3-й семестр / Лекции / 07 - презентация
.pdf
6.3. Единственность представления функции степенным рядом
Теорема 3. Если функция ( ) представима на некотором интервале с центром в точке 0 степенным рядом:
( ) = ∑∞=0 ( − 0) ,
то этот ряд является рядом Тейлора этой функции.
Доказательство. Полагая = 0, получим ( 0) = 0.
Применим к данному степенному ряду теорему о почленном дифференцировании:
′( ) = ∑∞=1 ∙ ∙ ( − 0) −1, ′( 0) = 1, 1 = ′(1!0).
( |
|
) |
= |
∑∞ |
∙ ( − 1) ∙ ( − 0) |
−2 |
, |
( |
) |
= 2 2 |
, |
2 = |
′′ |
|
=2 |
|
′′ 0 |
|
′′( 0). 2!
…
( )( ) = ∑∞= ∙ ( − 1) ∙ … ∙ ( − + 1)( − 0)−,
( )( 0) = ∙ ( − 1) ∙ … ∙ 2 ∙ 1, = ( )( 0).
!
Т.е. данный ряд является рядом Тейлора этой функции. Теорема доказана.
6.4. Разложение основных элементарных функций
Получим разложения в ряды Маклорена основных элементарных функций.
1). ( ) = .
( )( ) = , ( )(0) = 1 .
= 1 + + |
2 |
+ + |
|
+ = ∑=0∞ |
|
. |
|
|
|
|
|
2! |
! |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
||||
Найдем область сходимости данного ряда. |
|
|
|
|
|||||||
Применим |
признак |
|
Даламбера: |
|
lim→∞ |
| +1| |
∙ |
! |
= | | ∙ |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( +1)! |
| | |
||||||||
lim |
1 |
|
= 0 < 1, . Область сходимости (−∞, +∞). |
|
|||
→∞ +1 |
|
||
2). ( ) = sin .
(0) = 0.
′( ) = cos , ′(0) = 1.
′′( ) = −sin , ′′(0) = 0.
′′′( ) = −cos , ′′′(0) = −1.
…. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin = − |
3 |
+ |
5 |
− = ∑∞=0(−1) |
2 +1 |
. |
|||||||
3! |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
(2 +1)! |
||||
lim →∞ |
| 2 +3| |
∙ |
(2 +1)! |
= lim |
2 |
|
= 0 < 1. |
||||||
(2 +3)! |
| 2 +1| |
|
|
|
|||||||||
|
|
→∞ |
(2 +2)(2 +3) |
||||||||||
Область сходимости (−∞, +∞).
3). ( ) = .
(0) = 1.
′( ) = −sin , ′(0) = 0.′′( ) = −cos , ′′(0) = −1.
′′′( ) = , ′′′(0) = 0…
cos = 1 − |
2 |
+ |
4 |
− = ∑∞=0(−1) |
|
2! |
4! |
||||
|
|
|
2 .
(2 )!
Аналогично предыдущему примеру находится область сходимости: (−∞, +∞).
4). ( ) = ln(1 + ). (0) = 0.
′( ) = 1+1 , ′(0) = 1.
′′( ) = − (1+1 )2 , ′′(0) = −1.
2
′′′( ) = (1+ )3 , ′′′(0) = 2.
|
(4)( ) |
|
|
|
2∙3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − (1+ )4 , ′′′(0) = 3! |
… |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
( )( ) |
|
|
|
−1 |
|
( −1)! |
|
( ) |
|
|
−1 |
|
( |
) |
||||||
|
|
= (−1) |
|
|
|
|
(1+ ) |
, |
|
(0) = (−1) |
∙ |
|
− 1 ! |
||||||||
|
( |
|
) |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
∑∞ |
−1 |
|
|
|||||
ln 1 + |
|
= − |
2 |
|
+ |
3 |
− = |
=1(−1) |
|
∙ |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По радикальному признаку Коши легко определить область сходимости: (−1,1].
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5). |
|
= (1 + ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( −1) |
|
2 |
|
|
(−1)…(− +1) |
|
|
|
|
(1 + ) |
|
= 1 + + |
|
|
|
+ + |
|
|
|
+ , |
|||
|
2! |
|
! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(−1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6). Последнее разложение при = −1 принимает вид: |
|
||||||||||||
1 |
= 1 − + 2 |
− 3 + = ∑=0∞ |
(−1) ∙ , (−1,1). |
||||||||||
|
|||||||||||||
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7). При замене на – получим еще одно разложение |
|
||||||||||||
1 |
= 1 + + 2 |
+ 3 + = ∑=0∞ |
, (−1,1). |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8). При |
разложении |
гиперболических |
|
функций используем |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 ( |
|
|
|
−) |
1 ( |
|
|
|
−) |
|
|||||
формулы: sh = |
2 |
|
|
|
− |
, ch = |
2 |
|
|
|
+ |
|
и разложения |
||||||||
функций и − в ряд Маклорена: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
sh = + |
|
3 |
+ |
5 |
|
+ = ∑=0∞ |
2 +1 |
, (−∞, +∞), |
|||||||||||||
3! |
5! |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 +1)! |
|
|
|
|
|
|||||||
ch = 1 + |
|
2 |
+ |
4 |
|
+ = ∑=0∞ |
2 |
, (−∞, +∞). |
|
||||||||||||
2! |
4! |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2)! |
|
|
|
|
|
|||||||
6.5.Методы разложения функции в ряд Тейлора
6.5.1.Использование таблицы разложений основных элементарных функций Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию:
( ) |
= |
|
2 |
|
( 0 = 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Преобразуем функцию: |
2 |
|
= |
2 |
∙ |
1 |
|
и воспользуемся табличным |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3− |
|
|
3 |
1− |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
разложением 7), заменяя переменную на |
: |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
∑∞ |
|
|
|
∑∞ |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
∙ |
|
|
|
= |
|
|
∙ |
=0 |
|
|
|
= |
|
=0 |
|
+1 |
. |
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
1− |
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
Для нахождения области сходимости данного ряда к исходной функции решим неравенство: −1 < 3 < 1 −3 < < 3.
Пример |
2. |
Разложить |
в |
|
ряд Тейлора в |
окрестности точки |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( 0 = 1) функцию: |
|
3− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сделаем замену: = − 1 |
|
= + 1: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
( ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 3−( +1) = |
2− |
и разложим |
эту |
функцию в |
окрестности |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
точки ( = 0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( ) |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
∑∞ |
|
|
|
|
|
( ) |
|
∑∞ |
( −1) |
|
|
|||||
= |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 |
, |
|
=0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
2− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
1−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Область сходимости: −1 < |
|
|
< 1 |
−2 < < 2 |
−2 < − |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 < 2 −1 < < 3.