862

На рис. 3, в изображена невыпуклая функция. Если функция выпуклая, то ее max (M) или min (m) является глобальным, как показано на рис. 3,а (точка М) и рис.3,б (точка m). При этом условием отыскания max функции является ее выпуклость вверх, а min - выпуклость вниз. Невыпуклые функции обладают многоэкстремальностью, т.е. одновременным наличием нескольких max и min (см. рис. 3, в, точки М1, М2, m1 и т.д.), что значительно осложняет решение подобных задач. Условие выпуклости используется во многих вычислительных аспектах математического программирования.

1.4. Линейное и нелинейное программирование

Как уже отмечалось выше, в состав задач математического программирования входят задачи линейного и нелинейного программирования, причем нелинейному программированию в настоящем учебном пособии будет отведено несколько глав. В них кратко будут рассмотрены экономико-математические постановки и основные методы их решения. Кроме того, будут освещены вопросы использования градиентных и безградиентных методов поиска экстремумов (определения оптимальных значений параметров) одномерных и многомерных функций в рамках задач нелинейного программирования. В этой же главе мы сосредоточим внимание на разновидностях этих двух классов задач математического программирования.

Линейное программирование является наиболее развитой и законченной областью математического программирования. К этому классу задач относятся также и задачи целочисленного (дискретного) линейного программирования. Задача линейного программирования является не полностью целочисленной, если ограничение целочисленности касается лишь части переменных. В целочисленном линейном программировании можно выделить несколько характерных задач, из которых в инженерной практике нашли наиболее широкое применение задачи с неделимостями, переменные которых представляют собой физически неделимые величины. Действительно, при решении, например, транспортной задачи, если за единицу измерения однородного продукта принят вагон, контейнер и т.п., при решении задачи о назначениях в качестве исполнителей приняты самолеты, автобусы и другие машины и механизмы, то решение должно быть только целочисленным (дискретным).

10

Общие методы линейного программирования к задачам целочисленного программирования применять нельзя, так как в большинстве случаев они дают дробные решения. Округление компонент целочисленного решения до ближайших целых чисел может не только увести от оптимального целочисленного решения, но и вывести за пределы области допустимых решений. Существует класс задач целочисленного программирования, среди оптимальных решений которых всегда имеется целочисленное. К этому классу относятся, например, транспортная задача, сетевая транспортная задача, задача о назначениях, задача о кратчайшем пути и некоторые другие. Но этот класс узок и почти исчерпывается перечисленными проблемами. Поэтому возникла необходимость в разработке специальных методов решения задач целочисленного программирования.

Американскими учеными Дж. Данцигом, Д. Фалкерсоном и С. Джонсоном была предложена идея метода отсечения для решения задач линейного целочисленного программирования. Вначале задача решается без ограничений целочисленности. Если полученное решение целочисленно, то оно является оптимальным решением задачи целочисленного программирования. В противном случае к условиям исходной задачи добавляется линейное ограничение, которому удовлетворяют все целочисленные решения исходной задачи, но не удовлетворяет полученное положительное решение. Описанная процедура отсечения продолжается вплоть до получения на некотором шаге целочисленного оптимального решения либо до выявления неразрешимости задачи. Таким образом, решение задачи целочисленного программирования сводится к решению последовательности задач линейного программирования. Впервые правило формирования дополнительных ограничений для полностью целочисленных, а затем и частично целочисленных линейных задач было разработано американским ученым Р.Гомори в 1958 г. Метод Гомори при достаточно естественных предположениях о задаче приводит к оптимальному целочисленному решению за конечное число шагов. Известны и другие методы, использующие идею отсечения.

Важным и наиболее известным из комбинаторных методов является метод ветвей и границ и различные его модификации, использующие специфические особенности задачи в процессе решения. Методы случайного поиска применяются к задачам целочисленного программирования при их большой размерности, для

11

которых точные методы малоэффективны.

