10 Электромагнитные волны в вакууме

Лекция № 10

Электромагнитные волны в вакууме.

1. Свободное электромагнитное поле в вакууме

Переменное электрическое поле создает вокруг себя переменное магнитное поле. В свою очередь, переменное магнитное поле создает вокруг себя электрическое поле, которое также переменно. Возникает вопрос: не могут ли переменные электрическое и магнитное поля, поддерживая друг друга, существовать в вакууме без зарядов и токов? Математически вопрос сводится к тому, имеют ли уравнения Максвелла для полей в вакууме

E rotB = 0 0 t ;

rotE = - B ;

t

divE = 0; divB = 0

решения, отличающиеся от тривиального B = 0, E = 0? Ответ гласит, что такие решения существуют и их бесконечно много.

Чтобы убедиться в этом, исключим из уравнений одно из полей, например, индукцию B. Применим для этого операцию rot к обеим частям второго уравнения:

rotrotE = - rotB.

t

где c2 = 1/( 0 0). Такому же уравнению удовлетворяет в вакууме и индукция B

2B = 1 2B . c2 t2

Эти уравнения называются волновыми. Покажем теперь, что волновое уравнение имеет бесчисленное множество нетривиальных решений. Для простоты рассмотрим случай, когда поля зависят только от одной декартовой координаты х. Тогда одномерное волновое уравнение имеет вид

Решение этого уравнения имеет вид

f(x,t) F1(x ct) F2 (x ct),

где F1 и F2 произвольные функции. При этом функция F1(x-ct) описывает волну, распространяющуюся со скоростью с вдоль положительной оси х, а функция F2(x+ct) - волну, распространяющуюся с той же скоростью в противоположном направлении.

________________________________________________________________________________

движется в направлении возрастающих значений z, т.е. z в (10) при увеличении t также увеличивается. Второй член равенства (9) описывает волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси Z.

Решения уравнения (2) находятся аналогично. Поэтому для векторов напряженностей электромагнитной волны, распространяющейся в положительном направлении оси Z, можно

где E0 и H0 - амплитуды напряженности поля.

Формулы (11) показывают, что плоские волны в вакууме распространяются без изменения амплитуды, т.е. без затухания. Фазовая скорость волны находится с помощью дифференцирования уравнения (10) по времени

vф= dz 1 =с. dt k

Выражение (7), записанное как =ck, определяет закон дисперсии электромагнитных волн в вакууме. Из него следует, что групповая скорость волны

d vгр= d =с.

Это значит, что скорости распространения vф и vгр не зависят от частоты , а волновые пакеты (суперпозиции плоских монохроматических волн с разными частотами) распространяются в вакууме без изменения формы.

Формулы (11) записаны при специальном выборе системы координат, когда ось Z совпадает с направлением распространения волны. От этого ограничения можно освободиться, введя волновой вектор k, который по направлению совпадает с распространением волны, а по значению определяется выражением (6). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Z, модуль векторов E и H в любой точке плоскости, перпендикулярной оси Z, один и тот же. Пусть r - радиус-вектор некоторой точки на такой

________________________________________________________________________________

плоскости постоянной фазы. Очевидно, что kz = kr и, следовательно, вместо (11) можно написать

E(r,t) E0ei( t kr), H(r,t) H0ei( t kr). (12)

Эти формулы описывают напряженность электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны, распространяющейся в направлении вектора k . Частота волны равна , а длина волны дается формулой = 2 /k.

3. Свойства плоских монохроматических волн

Для исследования свойств плоских волн запишем уравнения Максвелла в комплексном виде.

Предварительно выведем несколько математических преобразований

divE0ei( t kr) ei tE0div(e ikr) ei tE0 (e ikr) ei tE0 ( ik)(e ikr) ikE, divE E ikE,

rotE0ei( t kr) ei tE0rot(e ikr) ei tE0 (e ikr) ei t( ik) E0 (e ikr) ik E, rotE E ik E,

E E0ei( t kr) i E.t t

Итак, применение дифференциальных операторов div, rot, / t к экспоненциальным функциям не меняет их вида. Измеряемыми физическими величинами являются при этом действительные части соответствующих комплексных выражений.

