3-й семестр / Лекции / 07 - презентация
.pdf
6.6.3. Вычисление значения производной функции в точке
Если ( ) представима степенным рядом, то это ряд Тейлора (в силу теоремы единственности разложения).
∑∞=0 |
( − 0) = ∑∞=0 |
( )( 0) |
( − 0) , следовательно, |
|
! |
||||
|
|
|
( )( 0) = ∙ !
Пример 11. ( ) = sin .
Найти (41)(0), (30)(0).
Разложим функцию в степенной ряд в окрестности 0 = 0, т.е. в ряд Маклорена:
( |
) |
|
1 |
|
3 |
|
5 |
|
∑∞ |
|
|
2 |
|
= |
|
( − |
|
+ − ) = |
|
|
. |
||||||
|
|
|
3! |
=0(−1) |
|
(2 +1)! |
|||||||
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
||||
Ряд |
|
содержит |
только четные |
степени , |
все нечетные |
||||||||
коэффициенты равны нулю, следовательно (41)(0) = 0.
(30)(0) = 30 ∙ 30! = ( = 15) = − 31!1 ∙ 30! = − 311 .
Разбор примерного варианта контрольной работы №1
Вариант 0 (задание 4)
1. Разложить функцию = 2 ( 3) в ряд Тейлора в точке
2
0 = 0, указать область его сходимости. Воспользуемся тригонометрической формулой:
|
|
|
2 |
|
3 |
1 |
( |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
||||||
|
|
|
|
( |
2 |
) = |
2 |
1 + |
, а затем табличным разложением |
|||||||||||||
функции в ряд Тейлора: |
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
1 |
+ |
1 |
|
3 = |
1 |
+ |
1 |
∑∞=0(−1) |
( 3)2 |
= |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
(2 )! |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||
1 |
+ |
1 |
∑∞=0(−1) |
( )6 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )! |
|
|
|
|
|
|||||||
Область сходимости полученного ряда (−∞, +∞).
2. Разложить |
функцию |
= ∙ 3 в ряд |
Тейлора в точке |
||||||
0 = 1, указать область его сходимости. |
|
||||||||
Сделаем |
замену |
= − 1, = + 1 |
и воспользуемся |
||||||
табличным разложением функции : |
|
|
|||||||
( |
) |
3( +1) |
( |
) |
3 |
∙ |
3 |
= |
|
= + 1 ∙ |
|
= + 1 ∙ |
|
|
|
||||
( |
|
) |
|
3 |
|
∑∞ |
(3 ) |
|
3 |
|
∑∞ |
3 +1 |
|
∑∞ |
3 |
+ 1 |
∙ |
∙ |
|
= |
∙ ( |
+ |
|
||||||||
= |
|
|
=0 |
! |
|
=0 |
=0 |
! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|||
) ,
Вернемся к исходной переменной:
= 3 ∙ (∑∞=0 |
3 ( −1)+1 |
+ ∑∞=0 |
3 ( −1) |
) |
! |
|
|||
|
|
! |
||
Область сходимости полученного ряда (−∞, +∞).
3. Разложить функцию = 1−23 в ряд Тейлора в точке 0 = 2,
указать область его сходимости. Сделаем замену = − 2, = + 2:
= |
|
2 |
|
= |
2 |
|
= − |
|
2 |
∙ |
1 |
, далее воспользуемся табличным |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1−3( +2) |
−5−3 |
|
5 |
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
разложением функции |
1 |
= ∑∞=0(−1) ∙ : |
||||||||||||||||||||||||
1+ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
∑∞=0(−1) ∙ ( |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= − |
∙ |
) . Возвращаясь к исходной |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
переменной, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
∙ ∑∞=0(−1) ∙ ( |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= − |
|
|
( − 2)) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 2 |
∑∞=0(−1) +1 ∙ |
3 |
( − 2) . |
|||||||||||||||||||||||
5+1 |
||||||||||||||||||||||||||
Чтобы найти область сходимости полученного ряда, необходимо
решить неравенство: | |
3 |
| < 1 | | < |
5 |
|
− |
5 |
< − 2 < |
5 |
, |
||||||||
5 |
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||
− |
5 |
+ 2 < < |
5 |
+ 2 |
1 |
< < |
11 |
. |
|
|
|
|
|
||||
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
4.Разложить функцию = ln(3 + 4) в ряд Тейлора в точке0 = −1, указать область его сходимости.
Сделаем замену = + 1, = − 1:
= ln(3( − 1) + 4) = ln(1 + 3 ), далее воспользуемся табличным разложением функции
( |
|
) |
|
∑∞ |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln 1 + |
|
= |
|
=1(−1) ∙ |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
|
|
|
) |
|
∑∞ |
−1 |
|
(3) |
|
∑∞ |
−1 |
|
3 |
||||
= ln |
1 + 3 |
|
= |
=1(−1) |
|
|
|
|
∙ |
|
= |
=1(−1) |
|
∙ |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возвращаясь к исходной переменной, получим:
= ∑=1∞ |
(−1)−1 ∙ |
3 (+1) |
. |
|
|||
|
|
|
|
Чтобы найти область сходимости полученного ряда,
необходимо решить неравенство: −1 < 3 ≤ 1 |
− |
1 |
< ≤ |
1 |
||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
1 |
< + 1 ≤ |
1 |
− |
1 |
− 1 < ≤ |
1 |
− 1 − |
4 |
< ≤ − |
2 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||