1093
.pdfYj f (x) , |
(1.8) |
где Yj (j = 1, …, m) – изучаемый результирующий показатель; |
x – вектор |
входных параметров; величина ξ ассоциируется со случайным воздействием не поддающихся контролю и не учитываемых факторов.
Различают парный и множественный корреляционно-регрессионный анализ. Парный используется для установления характера и тесноты связи двух признаков – Xi и Yi.
Наиболее часто применяются следующие зависимости:
линейная y = a + bx;
гиперболическая y = a + b/x;
логарифмическая y = a + b lnx;
квадратическая парабола y = a + bx + cx2;
кубическая парабола y = a + bx + cx2 + dx3.
Множественный анализ изучает силу и характеристику совокупного воздействия нескольких факторов Xi (i = 1, …, n) на результирующий пока-
затель Yi.
Модели могут быть линейными и нелинейными, учитывающими раздельное влияние факторов и их взаимодействие:
Y = a + bx1 + cx2 – dx3;
Y a bx cx |
2 |
dx2 |
cx x |
2 |
и т. д. |
1 |
2 |
1 |
|
Качество модели и ее анализ зависят от достоверности и полноты ис-
ходных данных и соблюдения требований корреляционно-регрессивного
анализа. Кроме того, данные должны отвечать требованиям случайности
выборок, стохастической независимости наблюдений в них; они соот-
ветствуют значениям нормального закона распределения неколлинеар-
ности (отсутствие тесной взаимозависимости) включаемых в модель
факторов.
Математическая модель и статистические оценки должны отвечать определенной вероятности P (доверительному уровню, уровню значимости
α = 1 P). Обычно требуется, чтобы было α ≤ 0,05; а P ≥ 0,95, при которых связь признается значимой, а модель − адекватной реальности.
Модель характеризуется рядом статистических оценок. Так, теснотой связей Y и X в линейной модели оценивается коэффициентом парной корреляции r; то же в нелинейной модели – корреляционным отношением η; то же в многофакторной модели – коэффициентом множественной корреляции R. Абсолютное значение оценок измеряется от 0 (отсутствие связи) до 1 (абсолютная, детерминированная связь). Долю влияния вошедших в модель факторов на показатель Y ориентировочно оценивают коэффициентами децентрализации r2, η2, R2.
2.ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ВУПРАВЛЕНИИ СТРОИТЕЛЬСТВОМ
Математические методы – это методы количественной оценки влияния производственных факторов на результаты деятельности организаций, позволяющие найти близкие к оптимальным решения в реализации строительных проектов (СП). Задачи математических методов: позволяют разработать организационно-технологические схемы реализации СП; вести управление с использованием решений, разработанных с применением ЭВМ; дать анализ производственной деятельности организаций, участвующих в реализации СП.
Основой использования математических методов при реализации СП являются математические модели.
Модель – это удобное, упрощенное представление существенно важных характеристик объекта (академик Чернов).
Чаще всего модели строятся для нахождения наилучших (оптимальных)
параметров объекта, имитации протекания процесса при различных па-
раметрах. В результате анализа модели становится возможным прогно-
зирование поведения характеристик объекта при изменении тех или иных параметров системы.
Необходимо помнить:
1.Никакая модель не может быть полным отображением последующего объекта.
2.Модель должна отображать лишь существенные черты объекта в более простом виде.
Количество факторов, включенных в модель, свидетельствует о степени приближения ее к реальной действительности.
Классификация моделей:
1.Наглядное моделирование – осуществляется на макетах или объемных моделях, которые передают внешний вид объекта, помогают правильно установить сложные технологические связи.
2.Физическое моделирование – связано с отображением изучаемого объекта с помощью физических процессов. Основано на том, что характер изменения параметра модели может отражать характер динамического процесса в экономике.
3.Информационное моделирование – основано на использовании различных графических и математических методов для выражения определенной информации и процессов ее преобразования.
4.Графические модели – таблицы, матрицы, графики (линейные, циклограммы, сетевые модели).
Экономико-математические модели решаются различными математическими методами и выражаются в виде алгебраических уравнений (неравенств). Если экономические явления носят статический характер, то эко- номико-математические модели линейные. Если экономические явления рассматривают в динамике, то модели интегральные или дифференциальные.
Вматематических формулах величины могут быть:
постоянные – в изучаемом вопросе сохраняют одно и то же значение;
переменные – которые в изучаемом вопросе принимают различные значения (меняются во времени и пространстве).
Переменные в свою очередь делятся на непрерывные (время) и дискретные (цены, количество рабочих, механизмов и т.д.).
