869

УДК 539.3 ББК 38.113

Рецензент канд. техн. наук, доц. В.Е. Русанов

Работа одобрена научно-методическим советом направления 270800 "Строительство" в качестве методических указаний к выполнению расчетнографических работ по сопротивлению материалов для студентов строительных и механических специальностей.

Расчет центрально-сжатых стержней на устойчивость: методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов строительных и механических специальностей и направлений бакалавриата / сост. Е.А. Мартынов. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2013. – 44 с.

В настоящих методических указаниях рассмотрены вопросы устойчивости центрально-сжатых стержней, применяющихся в строительстве различных зданий и сооружений. Подробно рассмотрены задачи по определению величины допускаемой силы, коэффициента запаса устойчивости и проектированию стержневых элементов. Примеры дополнены справочными материалами.

Данные методические указания рекомендуются студентам строительных и механических специальностей и направлений бакалавриата всех форм обучения при выполнении расчетно-графических работ по сопротивлению материалов.

Табл. 17. Ил. 10. Прил. 6. Библиогр.: 10 назв.

Учебное издание

РАСЧЕТ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов строительных и механических специальностей

и направлений бакалавриата

Составитель Евгений Анатольевич Мартынов

Редактор Е.В. Садина

Подписано к печати __.__.20___ г. Формат 60х90 1/16. Бумага писчая Оперативный способ печати. Гарнитура Times New Roman

Усл. п.л. 2.81, уч.-изд. л. 2,8. Тираж 100 экз. Заказ № _____. Цена договорная

Издательство СибАДИ 644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10

Отпечатано в подразделении ОП издательства СибАДИ

ФГБОУ ВПО «СибАДИ», 2013

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..…...…………………………………………………….. 4

1.Понятие устойчивости ………………………………...……..…… 5

2.Определение критической силы………………………………….. 7

3.Практический расчет сжатых стержней ………………………… 10

4.Условие равной устойчивости в разных плоскостях …………… 14

5.Примеры решения задач ………………………………………….. 14

Вопросы для самопроверки …………………………………………. 32 Задания к расчетно-графическим работам…………….……………. 33 Библиографический список …………..…….….………………......... 36

Приложение 1. Коэффициенты расчетной (приведения) длины ... 37 Приложение 2. Типы поперечных сечений ………………………… 37 Приложение 3. Коэффициенты продольного изгиба ……………… 38 Приложение 4. Коэффициенты для расчета по формуле Ясинского-Тетмайера ……………………………………………….. 40

Приложение 5. Физико-механические характеристики материалов……………………………………………………………. 40

Приложение 6. Сортаменты…………………………………………. 42

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Расчет на устойчивость сжатых стержней является одной из наиболее актуальных и значимых задач в рамках курса "Сопротивление материалов".

Настоящее методическое издание призвано облегчить студентам всех форм обучения выполнение расчетно-графических работ по сопротивлению материалов, в части расчета центрально-сжатых стержней на устойчивость.

Методические указания соответствуют рабочим программам, разработанным применительно к государственным стандартам на образование по строительным и механическим специальностям, по которым в СибАДИ осуществляют подготовку бакалавров и специалистов различных направлений.

Необходимость написания данных указаний была обусловлена тем, что в 2011 году изменились нормы проектирования центральносжатых стержней, а имеющиеся книги и методические пособия, посвященные этой теме, были изданы под старые стандарты. Кроме этого, во многих источниках использованы устаревшие данные по маркам стали и их прочностным характеристикам, часто используются обозначения, которые не соответствуют как отечественным, так и международным стандартам.

В настоящих методических указаниях подробно рассмотрены различные примеры решения задач на устойчивость центральносжатых стержней из стали и древесины, которые применяются в мостостроении и в промышленно-гражданском строительстве. Такая градация обусловлена некоторым отличием в расчетах.

Особый акцент сделан на учет закрепления стержней в разных плоскостях. Подобный подход активно реализуется в современной литературе и международных нормах Еврокод.

Кроме непосредственного решения задач в данном учебном издании приведен необходимый дополнительный справочный материал, задания для выполнения расчетно-графических работ, а также кратко рассмотрены теоретические аспекты расчета на устойчивость.

4

1. Понятие устойчивости

Термин "устойчивость" охватывает очень широкий круг вопросов: от движения планет и течения жидкостей, до строительных конструкций и энергетических систем.