Нелинейное программирование – это совокупность нескольких принципиально различных групп задач, для каждой из которых характерен свой набор отличительных особенностей и способов их решения. Так, если критерий оптимальности (3) или ограничения (4) –

(6) являются квадратичными функциями, то задача называется задачей квадратичного программирования. Примером задачи квадратичного программирования является задача (3) – (6). Как самостоятельная группа задач в математическом программировании существует динамическое программирование, разработанное в 50-е г.г. XX столетия американским математиком Р. Беллманом и его учениками. В основе решения задачи динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана. Его концепция сводится к следующему: имеется физическая система, характеризуемая на любом шаге параметрами состояния; на каждом шаге поиска решения принимается одно из допустимого множества решений, результатом чего является преобразование параметров состояния системы; предыстория системы не имеет никакого значения при определении будущих действий.

Любое правило для поиска решения, которое дает допустимую последовательность решения, называется поведением (политикой). Целью процесса является оптимизация некоторой функции параметров состояния и политики - функции критерия (дохода). Поведение, оптимизирующее функцию критерия, называется оптимальным поведением. Математическая формулировка этого принципа приводит к уравнениям, решение которых определяет оптимальное поведение и оптимальный доход.

Методы решения задач нелинейного программирования делятся на безградиентные и градиентные. В свою очередь безградиентные методы подразделяются на детерминированные и случайные. Если в детерминированных методах направление поиска заранее известно, то

вслучайных методах это направление выбирается случайно.

Вградиентных методах движение по поверхности отклика осуществляется по кратчайшему направлению, которое принято называть градиентом.

12

Вопросы для самоконтроля

1.Сформулируйте математическую постановку задачи математического программирования.

2.Дайте определение геометрической интерпретации задачи математического программирования.

3.Какова постановка задачи линейного программирования?

4.Каковы особенности задачи целочисленного линейного программирования?

5.В чём заключается идея метода Гомори?

6.Какова сущность метода ветвей и границ?

7.Сформулируйте задачу нелинейного программирования.

8.Перечислите безградиентные методы поиска экстремума.

9.Перечислите градиентные методы поиска экстремума?

10.Дайте краткую характеристику динамического пограммирования.

11.В чём заключается идея принципа оптимальности Беллмана?

13

случайным образом.

2.1.Методы поиска экстремума одномерных функций

Кдетерминированным методам поиска экстремума одномерных функций относятся следующие:

метод сканирования;

метод локализации экстремума;

метод золотого сечения;

метод с использованием чисел Фибоначчи.

2.1.1.Метод сканирования

Сущность этого метода заключается в том, что весь рассматриваемый интервал (Хmin – Xmax) разбивается на n одинаковых подынтервалов (рис. 4). На концах интервала и в точках его разбиения вычисляются значения целевой функции. Затем производится сравнение полученных величин друг с другом и из них выбирается наибольшее значение, если определяется max, и наименьшее, если min.

R(x)

R(x0)

x

Рис. 4. Геометрическая интерпретация метода сканирования

Точность поиска методом сканирования равна подынтервалу разбиения, т.е.

15

Для того чтобы можно было сравнивать различные методы между собой по точности поиска, возьмем для них одинаковое число точек, в которых необходимо вычисление величины целевой функции. Допустим, S=21, тогда

1 0,05.

xmax xmin 20

2.1.2. Метод локализации экстремума

На первом этапе решения весь интересующий нас диапазон изменения неизвестной разбивается на крупные подынтервалы (рис. 5, точки х1, х2, х3). Затем вычисляют значение целевой функции

на концах рассматриваемого отрезка и в точках его разбиения и выбирают из них экстремальное, т.е. наибольшее при поиске max и наименьшее при определении min.