Формулы, описывающие математические модели:
1. Линейная зависимость: y = a + bx, где b – угловой коэффициент пря-
мой (рис. 2.1, а).
Издержки |
|
Объем |
|
|
y = a + |
x/a + y/b |
|||
производ- |
запаса |
|||
|
|
|||
ства |
|
гравия, м3 |
|
Объем выпус- |
Время рас- |
каемой про- |
хода гра- |
дукции, м3 |
вия, дни |
а |
б |
Себестои-
мость
1м3 сборно-
в
y = ax y
a <
д
y = a + bx + cx2
y = 1/x |
y |
y = a + b/x |
|
Объем |
|
|
выпуска |
|
|
изделий, м3 |
х |
|
|
г |
|
|
y |
|
y = |
y = a + |
|
blg(x) |
||
|
a >
x
x
е
Рис. 2.1. Графическое представление математических моделей
2. Уравнение прямой в «отрезках» одна из разновидностей линейной
функции: x y 1 (рис. 2.1, б). a b
3. Гиперболическая функция: y a |
b |
(рис. 2.1, в). |
|
x |
|||
|
|
4.Параболическая зависимость: y = a + bx + cx2 (рис. 2.1, г).
5.Показательная функция: у = ах (рис. 2.1, д).
6.Логарифмическая зависимость: у = а + b ∙ lg x (рис. 2.1, е).
2.1. Корреляционный анализ в строительной организации
Методы теории корреляции позволяют определить количественную зависимость между различными техническими, организационными и экономическими факторами. При построении моделей обычно используют два вида зависимостей: функциональную и корреляционную.
Функциональная – зависимость, при которой изменение одного фактора вызывает изменение другого (линейная, степенная, логарифмическая) и одному значению зависимого фактора соответствует только одно значение независимого.
Корреляционная – зависимость, при которой изменение одной случайной
величины вызывает изменение среднего значения другой, конкретных
значений может быть несколько. Корреляция имеет место только при
обработке большого количества наблюдений.
y |
|
|
y4 |
Поле |
|
y3 |
||
корреля- |
||
y2 |
||
ции |
||
y1 |
||
|
||
x |
x |
|
Рис. 2.2. Поле корреляции |
||
y |
|
|
Производительность труда |
|
|
Точки на поле – это статистическая информация, которая не подвергалась какой-либо обработке.
Корреляционное поле – нанесенные на график в масштабе точки, соответствующие одновременно значениям двух величин (рис. 2.2).
Эмпирическая линия рег-
Теоретическая линия регрессии (описывается математической
Дн x
Рис. 2.3. Теоретическая и эмпирическая линии Теоретическая линия регрессии – переход от более сложной формы к
более простой. Она показывает, как в среднем изменяется у с изменением х
(рис.2.3).
При корреляционном анализе решаются следующие задачи:
1) устанавливается наличие корреляции (связи) между величинами;
2)устанавливается форма линии регрессии;
3)определяются параметры линии регрессии (формула);
4)оценивается достоверность установленной зависимости.
2.1.1. Оценка корреляционного поля
|
|
Чем больше отношение продольной сто- |
|
|
|
|
|
||||||
роны поля к короткой стороне, тем связь ме- |
|
|
|
|
|
||||||||
жду точками теснее |
(ближе к прямой): |
y |
|||||||||||
|
L |
max (рис. 2.4). Теснота связи характери- |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
||||||
зуется коэффициентом корреляции r. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
L |
|
|
|
|||||||||
|
|
Коэффициент корреляции лежит в преде- |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
лах |
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
0 |
|
r |
|
1; |
1 r 1. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 2.4. Связь между |
|||||||||
r = 0 – корреляционной зависимости нет; r = 1 |
|||||||||||||
точками на поле корре- |
|||||||||||||
– зависимость функциональная; r > 0 – связь |
|
|
|
|
|
||||||||
прямая, с увеличением |
независимого пере- |
|
|
|
|
|
|||||||
менного увеличивается зависимое; r < 0 – связь обратная, с увеличением независимого переменного уменьшается зависимое.
Косвенно наличие связи можно определить по форме поля корреляции:
r |
|
N yx y x |
|
, |
(2.1) |
||
|
|
|
|
|
|||
N x2 x 2 |
|
N y2 y 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
где N – количество наблюдений; x,y – значения случайных величин.
2.1.2. Метод наименьших квадратов
Суть метода заключается в том, что на поле корреляции выбирается ли-
ния, которая ближе, чем какая-либо другая, подходит к заданным эмпи-
рическим точкам. При этом сумма квадратов разностей между расчет-
ными величинами, полученными по регрессивной формуле, и зависи-
мыми величинами минимальна.