В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость формы и устойчивость положения.

Под устойчивостью будем понимать способность элемента (конструкции) при воздействии на него (нее) сжимающих внешних нагрузок сохранять первоначально заданную форму равновесия, т.е.

деформироваться таким образом, чтобы гарантировать его (ее) заданные эксплуатационные качества.

Если при действии малых возмущений тело отклоняется от своего невозмущенного состояния равновесия незначительно, а после прекращения действия малых возмущений возвращается в исходное состояние, то такое состояние называется устойчивым. Если же состояние равновесия тела не обладает этим свойством, т.е. после прекращения действия малых возмущений тело не возвращается в исходное состояние, то такое состояние называется неустойчивым.

Оценивая устойчивость, нельзя говорить о системе вообще. Следует иметь в виду вполне определенное состояние этой системы. Кроме того, необходимо определить по отношению к какому классу возмущений проверяется устойчивость. Так, например, равновесие весомого шарика на идеально гладкой поверхности (рис. 1) может быть следующим: а) устойчиво по отношению к любым малым отклонениям; б) неустойчиво во всех направлениях; в) устойчиво в плоскости xz и неустойчиво в плоскости yz; г) иметь безразличное состояние.

Рис. 1. Классификация равновесных состояний механической системы: а) устойчивое состояние; б) неустойчивое состояние; в) устойчиво в плоскости

xz и неустойчиво в плоскости yz; г) безразличное состояние

Форма равновесия стержня может быть устойчивой, неустойчивой и безразличной. Чтобы на опыте выявить, каким является равно-

5

весие стержня, надо вывести его из положения равновесия, приложив к стержню кратковременную малую возмущающую нагрузку, и посмотреть, как будет вести себя стержень после снятия возмущения (рис. 2).

Рассмотрим стержень, сжатый центрально приложенной силой F (рис. 2, а). Приложим к нему возмущающую нагрузку – горизонтальную силу f (рис. 2, б). При действии возмущающей нагрузки рассматриваемый стержень изогнется. Если после снятия возмущения стержень возвращается в исходное прямолинейное состояние, то такое состояние называется устойчивым. Если же после удаления возмущающей нагрузки стержень остается в изогнутом состоянии, то первоначальная прямолинейная форма равновесия является неустойчивой.

Максимальная нагрузка, при которой прямолинейная форма равновесия сжатого стержня еще устойчива, называется критиче-

ской силой (Fcr). Рис. 2 поясняет данное определение критической силы. Если нагрузка меньше критической силы или достигла ее (рис. 2, в), то после прекращения действия возмущающей нагрузки стержень остается прямолинейным. Если же нагрузка стала больше критической величины (рис. 2, г), то стержень после снятия возмущения остается в изогнутом состоянии.

Рис. 2. Устойчивость сжатого стержня: а) до приложения возмущающей нагрузки; б) под действием возмущающей нагрузки; в) после снятия возмущающей нагрузки – прямолинейная форма равновесия устойчива; г) после снятия возмущающей нагрузки –

прямолинейная форма равновесия неустойчива

На практике всегда бывают различные возмущения. При превышении силы критического значения сжатый стержень начинает из-

6

гибаться. При этом сжимающая сила вызывает дополнительно изгибающие моменты, линейная зависимость между нагрузками и деформациями нарушается; наблюдается значительное нарастание прогибов при малом увеличении сжимающей силы. Это явление называется

продольным изгибом.

Условие, обеспечивающее работу стержней конструкции с определенным запасом против потери устойчивости, называется условием устойчивости.

Для обеспечения устойчивости конструкций и сооружений допускаются нагрузки, которые меньше критических. Отношение критической нагрузки к ее допускаемой величине называется коэффициентом запаса устойчивости. Минимальный коэффициент запаса устойчивости в соответствии с нормами [1] составляет ny = 1,3.

2. Определение критической силы

Задача определения критической силы впервые была решена Л. Эйлером в 1744 г. для шарнирно закрепленного прямолинейного стержня. После учета влияния закрепления концов стержня на величину критической силы была получена обобщенная формула Эйлера

2 EJ

Fcr 2 , (1)

l

где E − модуль упругости материала;

J − момент инерции сечения; l − длина стержня;

? − коэффициент расчетной (приведенной) длины, который так же называют коэффициентом Ясинского.

