ; |
(2.19) |
||||
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
m n |
|
|
|
|
|
|
|
aki xij |
bk |
(k 1, K; xij 0). |
(2.20) |
||||
i 1j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример: составить график движения четырех бригад каменщиков по десяти объектам строительства, используя в качестве исходных данных материалы производственного плана строительно-монтажного управления, приведенные в табл. 2.17.
Целевая функция – минимизация суммарных недоиспользованных ресурсов по объемам работ:
у= 32,5х11 + 28,6х21 + 19,2х31 + 27х41 + 32,5х12 + 28,6х22 + 19,2х32 + 27х42 + 32,5х13 + 28,6х23 + 19,2х33 + 27х43 + 32,5х14 + 28,6х24 + 19,2х34 + 27х44 + 32,5х15 + 28,6х25 + 19,2х35 + 27х45 +
32,5х16 + 28,6х26 + 19,2х36 + 27х46 |
+ |
32,5х17 + 28,6х27 + 19,2х37 + 27х47 |
+ |
32,5х18 + 28,6х28 + 19,2х38 + 27х48 |
+ |
32,5х19 + 28,6х29 + 19,2х39 + 27х49 |
+ |
32,5х110 + 28,6х210 + 19,2х310 + 27х410 . |
|
|
|
Исходныеданные |
|
Таблица2.17 |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Бригады |
Выработка |
|
Затраты ре- |
|
Объекты |
Объем ра- |
|
бригады за 1 |
|
сурсов (кир- |
|
строительст- |
бот на объ- |
|
|
i = 1, …, 4 |
|
|
|
||||
день, Pi, |
|
пич) за 1 |
|
ва |
екте Qj, м3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
i = 1, …, 4 м3 |
|
день, ak ,м3 |
|
j = 1, …, 10 |
|
|
1 |
32,5 |
|
12,81 |
|
1 |
5200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
28,6 |
|
11,27 |
|
2 |
3528 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
19,2 |
|
7,57 |
|
3 |
2800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
27 |
|
10,64 |
|
4 |
1065 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− |
|
5 |
1100 |
|
− |
− |
|
− |
|
6 |
2100 |
|
− |
− |
|
− |
|
7 |
660 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− |
|
8 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− |
|
9 |
3371 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
− |
|
10 |
2670 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Время работы (дней) |
|
256 |
|
Запас кирпи- |
11000,5 |
|
|
|
|
|
|
|
ча |
|
|
Ограничения: |
|
|
|
|
|
|
|
по объемам производственной программы |
|
|
|||||
|
32,5х11 + 28,6х21 + 19,2х31 + 27х41 ≥ 5200; |
|
|
||||
|
32,5х12 + 28,6х22 + 19,2х32 + 27х42 ≥ 3528; |
|
|
||||
|
32,5х13 + 28,6х23 + 19,2х33 + 27х43 ≥ 2800; |
|
|
||||
|
32,5х14 + 28,6х24 + 19,2х34 + 27х44 ≥ 1065; |
|
|
||||
|
32,5х15 + 28,6х25 + 19,2х35 + 27х45 ≥ 1100; |
|
|
||||
|
32,5х16 + 28,6х26 + 19,2х36 + 27х46 ≥ 2100; |
|
|
||||
|
32,5х17 + 28,6х27 + 19,2х37 + 27х47 ≥ 660; |
|
|
||||
|
32,5х18 + 28,6х28 + 19,2х38 + 27х48 ≥ 90; |
|
|
||||
|
32,5х19 + 28,6х29 + 19,2х39 + 27х49 ≥ 3371; |
|
|
||||
32,5х110 + 28,6х210 + 19,2х310 + 27х410 ≥ 2670;
по ресурсам рабочего времени бригад
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 + х16 + х17 + х18 + х19 + х110 ≤ 256; х21 + х22 + х23 + х24 + х25 + х26 + х27 + х28 + х29 + х210 ≤ 256; х31 + х32 + х33 + х34 + х35 + х36 + х37 + х38 + х39 + х310 ≤ 256; х41 + х42 + х43 + х44 + х45 + х46 + х47 + х48 + х49 + х410 ≤ 256;
по материальным ресурсам (кирпич)
12,81х11 + 11,27х21 + 7,57х31 + 10,64х41 + 12,81х12 + 11,27х22 + 7,57х32 + 10,64х42 + 12,81х13 + 11,27х23 + 7,57х33 + 10,64х43 + 12,81х14 + 11,27х24 + 7,57х34 + 10,64х44 + 12,81х15 + 11,27х25 + 7,57х35 + 10,64х45 + 12,81х16 + 11,27х26 + 7,57х36 + 10,64х46 + 12,81х17 + 11,27х27 + 7,57х37 + 10,64х47 + 12,81х18 + 11,27х28 + 7,57х38 + 10,64х48 + 12,81х19 + 11,27х29 + 7,57х39 + 10,64х49 +
12,81х110 + 11,27х210 + 7,57х310 + 10,64х410 ≤ 11000,5 .
Результаты решения задачи получены с помощью ЭВМ (в связи с большим количеством переменных) (табл. 2.18).