~ |
2 |
min . |
(2.2) |
S y y |
|
Определение коэффициентов а и b в случае линейной зависимости:
S y a bx 2 min ; |
(2.3) |
b |
N yx y x |
; |
(2.4) |
||||
N x2 x 2 |
|||||||
|
|
|
|||||
|
a |
y |
bx |
. |
|
(2.5) |
|
Определив коэффициенты a и b, записываем формулу линии регрессии и наносим ее на поле корреляции. Определяем коэффициент r. Если он близок к 1, значит, линейная зависимость соответствует полю корреляции. В случае, когда коэффициент r отличен от 1, линия регрессии не определяется по линейной зависимости.
При линейной зависимости коэффициент корреляции r является не только критерием тесноты связи между величинами, но и критерием аппроксимации (определяющей точность формулы, выражающей зависимость в процентном отношении).
Определение коэффициентов а и b в случае степенной зависимости:
~ |
|
b |
; |
|
|
|
|
y ax |
|
|
|
|
|||
~ |
|
|
|
|
|
||
lg y lga blg x; |
|
||||||
lga |
А |
; |
lgb |
В |
; |
(2.6) |
|
|
|
||||||
ДД
Аlg y (lgx)2 lgx (lg ylgx);
ВN (lg xlg y) lgx lg y;
ДN (lgx)2 ( lgx)2 .
Для получения коэффициента a в численном виде необходимо потенцировать выражение. Оценка точности аппроксимации криволинейной зависимости производится при помощи корреляционного отношения
|
~ |
2 |
|
|
|||
|
1 |
(y y) |
|
(0 ≤ η ≤ 1). |
(2.7) |
||
|
|
2 |
|||||
|
|
(y |
y |
) |
|
|
|
Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации ε:
|
1 |
|
|
~ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y y |
|
100% . |
(2.8) |
||
N |
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если η > r, то кривая точнее аппроксимирует зависимость. Определение коэффициентов а и b в случае логарифмической зависимости:
~y a blg x;
а А b В ;
ДД
А y (lgx)2 lgx (y lgx); |
(2.9) |
В N (ylgx) lgx y;
Д N (lgx)2 ( lgx)2.
Пример: определить зависимость между выработкой на одного рабочего и коэффициентом текучести рабочих кадров. Исходные данные см. в табл. 2.1, расчетные − в табл. 2.2 и 2.3.
Исходные данные |
Таблица 2.1 |
||
|
|
||
|
|
|
|
Выработка на одного рабочего |
Коэффициент |
текучести рабочих |
|
|
кадров |
|
|
1 |
|
2 |
|
0,15 |
|
10,3 |
|
0,18 |
|
9,6 |
|
1 |
|
2 |
|
0,19 |
|
8,9 |
|
0,44 |
|
4,7 |
|
0,35 |
|
6,3 |
|
0,28 |
|
5,4 |
|
0,23 |
|
6,5 |
|
0,36 |
|
5,1 |
|
0,42 |
|
6,2 |
|
0,26 |
|
5,3 |
|
0,23 |
|
5,8 |
|
0,37 |
|
5 |
|
0,57 |
|
5,1 |
|
0,37 |
|
4,3 |
|
0,28 |
|
4,6 |
|
0,24 |
|
6,3 |
|
0,28 |
|
7,7 |
|
Примем гипотезу о наличии линейной зависимости между показателями.
|
|
Расчетная таблица |
|
Таблица 2.2 |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
х |
у |
x∙y |
|
x2 |
y2 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
|
1 |
|
0,15 |
|
10,3 |
1,55 |
0,02 |
106,09 |
|
||
|
2 |
|
0,18 |
|
9,6 |
1,73 |
0,03 |
92,16 |
|
||
|
3 |
|
0,19 |
|
8,9 |
1,69 |
0,04 |
79,21 |
|
||
|
4 |
|
0,44 |
|
4,7 |
2,07 |
0,19 |
22,09 |
|
||
|
5 |
|
0,35 |
|
6,3 |
2,21 |
0,12 |
39,69 |
|
||
|
6 |
|
0,28 |
|
5,4 |
1,51 |
0,08 |
29,16 |
|
||
|
7 |
|
0,23 |
|
6,5 |
1,50 |
0,05 |
42,25 |
|
||
|
8 |
|
0,36 |
|
5,1 |
1,84 |
0,13 |
26,01 |
|
||
|
9 |
|
0,42 |
|
6,2 |
2,60 |
0,18 |
38,44 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание |
табл. 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|||
|
10 |
|
0,26 |
|
5,3 |
1,38 |
0,07 |
28,09 |
|
||
|
11 |
|
0,23 |
|
5,8 |
1,33 |
0,05 |
33,64 |
|
||
|
12 |
|
0,37 |
|
5 |
1,85 |
0,14 |
25 |
|
||
|
13 |
|
0,57 |
|
5,1 |
2,91 |
0,32 |
26,01 |
|
||
|
14 |
|
0,37 |
|
4,3 |
1,59 |
0,14 |
18,49 |
|
||
|
15 |
|
0,28 |
|
4,6 |
1,29 |
0,08 |
21,16 |
|
||
|
16 |
|
0,24 |
|
6,3 |
1,51 |
0,06 |
39,69 |
|
||
|
17 |
|
0,28 |
|
7,7 |
2,16 |
0,08 |
59,29 |
|
||
|
∑ |
|
5,2 |
|
107,1 |
30,70 |
1,78 |
726,47 |
|
||
|
|
y |
6,3; |
|
x |
0,3; |
а = 9,6; |
b = 10,99. |
|||
Искомое уравнение |
у = 9,6 10,99 х, а коэффициент корреляции |
||||||||||
r = 0,66.
