862

Отсюда имеем следующую целевую функцию:

поскольку это размеры будущего бака и если хотя бы один из них будет равен нулю, то и R(x) будет равна нулю, что недопустимо по условиям решения задачи.

Рис. 16. Схема раскроя заготовки с целью получения бака

По образцу функции Лагранжа составляем функцию как сумму критерия R(x) и ограничений, приведенных к виду с нулем справа и умноженных на множители Лагранжа j.

L(x) x1 x2 x3 1(x1 2x3 4) 2(x2 2x3 4) max.(H)

Находим частные производные по неизвестным и множителям

60

Лагранжа от функции Лагранжа и приравниваем их к нулю:

Студенту предлагается найти наиболее разумное решение рассматриваемой задачи, направленное на увеличение объема уже полученного бака за счет использования остатков жести, вырезанных по углам заготовки при раскрое (см. рис. 16).

Отчет о проделанной работе оформляется в произвольной форме с обязательным указанием исходных данных в соответствии с заданным вариантом, с изложением хода рассуждений и расчетов в соответствии с приведенным примером (без нумерации формул), четких выводов и их обоснованием.

Если сделан вывод о характере экстремума функций в рассматриваемой точке, то необходимо доказать правомерность этого вывода, подтверждая его расчетом и ссылкой на теорию. При этом отчёт не должен вызывать затруднений при чтении.

61

Вопросы для самоконтроля

1.Перечислить аналитические методы поиска экстремума.

2.Перечислить необходимые и достаточные условия существования экстремума одномерных функций.

3.Как формулируются необходимые и достаточные условия существования экстремума многомерных функций?

4.Указать структуру и записать функцию Лагранжа.

5.Дать методику решения задачи методом множителей Лагранжа.

62

Приложение 1

Исходные данные к типовому расчету “Безградиентные методы поиска

экстремума одномерных функций”

63

Приложение 2

Исходные данные к типовому расчету “Градиентные методы поиска

экстремума”

64

Приложение 3

Исходные данные к типовому расчету “Аналитические методы поиска

экстремума”

65

Библиографический список

1.Автоматизированные информационные технологии в экономике: Учебник для вузов Под ред. Г.А. Титоренко. – М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1999.

2.Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000.

3.Гончаров Е.Н., Кочетков Ю.А. Вероятностный поиск с запретами для дискретных задач безусловной оптимизации // Дискретный анализ и

исследование операций. – 2002. – Серия 2. – Т.9. –№2.

4.Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. – М.: Наука, 1981.

5.Jzhutkin V.S., Sushenzov A.A., Study of Methods of Nonlinear Optimization Using Computer Means // Operation research proceeding (OR 2000), 2001.

6.Попков В.К. Математические модели связности: В 3ч. – Новосибирск, 2000–2002.

66

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ _______________________________________________________3

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ_______________ 5

1.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ________________5

1.2.СОСТАВ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ _____________________7

1.3.ВЫПУКЛЫЕ И НЕВЫПУКЛЫЕМНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ________________9

1.4.ЛИНЕЙНОЕ И НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ____________________________10

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ______________________________________________13

Глава 2. БЕЗГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА ____ 14

2.1.МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА ОДНОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ _____________________15

2.1.1.Метод сканирования_______________________________________________15

2.1.2.Метод локализации экстремума _____________________________________16

2.1.3.Метод золотого сечения____________________________________________17

2.1.4.Метод с использованием чисел Фибоначчи____________________________20

2.2БЕЗГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ______22 2.3. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "БЕЗГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА ОДНОМЕРНЫХ

ФУНКЦИЙ" ______________________________________________________________23

2.3.1.Задание__________________________________________________________23

2.3.2.Образец выполнения работы________________________________________24 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ______________________________________________29

Глава 3. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА _______ 31

3.1.ПОНЯТИЕ ГРАДИЕНТА __________________________________________________31

3.2.МЕТОД ГРАДИЕНТА ____________________________________________________32

3.3.МЕТОД РЕЛАКСАЦИЙ___________________________________________________32

3.4.МЕТОД КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ _________________________________________34

3.5.ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ГРАДИЕНТНЫЕМЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА» _____________35

3.5.1.Задание __________________________________________________________35 3.5.2.Образец выполнения работы ________________________________________35

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ______________________________________________46

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА_____ 47

4.1.СОСТАВ АНАЛИТИЧЕСКИХМЕТОДОВ ______________________________________47

4.2.НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ

ОДНОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ___________________________________________________47

4.3.НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ

МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ __________________________________________________52

4.4.МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА_________________________53

4.5.ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА»___________56

4.5.1.Задание__________________________________________________________56

4.5.2.Образец выполнения работы________________________________________56 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ______________________________________________62 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 __________________________________________________________63 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 __________________________________________________________64 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 __________________________________________________________65

Библиографический список__________________________________________66

67

Учебное издание

Леонид Алексеевич Усольцев

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Редактор И.Г.Кузнецова

Подписано к печати Формат 60х90 1/ 16. Бумага писчая.

Оперативный способ печати Гарнитура Times New Roman Усл. п. л. , уч. -изд. л. Тираж 150 экз. Заказ № Цена договорная

Издательство СибАДИ 644099, Омск, ул. П.Некрасова, 10

Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ 644099, Омск, ул. П.Некрасова,10

68