869

где N – продольная сжимающая сила;

А – площадь поперечного сечения брутто (без учета ослабления сечения отверстиями, выточками и т.д.); φ – коэффициент устойчивости (продольного изгиба) при цен-

тральном сжатии;

Ry – расчетное сопротивление по пределу текучести (предел текучести материала).

Коэффициент продольного изгиба, изменяющийся в пределах 0≤φ≤1, представляет собой коэффициент уменьшения основного расчетного сопротивления для продольного изгиба (коэффициент устойчивости). Коэффициент продольного изгиба зависит от критических напряжений, и, следовательно, является функцией гибкости стержня

ny Ry

где nу – коэффициент запаса устойчивости.

Для практических целей значения коэффициента φ как некоторой функции от гибкости (условной гибкости) для различных материалов установлены соответствующими нормами проектирования.

Здесь следует отметить, что в существующих нормах на проектирование стальных конструкций имеются разночтения.

Коэффициент продольного изгиба для деревянных конструкций и фанеры определяется в зависимости от гибкости [2]:

Для стальных конструкций до мая 2011 г. коэффициент продольного изгиба определялся в зависимости от гибкости и марки стали по СНиП II-23-81* "Стальные конструкции".

В 2011 г. нормы проектирования объектов промышленногражданского назначения в части расчета на устойчивость были изменены. Введенный СП 16.13330.2011 [1] устанавливает коэффициент продольного изгиба от двух параметров: типа сечения и приведенной гибкости .

Все сечения разбиты на три типа: a, b и с, которые приведены в прил. 2.

Условная гибкость определяется в зависимости от гибкости и предела текучести стали

где E = 2,06 105 МПа − модуль упругости стали.

Таблица коэффициентов продольного изгиба для сталей по СП

16.13330.2011 [1] приведены в табл. П3.1.

Для расчета мостовых стальных конструкций СП 35.13330.2011 [3] устанавливает коэффициент продольного изгиба от двух параметров: марки стали и гибкости , которые приведены в табл. П3.2.

При решении проектной задачи в формуле (10) присутствуют сразу два неизвестных: площадь поперечного сечения А и коэффициент продольного изгиба . При этом коэффициент зависит от площади поперечного сечения А и формы поперечного сечения и поэтому не может быть назначен заранее. Ввиду этого расчет на устойчивость выполняется методом последовательных приближений (методом итераций).

Порядок подбора поперечного сечения следующий:

ПОПЫТКА 1

1.В первом приближении принимают 1 = 0,5…0,6.

2.Из условия устойчивости (10) находят требуемую площадь поперечного сечения

12

3.По сортаменту или из соотношения сторон в зависимости от А1 подбирают сечение, находят фактические радиусы инерции ix1 и iy1.

4.Вычисляют максимальную гибкость стержня, при необходимости – условную гибкость

Данное условие обуславливается тем, что закрепление концов стержня в разных плоскостях может быть различным.

5. По таблицам [1, 3] для стальных конструкций или по формулам (12–15) для деревянных конструкций в зависимости от 1 или 1

находят фактический коэффициент продольного изгиба 1факт. 6. Проверяют условие устойчивости (10)

Сечение считается подобранным правильно, если приняты минимальные размеры, удовлетворяющие условию (10) для прокатных профилей или когда фактический коэффициент продольного изгибафакт отличается от менее чем на 5 % для сечений в виде простых фигур (прямоугольное, круглое и т.д.).

Если условие устойчивости не выполняется, т.е. фактические напряжения выше прочности материала или имеется значительный запас, выполняется вторая попытка.

ПОПЫТКА 2

1. Принимают 2 1 1факт .

2

2. Далее выполняют все пункты первой попытки.

Если условие не выполняется, то принимается 3-я попытка и т.д. до тех пор, пока условие устойчивости (10) не будет выполнено. На практике обычно делают 2–4 попытки.

Процесс последовательных приближений (итерационный процесс) продолжается до тех пор, пока разница между величиной расчетных напряжений и расчетным сопротивлением материала не будет меньше величины, установленной СНиП. Обычно требуется, чтобы разница между двумя указанными величинами не превышала 3 − 5%.

Данное условие справедливо при подборе сечений непрокатных профилей. При расчете же прокатных профилей, мы ограничены рамками сортамента, и это условие достичь получается не всегда.

13

При правильно подобранном сечении коэффициент запаса устойчивости автоматически будет равен около 1.3, т.к. данный коэффициент уже заложен в коэффициент продольного изгиба . Поэтому при решении проектной задачи вычисление коэффициента запаса устойчивости может использоваться в качестве проверки.

