1093

круг задач, решаемых методами математического программирования,

достаточно широк. Сюда относятся:

оптимальное управление запасами строительных материалов;

управление перевозками строительных материалов, конструкций, деталей;

задачи на использование мощности оборудования, на составление оптимальных смесей из разнородных материалов и т.д.

По виду математических выражений различают линейное и нелинейное

программирование. Далее будут рассмотрены методы линейного про-

граммирования, когда различные связи и ограничения выражаются ли-

нейно, уравнениями первой степени.

Основная задача линейного программирования состоит в следующем: предположим, что дана система

где m – количество линейных уравнений; n – количество неизвестных. Линейная форма относительно этих неизвестных

Требуется среди всех неотрицательных решений заданной системы найти и такое, при котором линейная форма принимает наименьшее значение.

2.2.1. Решение транспортных задач методами линейного программирования

Формулировка транспортной задачи: имеется определенное количество поставщиков и потребителей. Требуется произвести прикрепление потребителей к поставщикам таким образом, чтобы общий объем перевозочной работы был наименьшим. Введем обозначения: m – число поставщиков; n – число потребителей; Ai – количество продукции i-го поставщика; Bj – спрос j-го потребителя; xij – размер перевозок от i-го поставщика к j-

му потребителю; Cij расстояние перевозок от i-го поставщика до j-го потребителя (критерий оптимальности).

Исходные данные задачи должны соответствовать условиям:

1) общее количество продукции поставщиков равно суммарному

2)Сij ≥ 0;

3)xij ≥ 0.

При решении транспортной задачи должны быть также соблюдены условия баланса продукции у поставщика и у потребителя:

n

xij Ai;

j 1

(2.12)

m

xij Bj. i 1

Искомое решение можно представить в виде уравнения целевой функции

т.е. общий объем затрат на транспортные перевозки должен быть минимален. В решении этой задачи число уравнений будет (m+n 1). Одна из отличительных особенностей задач линейного программирования состоит в том, что число неизвестных в них превышает число уравнений.

Решение задачи – нахождение конкретного числа xij. Совокупность найденных значений неизвестных, удовлетворяющих всем ограничениям, называется допустимым решением. Если допустимое решение удовлетворяет уравнению целевой функции, оно оптимальное. Данная задача, где суммарная мощность поставщиков равнялась суммарному спросу потребителей, называется закрытой.

Наряду с этим могут быть открытые модели транспортной задачи. В них нарушен баланс – равенство мощностей и спросов:

Следовательно, ∑ Ai ≥ ∑ Bj.

Для того чтобы решить эту задачу, вводят фиктивного поставщика или фиктивного потребителя:

Показатель С, расстояние по перевозкам при решении открытой транспортной задачи, принимают равным нулю.

2.2.1.1. Распределительный метод

Имеется три поставщика и три потребителя. Объем поставок равен объему спроса. В качестве критерия оптимальности примем расстояние от поставщика Ai до потребителя Bi. Исходные данные представлены в табл. 2.4.

По этим исходным данным необходимо составить такой план распределения поставок, при котором затраты на перевозки были бы минимальными. Расчет начинается с определения первоначального или базисного распределения поставок. Существует несколько способов первоначального распределения. Рассмотрим способ «северо-западного» угла. По этому способу сравниваются сначала мощности поставщика А1 и потребителя В1. Меньшее из этих чисел (75) принимается как величина перевозки от поставщика А1 к потребителю В1.

Если мощность поставщика больше спроса, то излишек поставщика (25) передается потребителю В2. Недостающее количество поставок у потребителя В2 берется у поставщика А2. Процесс распределения продолжается до тех пор, пока не реализуются все поставки и пока не будет удовлетворен спрос потребителей. Поставки записываются в правых нижних углах соответствующих клеток таблицы. В верхних левых углах приведены критерии оптимальности (расстояние или себестоимость перевозок). Всего поставок должно быть (m n+1). Объем перевозочной работы по первоначальному варианту составит

S1 = 5 75 + 4 25 + 6 35 + 3 15 + 2 50 = 830.

Следующий этап расчета − проверка оптимальности плана. С этой це-

лью для каждой клетки, где нет поставок, строятся так называемые цепи.

Цепь представляет собой замкнутый многоугольник, одной из вершин

которого является указанная клетка, для которой строится цепь, а все

остальные вершины являются клетками, в которых имеются поставки

(рис. 2.6).

Рис. 2.6. Схемы цепей для первоначального распределения

Следует иметь в виду, что при построении цепей все углы должны быть прямыми; число вершин цепи – четное; минимальное число вершин – 4, максимальное (m+n). Каждая цепь имеет указатель клетки, для которой она построена. Критерий оптимальности клетки, для которой строится цепь, обведен квадратом, а показатели критериев оптимальности клеток, где есть поставки, – кружками. Перед показателем в квадрате ставится знак «+», перед следующим в цепи « » и т. д. Алгебраическая сумма показателей критериев оптимальности по цепи называется характеристикой цепи (указана справа). На основании характеристик цепей можно судить об оптимальности распределения, а также о возможных способах перераспределения поставок.