Таблица 2.18
Результаты решения
х11 = 0 |
х21 = 0 |
х31 = 94,584 |
х41 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
125,334 |
|
|
|
|
|
|
|||
х12 = 0 |
х22 = 0 |
х32 = 0 |
х42 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
130,667 |
|
х13 = 0 |
х23 = 0 |
х33 = 119,792 |
х43 = 0 |
||||
х14 = 32,77 |
х24 = 0 |
х34 = 0 |
х44 = 0 |
||||
х15 = 33,847 |
х25 = 0 |
х35 = 0 |
х45 = 0 |
||||
х16 |
= 64,616 |
х26 |
= 0 |
х36 |
= 0 |
х46 = 0 |
|
х17 |
= 20,308 |
х27 |
= 0 |
х37 |
= 0 |
х47 = 0 |
|
х18 |
= 0 |
х28 = 3,147 |
х38 |
= 0 |
х48 |
= 0 |
|
х19 |
= 0 |
х29 |
= 117,868 |
х39 |
= 0 |
х49 |
= 0 |
х110 = 0 |
х210 = 93,357 |
х310 = 0 |
х410 = 0 |
||||
Задания для выполнения
1. Записать целевую функцию для нахождения графика движения двух
бригад каменщиков по трем объектам строительства.
2. Записать систему ограничений. Какие изменения произойдут в модели, если будут использоваться два материала? Исходные данные приведены в табл. 2.19.
Таблица 2.19
Исходные данные
|
|
Выработка |
Затраты |
Затраты |
|
Объем |
||
Вари- |
Бригада |
кирпича |
раствора |
Объекты |
работ |
|||
бригады за |
||||||||
ант |
|
1 день, м |
3 |
за 1 день, |
за 1 |
|
на объ- |
|
|
|
|
а1k, м3 |
день, |
|
екте, Qj, |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
а2k, м3 |
|
м3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
1 |
11,2 |
|
32 |
13,8 |
1 |
1100 |
|
2 |
12,1 |
|
30 |
11,9 |
2 |
890 |
||
|
− |
− |
|
− |
− |
3 |
1300 |
|
|
Время ра- |
128 |
|
Запас |
10000 |
Запас |
7800 |
|
|
боты |
|
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
|
(дней) |
|
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
|
2 |
1 |
52 |
|
20 |
11,2 |
1 |
590 |
|
2 |
44 |
|
18 |
10,1 |
2 |
980 |
||
|
− |
− |
|
− |
− |
3 |
720 |
|
|
Время |
256 |
|
Запас |
9800 |
Запас |
4570 |
|
|
работы |
|
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
|
(дней) |
|
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
|
3 |
1 |
34 |
|
18 |
12 |
1 |
3400 |
|
2 |
23 |
|
16 |
14,5 |
2 |
2350 |
||
|
− |
− |
|
− |
− |
3 |
3210 |
|
|
Время |
572 |
|
Запас |
8700 |
Запас |
1300 |
|
|
работы |
|
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
|
(дней) |
|
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
|
4 |
1 |
27,5 |
|
11,7 |
7,2 |
1 |
7900 |
|
2 |
23,7 |
|
13,9 |
6,7 |
2 |
9700 |
||
|
− |
− |
|
− |
− |
3 |
5600 |
|
|
Время |
480 |
Запас |
14500 |
Запас |
7500 |
|
работы |
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
(дней) |
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
|
1 |
46 |
24 |
10,5 |
1 |
4200 |
5 |
2 |
38,5 |
19 |
9,6 |
2 |
5700 |
− |
− |
− |
− |
3 |
6300 |
|
|
Время |
130 |
Запас |
25000 |
Запас |
11200 |
|
работы |
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
(дней) |
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
6 |
1 |
42 |
12,3 |
5,3 |
1 |
2400 |
2 |
28 |
10,9 |
7,3 |
2 |
1200 |
|
|
− |
− |
− |
− |
3 |
8900 |
|
Время |
178 |
Запас |
29000 |
Запас |
13700 |
|
работы |
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
(дней) |
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
7 |
1 |
60 |
23,1 |
11,4 |
1 |
1200 |
2 |
45,6 |
18,7 |
10,7 |
2 |
2500 |
|
|
− |
− |
− |
− |
3 |
5000 |
|
Время |
190 |
Запас |
20000 |
Запас |
5900 |
|
работы |
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
(дней) |
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
8 |
1 |
38,2 |
14,8 |
7,8 |
1 |
3400 |
2 |
29,6 |
12,6 |
6,42 |
2 |
2750 |
|
|
− |
− |
− |
− |
3 |
3900 |
|
Время |
380 |
Запас |
18900 |
Запас |
6480 |
|
работы |
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
(дней) |
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
|
|
|
табл. 2.19 |
|
Продолжение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
1 |
28 |
12,1 |
3,7 |
1 |
5700 |
2 |
19,8 |
14 |
4,75 |
2 |
6700 |
|
|
− |
− |
− |
− |
3 |
4960 |
|
Время |
365 |
Запас |
21000 |
Запас |
8900 |
|
работы |
|
кирпича, |
|
раство- |
|
|
(дней) |
|
м3 |
|
ра, м3 |
|
10 |
1 |
68,4 |
32,2 |
18,9 |
1 |
4300 |
2 |
58 |
34 |
17,4 |
2 |
2760 |
|
|
− |
− |
− |
− |
3 |
3900 |