Произведение l носит название расчетной (приведенной) дли-

ны.

Коэффициенты расчетной длины стержней постоянного сечения определяют в зависимости от материала, условий закрепления их концов и вида нагрузки по нормативным документам для соответствующих материалов. Для типичных случаев закрепления стержней и вида нагрузки значения приведены в прил. 1. Следует обратить особое внимание, что коэффициент приведения длины для одного и того же стержня в разных плоскостях может быть различным.

7

Расчет по формуле (1) производится отдельно для каждой плоскости изгиба. За расчетное значение принимается минимальная критическая сила Fcr = min (Fcrх, Fcry).

Для частного случая, когда закрепление концов стержня во всех плоскостях одинаковое, формула (1) записывается в виде

При выводе формулы Эйлера использован закон Гука. Следовательно, формула (1) применима, если потеря устойчивости происходит при упругих деформациях стержня. Область применимости формулы Эйлера ограничивается условием σ ≤ Rpr, где Rpr − предел пропорциональности материала. Максимальные критические напряжения (σcr), определяемые по формуле Эйлера, равны пределу пропорциональности при сжатии.

Для удобства практического пользования это условие обычно записывают в виде ограничения по гибкости:

λ ≥ λпр, (2)

где λпр – предельная гибкость, определяемая по формуле

здесь Rpr – предел пропорциональности материала. Гибкость стержня определяется по формуле

где i – радиус инерции сечения.

Между тем, элементы реальных конструкций не всегда работают в упругой стадии. Поэтому необходимо исследование устойчивости при неупругих деформациях.

Результаты опытов (рис. 3) показывают, что при потере устойчивости в упругой стадии экспериментальные точки лежат близко к гиперболе Эйлера, чем подтверждают ее достаточную точность. У стержней же, теряющих устойчивость при пластических деформациях, экспериментальные результаты сильно разбросаны (это объясняется разбросом диаграмм сжатия) и расположены значительно ниже гиперболы.

Для расчетов на устойчивость при неупругих деформациях различными авторами предложены различные эмпирические формулы,

8

основанные на выборе кривых, близких к результатам опытов. Для критических напряжений наибольшее распространение из них получило выражение

где a и b − константы, имеющие размерность напряжения.

Рис. 3. График зависимости критических напряжений от гибкости

Выражение (5) имеет название формула Ясинского-Тетмайера.

При этом в отечественной литературе ее часто называют формулой Ясинского, а в зарубежных – формулой Тетмайера.

Значения коэффициентов a и b обычно приводят в справочниках по устойчивости. Однако с появлением новых материалов и изменением их номенклатуры такие справочники зачастую не удовлетворяют практические запросы.

Для некоторых видов материалов коэффициенты a и b приведены в прил. 4.

Формулу (5) можно переписать для критической силы:

где А – площадь поперечного сечения.

Необходимо отметить, что при малой гибкости стержня (λ<λ0) вместо потери устойчивости достигается опасное состояние материала в виде достижения предела прочности материала из которого изготовлен стержень, и формулой Ясинского-Тетмайера пользоваться нельзя. В низкоуглеродистых сталях опасное состояние материала соответствует появлению пластических деформаций. Следовательно, формула Ясинского применима, если выполняется следующее условие σcr < Ry, где Ry – расчетное сопротивление по пределу текучести.

9

В практических целях, чтобы не вычислять λо, удобно использовать условие

cr а b при λ λпр, но не более Ry.

При гибкости менее λ0 расчет на устойчивость не выполняют, а производят только расчет на прочность.

Окончательно величина критической силы определяется

2EJ

2 , при λ < λпр;

l

Для стальных конструкций из норм [1] можно получить выражения

Полученные по формуле (9) значения λпр практически совпадают со значениями, приведенными в справочниках. Значения λ0, вычисленные по формуле (8) значительно меньше справочных. Например, для стали С235 вычисленное значение по формуле (8) λ0 = 12, а справочное значение λ0 = 60.

Справочные значения λ0 и λпр для некоторых материалов приведены в прил. 4.

3. Практический расчет сжатых стержней

При расчете на устойчивость могут быть следующие задачи:

-подбор сечения стержня (проектная задача), которая возникает при новом проектировании;

-определение допускаемой нагрузки, которая возникает при реконструкции здания;

-определение коэффициента запаса устойчивости, которая возникает при экспертизе проекта.

10