R(x)

x

Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода локализации экстремума

В рассматриваемом примере определяется минимум целевой функции, а это будет соответствовать точке х1. Интересующую нас точку, имеющую экстремальную величину функции цели, окружают прилегающими подынтервалами таким образом, что рассмотренный интервал сужается до xmin x2, а остальную часть x2 xmax в рассмотрение не берут. Новый интервал xmin x2 разбивают вновь на подынтервалы. Вычисляют значение целевой функции в новых точках разбиения 1 и 2. С учетом значений целевой функции, вычисленных для точек xmin, x1, x2, определенных на предыдущем шаге, находят экстремальное значение функции из всех точек разбиения интервала xmin x2 . Это будет точка 1. Далее точку,

16

имеющую экстремальное значение целевой функции, окружают новыми подынтервалами, которые образуют новый отрезок [x1-x2]. При этом отрезок (xmin – x1) исключается из поля зрения исследователя.

Рассмотренная шаговая процедура повторяется до тех пор, пока не будет найден с заданной точностью поиска экстремум. На практике это означает, что деление отрезков продолжается до тех пор, пока на очередном шаге длина подынтервала не станет меньше или равна заданной точности поиска. В таком случае говорят, что экстремум рассматриваемой функции локализован с заданной точностью поиска. При этом точность поиска определяется по формуле

где S – количество точек, в которых вычисляется значение целевой функции.

Предположим, что S=21, тогда относительная ошибка определения экстремума рассматриваемой функции составит

2 10 0,001.

xmax xmin

Метод локализации экстремума при равных условиях обеспечивает более высокую относительную точность поиска по сравнению с методом сканирования. Практически наилучшие результаты при использовании метода локализации экстремума получаются, если исходный отрезок делится на четыре равных части, а затем прилегающие к экстремальной точке подынтервалы делятся пополам.

2.1.3.Метод золотого сечения

Воснове этого метода лежит геометрическое соотношение или закон золотого сечения. Если весь отрезок обозначить через а, большую его часть - b, меньшую - с, то закон золотого сечения устанавливает следующую связь:

Определим, при каких условиях возможно выполнение соотношения (13). Для этого рассмотрим отрезок единичной длины

(рис. 6) .

Z 1 Z

Рис. 6. Деление отрезка по закону золотого сечения

Большую его часть обозначим через Z, а меньшую (1-Z); исходя из этого, имеем согласно соотношению (12)

Отсюда получаем Z=0,618.

Сущность метода золотого сечения состоит в том, что рассматриваемый отрезок делится по закону геометрического соотношения, который называется золотым сечением.

При этом выдерживаются следующие соотношения:

На рис. 7 дана геометрическая интерпретация рассматриваемого метода. Далее определяется величина целевой функции на концах отрезка и в точках разбиения. Полученные результаты сравниваются между собой и из них выбирается наилучшая точка, соответствующая экстремальному значению критерия оптимальности, которую окружают прилегающими подынтервалами. Скажем, в рассматриваемом примере пусть будут точками разбиения точки Х1 и Х2 и в точке Х2 функция достигает своего наименьшего значения. Тогда отрезок (Х1 Xmax) исключается из дальнейшего рассмотрения. Таким образом, рассматриваемый участок будет (Xmin–Х1), который

18

вновь разбивается по закону золотого сечения с использованием формул (16) – (18).

R(x)

x

Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода золотого сечения

При этом нетрудно видеть, что новый участок в рассматриваемом примере (Xmin–Х1)=Z a, отсюда необходимо дополнительно определить координаты только одной точки и величину функции отклика при ней. Шаговый метод повторяется до тех пор, пока величина интервала не будет меньше или равной заданной точности поиска.

Метод золотого сечения обеспечивает следующую точность поиска:

где S – количество точек, в которых вычисляется целевая функция. Для сравнения данного метода с методом локализации

экстремума предположим, что число точек, в которых вычисляется целевая функция, S=21, тогда точность поиска составит

0,5 0,6218 0,9 10 4.

xmax xmin

На этой основе можно сделать вывод: метод золотого сечения обеспечивает более высокую точность поиска по сравнению с методом локализации экстремума.

19