3-й семестр / Лекции / 14 - презентация

1, (1) ≠ 0, следовательно, 3 = 1 − полюс 2-го порядка.

Теорема 5. Если функция ( ) представима в виде ( ) = ( ) и точка 0

( )

является нулем порядка для функции ( ) ( 0 = Н( )) и нулем порядка для функции ( ) ( 0 = Н( )), то есть 0 = Н( ), то:

1.если > , то = − есть порядок нуля функции ( ) в точке 0,

2.если < , то = − есть порядок полюса функции ( ) в точке

0,

3.если = , то 0 – устранимая особая точка.

Особыми точками функции ( ) являются 1 = 0 и 2 = 5.

1 = 0. Числитель и знаменатель ( ) обращаются в ноль. Для числителя( ) = число = 0 является нулем 1 порядка, так как ′( ) | =0 = cos | =0 = 1 ≠ 0, то по определению 2 = 0 – простой ноль.

Знаменатель ( ) = z2( − 5)3 по теореме 1 в точке = 0 имеет ноль 2-го порядка. Следовательно, 0 = НН(1)(2) = П(1) – полюс первого порядка (по теореме 5).

В точке = 5 перепишем функцию в виде ( ) = ( −5)( )3, где ( ) = sinzz2 ,

(5) = sin525 ≠ 0, ( ) аналитична, т.е. 2 = НН(0)(3) = П(3) – полюс 3-го порядка.

Пример 2.

z

Найти тип особой точки 0 = 0 функции ( ) = 2+z2−2 .

( ) = , (0) = 0, ′(0) = 1 ≠ 0, 0 = Н(1).

( ) = 2 + z2 − 2 , (0) = 0, ′( ) = 2 − 2 , ′(0) = 0,′′( ) = 2 − 2 , ′′(0) = 0, ′′′( ) = −2 , ′′′(0) = 0,

(4)( ) = −2 , (4)(0) = −2 ≠ 0, 0 = Н(4).

Итак, 0 = НН(1)(4) = П(3) – полюс 3-го порядка.

Пример 3.

1− +1

Найти особые точки функции ( ) и установить их тип: ( ) = z( +1)3. Особыми точками функции ( ) являются 1 = 0 и 2 = −1.

1 = НН(0)(1) = П(1) – простой полюс.

2 = НН(1)(3) = П(2) – полюс 2-го порядка.

Определение 5. Точка 0 называется существенно особой точкой, если не

5.3.Классификация изолированных особых точек

по виду главной части ряда Лорана

∞

( ) = ∑ ( − 0) .

=0

( ), если главная часть разложения ( ) в ряд Лорана в окрестности z0 содержит бесконечно много членов.

В следующих примерах найти все особые точки данных функций и установить их тип.

Пример 1. ( ) = 1−−.

Особая точка ( ): 0 = 0, в этой точке функция не определена. Разложим( ) в окрестности точки 0 = 0, т.е. по степеням z в ряд Лорана:

1−cosz

Пример 2. ( ) = 7 .

Особая точка ( ): 0 = 0. Используя разложение в ряд Тейлора для

Разложение в ряд Лорана функции ( ) в окрестности точки 0 содержит конечное число членов с отрицательными степенями . Следовательно, точка 0 = 0 является полюсом пятого порядка, т. к. наибольший показатель отрицательной степени равен 5.

1

Пример 3. ( ) = ( + 3)3 +3.

Используем разложение

= 1 + + 2 + 3 +. ..

2! 3!

Сделаем замену = + 3, получим лорановское разложение функции

Это разложение содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями ( + 3). Следовательно, точка 0 = −3 является существенно особой точкой функции ( ).

Таблица классификации изолированных особых точек функции

Дополнительные примеры.

1.Определить тип особой точки 0 = 0 для функции ( ) =

1−1 − 1 .

2.Указать тип особой точки 0 для функции ( ) + ( ), если точка 0 является:

а) устранимой особой точкой для ( ) и устранимой особой точкой для ( ); б) устранимой особой точкой для ( ) и полюсом для ( );

в) устранимой особой точкой для ( ) и существенно особой точкой для ( ); г) полюсом для ( ) и существенно особой точкой для ( );

д) полюсом n-го порядка для ( ) и полюсом m-го порядка для

( ).