3-й семестр / Лекции / 14 - презентация

Тема 5. Изолированные особые точки

Определение 1. Точка 0 называется изолированной особой точкой

функции ( ), если ( ) аналитична в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки 0, а в точке 0 функция не определена или не дифференцируема.

Рассмотрим точку 0 и разложим ( ) в ряд в окрестности точки 0, т.е. по степеням ( − 0).

Если точка 0 – правильная, т.е. ( ) аналитична в т. 0, то существует окрестность (круг радиуса ) | − 0| < , внутри которого ( ) аналитична и функция раскладывается в степенной ряд Тейлора:

Если точка 0 – изолированная особая точка (ИОТ), то ( ) аналитична в кольце 0 < | − 0| < и функция раскладывается в степенной ряд

5.1.Нули аналитической функции

Определение 2. Точка 0 называется нулем n-го порядка аналитической функции ( ), если n – порядок первой не равной нулю производной:

( 0) = 0, ′( 0) = 0, . . . , (−1)( 0) = 0, ( )(0) ≠ 0.

Если = 1, то точка 0 называется простым нулем.

Теорема 1. Точка 0 является нулем n-го порядка функции ( ), аналитической в точке 0, тогда и только тогда, когда имеет место равенство ( ) = ( − 0) ( ), где ( ) аналитична в точке 0 и

( 0) ≠ 0.

Пример 1. Найти нули функции, определить порядок нуля:

( ) = − 1.

Решение: приравняем ( ) нулю, получим = 1, откуда = 2 ( = 0, ±1, . . . ) – нули данной функции.

Найдем

′( ) |= = − |=2 = 0, ′′( ) |= = − |=2 = −1 ≠ 0.

Согласно определению, = 2 являются нулями второго порядка. Пример 2. Найти нули функции, определить порядок нуля:

( ) = 8 − 97.

Решение: приравняем ( ) нулю, получим 7( − 9) = 0, 1 = 0, 2 = 9.

Можно воспользоваться определением, однако проще использовать теорему 1. Функция ( ) представима в виде ( ) = 7( − 9), но тогда= 0 является нулем порядка 7, функцией ( ) является сомножитель( ) = − 9, (0) = −9 ≠ 0; = 9 является нулем порядка 1, функцией

( ) в данном случае является ( ) = 7, (9) = 97 ≠ 0.

Пример 3. Найти нули функции, определить порядок нуля: ( ) = 1 − .

Приравняем ( ) нулю, получим = 1, = 1 = 1 + (0 + 2 ),

откуда = 2 ( = 0, ±1, . . . ) – нули данной функции. Найдем

′( ) |= = − |=2 = −(2 + 2) = −1

Согласно определению, = 2 являются простыми нулями функции

( ) = 1 − .

Пример 4.

Найти нули функции и определить порядок нуля: ( ) = (2 + 1)3 .

( ) = 0, 2 + 1 = 0, 1 = , 2 = −. Функция ( ) представима в виде( ) = ( + )3( − )3 .

1 = : ( ) = ( − )3 (z), ( ) = ( + )3 , ( ) ≠ 0, следовательно, по теор.1 1 = является нулем порядка 3.

следовательно, по теореме 1 2 = − является нулем порядка 3.

Пример 5.

Найти нули функции и определить их порядки:

( ) = (2 − 1)(5 + 83).

( ) = ( − 1)( + 1) 3( + √8 )( − √8 ),

5.2. Классификация изолированных особых точек на основе поведения функции в окрестности особой точки

Определение 3. Точка 0 называется устранимой особой точкой функции( ), если существует конечный предел функции ( ) в точке 0

( ) = .

→ 0

т.е. 0 = 0 – устранимая особая точка.

т.е. 0 = 0 – устранимая особая точка.

Теорема 4. Для того чтобы точка 0 являлась полюсом порядка функции

( 0) ≠ 0.

Замечание. Теорема остается справедливой, если 0 – устранимая особая точка функции ( ) и существует lim→0 ( ) ≠ 0.

Например, если ( ) = , а ( ) = ( ) = , то 0 = 0 – полюс первого порядка для функции ( ).

первого порядка.