3-й семестр / Лекции / 14 - презентация

3.Может ли точка 0 быть особой точкой указанных типов для данных функций:

а) полюсом для ( ) и полюсом для ( − 0) ( ); б) полюсом для ( ) и устранимой особой точкой для

( − 0) ( );

в) полюсом для ( ) и существенно особой точкой для

( − 0) ( );

г) существенно особой точкой для ( ) и существенно особой точкой для ( − 0) ( );

д) устранимой особой точкой для ( ) и устранимой особой

ж) устранимой особой точкой для ( ) и существенно особой

точкой для 1 ( )?

−0

4.Пусть точка 0 является полюсом k-го порядка для функции( ). Указать тип особой точки 0 для функции:

а) ( − 0) ( ); б) ( − 0)3 ( );

в) −1 0 ( );

1 г) ( −0)5 ( ).

Решение.

1. Определить тип особой точки 0 = 0 для функции

( ) = 1−1 − 1 .

− +1

( ) = ( −1) . 0 = 0 является нулем для числителя, определим порядок нуля:

( − + 1)′ = − |=0 = 0, ( − )′ = − − |=0 = −1 ≠ 0, следовательно, для числителя это ноль 2-го порядка.

Определим порядок нуля в знаменателе:

(( − 1))′ = + ( − 1) |=0 = 0,+ + − ( − 1) |=0 = 2 ≠ 0,

следовательно, для знаменателя это ноль также 2-го порядка.

0 = 0 = НН(2)(2) = УОТ.

2.Указать тип особой точки 0 для функции ( ) + ( ), если точка 0 является:

а) устранимой особой точкой для ( ) и устранимой особой точкой для ( ).

По определению устранимой особой точки, ряды Лорана функций( ) и ( ) в окрестности точки 0 не содержат главной части, следовательно, ряд Лорана функции ( ) + ( ) также не содержит главной части. Точка 0 является устранимой особой точкой для функции ( ) + ( ).

Аналогично, по определению устранимой особой точки,

lim→0 ( ) = 1, lim→0 ( ) = 2,

lim→0(( ) + ( )) = 1 + 2 = . Точка 0 является устранимой особой точкой для функции ( ) + ( ).

Указать тип особой точки 0 для функции ( ) + ( ), если точка0 является:

б) устранимой особой точкой для ( ) и полюсом для ( );

Ответ: точка 0 − полюс для ( ) + ( ).

в) устранимой особой точкой для ( ) и существенно особой точкой для ( );

Ответ: точка 0 − существенно особая точка для ( ) + ( ). г) полюсом для ( ) и существенно особой точкой для ( ); Ответ: точка 0 − существенно особая точка для ( ) + ( ).

д) полюсом n-го порядка для ( ) и полюсом m-го порядка для ( ).

Ответ: точка 0 − полюс порядка {, } для ( ) + ( ).

3.Может ли точка 0 быть особой точкой указанных типов для данных функций:

а) полюсом для ( ) и полюсом для ( − 0) ( ).

Решение:

По определению полюса, ряд Лорана функции ( ) имеет конечную главную часть, т.е. содержит конечное число членов с отрицательной степенью ( − 0).

Ряд Лорана функции ( − 0) ( ) также содержит конечное число членов с отрицательной степенью ( − 0) или не содержит главной части вовсе.

Т.е. точка 0 может быть полюсом для ( − 0) ( ).

е) Может ли точка 0 быть устранимой особой точкой для ( ) и

полюсом для 1 ( )?

−0

Ответ: да.

ж) Может ли точка 0 быть устранимой особой точкой для ( ) и

существенно особой точкой для 1 ( )?

−0

Ответ: нет.

4.Пусть точка 0 является полюсом k-го порядка для функции( ). Указать тип особой точки 0 для функции:

а) ( − 0) ( ).

Решение.

Если = 1, т.е. точка 0 является простым полюсом для функции( ), то главная часть ряда Лорана для функции ( ) в

окрестности точки 0 содержит одно слагаемое −1 . Тогда ряд

− 0

Лорана функции ( − 0) ( ) не содержит главной части, т.е. точка 0 является устранимой особой точкой функции

( − 0) ( ).

Если ≠ 1, то точка 0 для функции ( − 0) ( ) является полюсом порядка ( − 1).

б) Пусть точка 0 является полюсом k-го порядка для функции( ). Указать тип особой точки 0 для функции ( − 0)3 ( ).

Ответ:

Если ≤ 3, то точка 0 является устранимой особой точкой функции ( − 0)3 ( ).

Если > 3, то точка 0 является полюсом порядка ( − 3).

в) Пусть точка 0 является полюсом k-го порядка для функции

− 0

Ответ:

Точка 0 является полюсом порядка ( + 1).