2. Два последовательно соединенных аппарата идеального смешения

С₀₁

С₂₁

С₁₁

С₂₂

С₁₂

2

1

C_ij (i – индекс реактора, из которого выходит поток, j – индекс вещества)

Записываем уравнения по всем веществам и реакторам.

Дано: С₀₁, , константы скорости, суммарный объем (V_Σ)

Производительность по целевому продукту П= С₂₂

Найти объемы каждого реактора.

Определяем согласно условию задачи критерий оптимальности и оптимизирующий фактор.

П_MAXA₂ – критерий оптимальности

V₁ – оптимизирующий фактор.

V_Σ = V₁ + V₂

V₁ =

V₂ =

Алгоритм нахождения целевой функции

1) Задаём V₁, находим t₁, далее находим С₁₁ и С₁₂, решая совместно уравнения 1 и 2.

2) Из уравнения 3 и 4, находим t₂ С₂₁ и С₂₂

3) V₂= V_Σ -V₁

Затем снова задаём V₁ и повторяем алгоритм нахождения целевой функции (эта операция повторяется до достижения П_maxC₂₂)

При нулевом значении объема первого аппарата каскад будет состоять из одного второго аппарата идеального смешения объемом V, при максимальном объеме первого аппарата, объем второго аппарата равен нулю, и снова реакция протекает в одном аппарате идеального смешения, объемом V. Так что, по краям интервала степень превращения будет одинаковой и определяться характеристиками процесса. Между экстремальными точками присутствует и первый, и второй аппарат каскада и система представляет собой ячеечную модель, которая по своим свойствам находится между аппаратом идеального смешения и идеального вытеснения. А степень превращения в аппарате идеального вытеснения больше, чем в аппарате идеального смешения. Так что, нужно ожидать появления максимума степени превращения на рассматриваемом интервале соотношения объемов аппаратов.

График зависимости температуры от времени пребывания смеси в РИС/РИВ с теплоотводом

∆Q>0

∆Q=0

∆Q<0

Графики зависимости T – t приведены на рисунке. Выпуклые кривые соответствуют экзотермической реакции. Вогнутые кривые – термически нейтральной и эндотермической реакции. Все графики в пучке начинаются с температуры входного потока, а заканчиваются при бесконечном времени пребывания температурой стенки (по второму закону термодинамики – теплота не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому). К этому времени реакция окончена и тепло уже не генерирует.

Сканирование – метод, близкий к перебору, но применяемый к непрерывным функциям. Данный метод оптимизации наиболее часто используется при поиске максимума/минимума функции. Для этого достаточно задаться пределами изменения фактора х от а до b, где а и b – ограничения, которые устанавливаются в любой задаче. При это сам интервал [а, b] называется интервалом неопределенности. В реальных задачах именно определение данного интервала (а не конкретной точки экстремума) является основной задачей, поскольку точность большинства аппаратов на производстве не позволяет задавать и поддерживать в процессе определенное значение изменяемого фактора (например, температура реакции отслеживается в заданном диапазоне, а не точное значение).

Методом сканирования задача установления интервала неопределённости решается следующим образом. Выбираем целое число q – число значений целевой функции, которое придется рассчитывать. Находим интервал ∆x:

Поиск экстремума сканированием:

a, b – границы интервала неопределенности

Откладываем от точки а до точки b интервалы ∆х. Концы каждого интервала назовем узлами; на рис. каждый узел обозначен крестиком.

В каждом узле рассчитываем F(х). Теперь мы можем принять за максимум наибольшее из полученных значений – на рисунке это 4-я точка слева. К концу расчета интервал неопределенности δ составит 2∆х: истинный максимум может лежать либо справа, либо слева от полученной наилучшей точки (штрихи на рис.). Таким образом,

δ =2 .

Данная формула определяет эффективность метода. При сканировании для достижения достаточно малого значения δ величина q должна быть велика. Метод малоэффективен, но удобен для первоначального исследования функции, поскольку дает возможность представить ее вид на всем отрезке, установить число экстремумов и их локализацию.

Более эффективно сканирование с переменным шагом: сократив интервал неопределенности, мы продолжаем поиск внутри этого интервала, уменьшая в свою очередь ∆х. Например, двигаясь от а к b и дойдя до 5-й слева точки, можно двинуться в обратном направлении меньшими шагами; затем эту процедуру можно продолжить, снова двигаясь вправо и снова уменьшив шаги и т.д. Такой вариант часто называют методом тяжелого шарика.

Сканированием можно исследовать функции более чем одного фактора. Так, участок на плоскости (факторное пространство для двух факторов) можно покрыть сетью узлов и таким образом исследовать поведение функции на этом участке. В принципе это возможно в любом n-мерном пространстве, но по мере увеличения n резко растет число необходимых расчетов и падает эффективность метода.