Если в цепях только положительные и нулевые характеристики, то распределение оптимальное. Если же в одной или нескольких цепях характеристики отрицательные, то распределение неоптимальное и возможно его улучшение. При двух и более отрицательных характеристиках перераспределение производится по цепи с наибольшей отрицательной харак-

теристикой. Перераспределение осуществляется таким образом, чтобы размеры поставок увеличивались в клетках с положительным знаком и уменьшались в клетках с отрицательным знаком. Осуществляя перераспределение, получим другой вариант распределения (табл. 2.5).

Перевозочная работа по этому варианту составит

S2 = 5 40 + 4 60 + 2 35 + 3 15 + 2 50 = 655.

Построим цепи для клеток, в которых нет поставок, и определим характеристики этих цепей (рис. 2.7). В цепях одна отрицательная характеристика, следовательно, распределение неоптимальное. Произведем перераспределение поставок по цепи А1В3. Новое распределение представлено в табл. 2.6. Общий объем перевозочной работы будет равен

S3 = 5 25 + 4 60 + 1 15+ 2 50 + 2 50 = 580.

РИС. 2.7. СХЕМЫ ЦЕПЕЙ ДЛЯ ВТОРОГО ВАРИАНТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Строим цепи для нового распределения (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Схемы цепей для третьего варианта распределения

Характеристики цепей положительные, следовательно, распределение

поставок оптимальное.

2.2.1.2. Алгоритм коэффициентов

Помимо основного алгоритма распределительного метода существует ряд его упрощенных модификаций. Они также приводят к оптимальному решению и требуют меньше вычислений. Дана матрица перевозок (табл. 2.7).

Сумма затрат по перевозкам по этому распределению:

S1 = 2 40 + 4 60 + 5 20 + 4 30 + 5 30 = 690.

Оптимальный объем затрат находится с помощью коэффициентов строк

и столбцов. Эти коэффициенты подбираются так, чтобы их сумма на пе-

ресечении строки и столбца была равна критерию оптимальности.

Обычно коэффициент первой строки принимается равным нулю. В нашем примере в качестве исходного принят коэффициент строки А1. Эта строка связана критерием со столбцом В1. Вычитая из этого критерия коэффициент строки А1, получим коэффициент столбца В1 (2 – 0 = 2). Столбец В1, в свою очередь, связан критерием со строкой А2. Произведя подобные действия, получим коэффициент строки А2 (4 – 2 = 2) и т.д.

При распределительном методе для каждой клетки, где нет поставок, мы

строим цепи и определяем их характеристики. В рассматриваемом мето-

де коэффициенты дают возможность получить те же самые характери-

стики, не строя цепей (табл. 2.8).

Рис. 2.9. Схема цепи для клетки с отрицательной характеристикой

неоптимальное. Улучшая это распределение, нужно построить цепь к одной из клеток с отрицательной характеристикой (рис. 2.9).

Осуществляем перераспределение (табл. 2.9).

S2 = 2 40 + 4 60 + 2 20 + 4 50 +5 10 = 610.

Определяем оптимальность распределения поставок (табл. 2.10).

Характеристика одной цепи отрицательна, следовательно, распределение неоптимальное. Осуществляем новое распределение (табл. 2.11).

Характеристики клеток неотрицательны, следовательно, данное

распределение оптимально.

2.2.2. Графоаналитический метод решения задач линейного программирования

Задача об использовании сырья. Предположим, что изготовление двух видов продукции П1 и П2 требует использования четырех видов сырья: S1, S2, S3, S4. Запасы каждого вида сырья ограничены и составляют соответственно b1, b2, b3, b4 условных единиц. aij (i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2) – количество единиц сырья Si, необходимое для изготовления продукции Пi. Все данные сведены в табл. 2.13.

Требуется составить такой план выпуска продукции П1 и П2, при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

Математическая форма рассматриваемой задачи: допустим, что предприятие выпускает х1 единиц продукции вида П1 и х2 единиц продукции вида П2. Для этого потребуется а11х1+а12х2 единиц сырья S1. Так как в наличии имеется всего b1 единиц сырья S1, то должно выполняться неравен-

ство a11х1 + а12х2 ≤ b1.

Неравенство в выражении появляется в связи с тем, что максимальный доход может быть достигнут предприятием и в том случае, когда запасы сырья вида S1 используются не полностью. Аналогичные рассуждения позволяют записать неравенства для остальных видов сырья:

Требуется среди всех неотрицательных решений системы найти такое, при котором линейная форма F принимает наибольшее значение.

Для решения рассмотренной задачи могут быть использованы различные методы. Рассмотрим графоаналитический способ.

Пример: деревообрабатывающему цеху поручено изготовить два вида продукции: А и Б. Для изготовления этой продукции расходуются пиломатериал, гвозди, олифа, краска. Запасы каждого вида сырья у цеха ограничены (табл. 2.14).

Таблица 2.14

Исходные данные