4. Условие равной устойчивости в разных плоскостях

При практическом проектировании часто применяют условие равной устойчивости. Равноустойчивость стержня характеризуется равной вероятностью потери устойчивости во всех плоскостях. Единственным и необходимым условием равной устойчивости является

Из (17) следует, что условие равной устойчивости будет выполняться, если коэффициенты продольного изгиба х и y будут равны. Поскольку коэффициент продольного изгиба принимается по таблицам в зависимости от материала и гибкости, условие (15) можно переписать в виде

В учебной литературе часто по умолчанию имеют в виду, что условие закрепления стержня во всех плоскостях одинаково (на практике это зачастую не так), т.е. x y . Тогда, после некоторых пре-

образований получим условие равной устойчивости для стержня с одинаковым закреплением концов в разных плоскостях:

5. Примеры решения задач

В практике строительного проектирования расчеты, как правило, ведут в кН и сантиметрах.

Пример 1. Центрально-сжатая стойка, используемая в конструкции здания, длиной l = 4 м выполнена из двутавра № 40 по

14

ГОСТ 8239-89 (рис. 4) из стали марки С245 имеет одинаковое закрепление концов стрежня в различных плоскостях.

Требуется определить величину допускаемой силы.

Решение

По ГОСТ 8239 находим геометри-

ческие характеристики сечения двутав-

ра: А = 72,6 см2, iх = 16,2 см, iy = 3,03 см.

Предел текучести стали С245 по табл. П5.2 Ry = 240 МПа = 24 кН/см2, модуль упругости стали Е = 2,06 105 МПа. По прил. 2 тип сечения b.

Закрепление стержня во всех плоскостях одинаковое. Следовательно, коэффициент приведения длины х = y. Для заданного условия закрепления стержня в соответствии с прил. 1 коэф-

фициент х = y = = 2.

Рис. 4. К примеру 1

Находим максимальную гибкость стержня. Поскольку коэффициенты приведения длины в разных плоскостях равны, максимальной гибкости будет соответствовать минимальный радиус инерции i = min (iх, iy) = 3,03 см. Максимальную гибкость определим по формуле (4)

l 2 400 132 , i 3,03

здесь 400 – длина стержня в сантиметрах.

Конструкция промышленно-гражданского назначения, следовательно, необходимо найти условную гибкость по формуле (16)

По приведенной гибкости и типу сечения находим коэффициент продольного изгиба = 0,374.

Из формулы (10) определяем величину допускаемой силы

F A Ry ,

F 0,374 72,6 24 651 кН.

Ответ: допускаемая нагрузка составляет 651 кН.

15

Пример 2. Центрально-сжатая стойка длиной l = 2 м выполнена из прямоугольного деревянного бруса сечением b = 10 см, h = 20 см из сосны 2-го сорта. Схема закрепления стержня приведена на рис. 5.

Требуется определить величину допускаемой силы.

Закрепление стержня в разных плоскостях различное.

При потере устойчивости в плоскости yoz изгиб стрежня происходит относительно оси х. В указанной плоскости стержень имеет защемление на нижнем конце и шарнирно подвижное закрепление на верхнем конце. Следовательно, коэффициент приведения длины по прил. 1 х = 0,8 (следует обратить внимание, что коэффициент принят для древесины). В этом случае гибкость стержня

При потере устойчивости в плоскости хoz изгиб стрежня происходит относительно оси у. В указанной плоскости стержень имеет защемление внизу, а верхняя грань стержня свободна от закрепления. Тогда у = 2.2, а гибкость стержня

Для дальнейших расчетов принимается максимальная гибкость,

т.е. = y = 76.

16

На данном примере видно, что даже при максимальном моменте инерции, расчетная плоскость может быть другой.

Поскольку >70, коэффициент продольного изгиба определяется по формуле (13)

3000 3000 0,519.

2 762

Из формулы (10) определяем величину допускаемой силы

F A Ry ,

F 0,519 200 1,3 134 кН.

Ответ: допускаемая нагрузка составляет 134 кН.

Пример 3. Центрально-сжатая стойка квадратного сечения 50х50 мм из стали марки С345 длиной 2 м используется в мостовой конструкции. Стержень нагружен силой 250 кН. Схема закрепления стержня во всех плоскостях одинаковая и приведена на рис. 6.

Требуется определить коэффициент запаса устойчивости.