Теперь применим эти преобразования к уравнениям Максвелла

Равенство нулю скалярных произведений kE и kH означает, что векторы напряженностей электрического и магнитного полей в случае плоской волны лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Если ввести единичный вектор n = k/k, направленный по распространению волны, то уравнение k E= 0 H

приобретает вид

Отсюда видно, что векторы E и H перпендикулярны друг другу. Ранее было показано, что они оба перпендикулярны n. Из равенства (13) следует, что векторы E, H, n составляют правовинтовую тройку взаимно перпендикулярных векторов.

________________________________________________________________________________

E

n

H

Из (14) можно заключить, что векторы Е и Н в плоской волне в вакууме изменяются в одной фазе.

Найдем объемную плотность энергии электромагнитного поля

где учтено равенство (14).

Выражение для вектора Пойнтинга можно записать в виде

S=cw, S=wc .

Таким образом, скорость движения энергии в вакууме равна фазовой скорости волны - скорости света.

Все приведенные выше рассуждения остаются в силе и при рассмотрении распространения плоской монохроматической волны в диэлектрике. Только вместо скорости

света с во всех выражениях будет фигурировать скорость v = c/ , а там, где стоят значения постоянных 0 и 0 , появятся произведения 0 и o .

4.Поляризация плоской волны

Вплоской монохроматической волне электрическое и магнитное поля направлены перпендикулярно направлению распространения волны. В таких случаях говорят о волне с поперечной поляризацией, или просто о поперечной волне.

Подробнее изучим свойства амплитуды Е0 плоской монохроматической волны. При

комплексном описании поля Е=Eo ei 0 - комплексный вектор, который может быть разложен на два действительных вектора

где E1, E2 - два вещественных вектора, ортогональные к направлению распространения волны.

Выберем E1 и E2 так, чтобы они были взаимно перпендикулярны. Формула

E= Re{E0expi( t-kr)}

означает тогда, что электрическое поле монохроматической волны всегда можно представить в виде суперпозиции двух полей, направленных вдоль двух взаимно перпендикулярных постоянных векторов и изменяющихся, как cos( t-kr) и sin( t-kr), т.е. со сдвигом по фазе на В случае вещественного Eo (т.е. E2=0) говорят о линейной

________________________________________________________________________________

поляризации волны. Таким образом, можно сказать, что в общем случае поле плоской монохроматической волны представляет собой суперпозицию двух взаимно перпендикулярных полей, соответствующих двум линейно поляризованным волнам, причем разность фаз полей равна .

Наличие трех взаимно перпендикулярных векторов k, E1, E2 позволяет естественным образом выбрать декартову систему координат, орты которой направлены вдоль этих векторов. А именно: направим ось z вдоль k (на нас), ось х - вдоль E1 и ось у - вдоль E2 (правовинтовая система координат).

Y

описывает с течением времени эллипс, полуоси которого равны E1 и E2. Вращение этого вектора происходит либо по часовой стрелке (если вектор E2 параллелен оси У), либо против нее (если вектор -E2 параллелен оси У). В первом случае говорят о правополяризованной волне, а во втором - о левополяризованной.

Магнитный вектор также описывает эллипс, оси которого повернуты относительно осей электрического вектора на , а направления вращения Е и Н совпадают.

В частном случае, когда Е1=Е2, эллиптическая поляризация вырождается в круговую, которая также может иметь два направления вращения. При Е1 0, Е2=0 или Е1=0, Е2 0 поляризация называется линейной - электрический и магнитный векторы колеблются вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений.

Отметим, что при фиксированном k возможны две независимые поляризации плоской монохроматической волны - эллиптическая (в частном случае круговая) с правым и левым направлениями вращения или две линейные поляризации во взаимно перпендикулярных направлениях.