Рассчитаем коэффициент аппроксимации для степенной зависимости.
|
|
|
Расчетная таблица |
|
Таблица 2.3 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
х |
у |
|
lgx |
lgx2 |
|
lgy |
lgx∙lgy |
|
1 |
0,15 |
10,3 |
|
-0,82 |
0,68 |
|
1,01 |
-0,83 |
|
2 |
0,18 |
9,6 |
|
-0,74 |
0,55 |
|
0,98 |
-0,73 |
|
3 |
0,19 |
8,9 |
|
-0,72 |
0,52 |
|
0,95 |
-0,68 |
|
4 |
0,44 |
4,7 |
|
-0,36 |
0,13 |
|
0,67 |
-0,24 |
|
5 |
0,35 |
6,3 |
|
-0,46 |
0,21 |
|
0,80 |
-0,36 |
|
6 |
0,28 |
5,4 |
|
-0,55 |
0,31 |
|
0,73 |
-0,40 |
|
7 |
0,23 |
6,5 |
|
-0,64 |
0,41 |
|
0,81 |
-0,52 |
|
8 |
0,36 |
5,1 |
|
-0,44 |
0,20 |
|
0,71 |
-0,31 |
|
9 |
0,42 |
6,2 |
|
-0,38 |
0,14 |
|
0,79 |
-0,30 |
|
|
10 |
0,26 |
|
5,3 |
-0,59 |
|
0,34 |
|
0,72 |
|
-0,42 |
|
|
11 |
0,23 |
|
5,8 |
-0,64 |
|
0,41 |
|
0,76 |
|
-0,49 |
|
|
12 |
0,37 |
|
5 |
-0,43 |
|
0,19 |
|
0,70 |
|
-0,30 |
|
|
13 |
0,57 |
|
5,1 |
-0,24 |
|
0,06 |
|
0,71 |
|
-0,17 |
|
|
14 |
0,37 |
|
4,3 |
-0,43 |
|
0,19 |
|
0,63 |
|
-0,27 |
|
|
15 |
0,28 |
|
4,6 |
-0,55 |
|
0,31 |
|
0,66 |
|
-0,37 |
|
|
16 |
0,24 |
|
6,3 |
-0,62 |
|
0,38 |
|
0,80 |
|
-0,50 |
|
|
17 |
0,28 |
|
7,7 |
-0,55 |
|
0,31 |
|
0,89 |
|
-0,49 |
|
|
∑ |
5,2 |
|
107,1 |
-9,17 |
|
5,32 |
|
13,34 |
|
-7,40 |
|
А = 3,05; |
В = 3,52; Д = 6,31; |
lga = 0,48; |
a = 3,04; |
b = 0,56. |
||||||||
Искомое уравнение |
y = 3,04x−0,56. |
|
Отсюда η = 0,79; ε = 8,55. |
|||||||||
Поскольку η> r, зависимость между выработкой на одного рабочего и
коэффициентом текучести рабочих кадров степенная и определяется фор-
мулой y = 3,04x−0,56 (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Зависимость между выработкой на одного рабочего
икоэффициентом текучести рабочих кадров
2.2.Применение методов линейного программирования
вуправлении строительством
Методы математического программирования разработаны для нахождения оптимального решения из многообразия возможных решений.
Экономической целью задач математического программирования обыч-
но является отыскание такого плана, при реализации которого достига-
ется минимум затрат на выполнение определенного объема работ или
максимальный эффект при ограниченных ресурсах. В строительстве