Решение

Предел текучести стали марки С345 толщиной 50 мм по табл. П5.2 Ry = 280 МПа = 28 кН/см2, модуль упругости стали Е = 2,06 105 МПа.

Находим площадь поперечного сечения, главные моменты инерции и радиусы

инерции:

A b b 5 5 25 см2;

Закрепление стержня во всех плоскостях одинаковое. Следовательно, коэффициент приведения длины х = y = = 1 (прил. 1).

Находим максимальную гибкость стержня. Поскольку коэффициенты приведения длины и геометрические характеристики в разных плоскостях равны, максимальную гибкость определим по формуле (4)

l 1 200 139, i 1,44

здесь 200 – длина стержня в сантиметрах.

17

здесь все размерности приведены в кН и метры.

пр = 91 принято по прил. 4 для стали марки С345. Коэффициент запаса устойчивости

Ответ: коэффициент запаса устойчивости составляет 1,06. Поскольку ny 1.3, устойчивость стержня не обеспечена. Необходимо

увеличить сечение или снизить нагрузку.

Пример 4. Центрально-сжатая стойка выполнена из трубы диаметром D = 133 мм и толщиной 5 мм по ГОСТ 10704-91 из стали марки ВСт3пс (С235) длиной 4,2 м. Стержень нагружен силой 300 кН. Схема закрепления стержня во всех плоскостях одинаковая и приведена на рис. 7.

Требуется определить коэффициент запаса устойчивости.

Решение

Предел текучести стали ВСт3пс (С235) по табл. П5.3 Ry = 215 МПа = = 21,5 кН/см2, модуль упругости стали

Е = 2,06 105 МПа.

Внутренний диаметр трубы d D 2t 133 2 5 123 мм.

Находим площадь поперечного сечения, главные моменты инерции и радиусы

инерции:

Рис. 7. К примеру 4

A D2 d 2 3,14 13,32 12,32 20,1 см2;

Закрепление стержня во всех плоскостях одинаковое. Следовательно, коэффициент приведения длины х = y = = 0,7 (прил. 1).

Находим максимальную гибкость стержня. Поскольку коэффициенты приведения длины и геометрические характеристики в разных плоскостях равны, максимальную гибкость определим по формуле (4)

l 0,7 420 65, i 4,53

здесь 420 – длина стержня в сантиметрах.

Гибкость стержня 0 60 65 пр 102 , следовательно,

расчет критической силы ведем по формуле Ясинского-Тетмайера (6)

Fcr A а b 20,1 (29,5 0,1 65) 462 кН,

где коэффициенты a = 29,5 кН/см2, b=0,10 кН/см2 приняты по прил. 4. Коэффициент запаса устойчивости

Ответ: коэффициент запаса устойчивости составляет 1,54. Поскольку ny 1.3 , устойчивость стержня обеспечена.

Пример 5. Центрально-сжатая стойка прямоугольного сечения длиной l = 3,5 м нагружена силой F = 400 кН и выполнена из стали класса прочности С345. Стойка используется в мостовой конструкции. Схема закрепления стержня приведена на рис. 8.

Требуется определить размеры поперечного сечения b и h, если соотношение h / b = 2.

Решение

Предел текучести стали С345 толщиной 50 мм по табл. П5.2 Ry = 280 МПа = = 28 кН/см2, модуль упругости стали

Е = 2,06 105 МПа.

Закрепление стержня в разных плоскостях различное. По прил. 1 х = 0.7,

у = 2.

Рис. 8. К примеру 5

19

Определяем расчетную плоскость, т.е. плоскость, относительно которой гибкость стержня максимальная.

Находим площадь поперечного сечения, главные моменты инерции, радиусы инерции и гибкости стержня:

Максимальная гибкость стержня в плоскости хoz, т.е. изгиб стрежня происходит относительно оси у. Поэтому дальнейшие расчеты будем проводить только относительно оси у.

Производим подбор сечения методом последовательных приближений (методом итераций).

ПОПЫТКА 1

В первом приближении принимаем 1 = 0,5.

Из условия устойчивости (10) находим требуемую площадь поперечного сечения:

Из соотношения сторон в зависимости от А1 подбираем сечение, находим фактические момент инерции Jy1, радиус инерции iy1 и гибкость 1:

По табл. П3.1 определяем фактический коэффициент продольного изгиба 1факт. Для 200табличных значений не приведено. Это связано с ограничением максимальной гибкости стержней. При гибкости 200стержень теряет устойчивость под собственным весом.

20