Лекция № 7Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть имеем матрицу . Рассматривая элементы каждой строки как координатымерных векторовсоответственно, матрицуможно записать в виде матрицы-столбца. Наибольшее число линейно независимых векторов во множестве {} называют строчным рангом матрицы.

Если же в матрице элементы каждого столбца рассматривать как координатымерных векторов, то матрицуможно записать в виде матрицы-строки=(). Наибольшее число линейно независимых векторов во множестве {} называют столбцовым рангом матрицы. Можно доказать, что строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны. Их общее значение называют рангом матрицыи обозначают символом.

Однако находить ранг матрицы по определению часто бывает неудобно из-за трудоемкости. Обычно для определения ранга матрицы ее преобразовывают к ступенчатому виду, который сразу позволяет определить линейную зависимость или независимость ее строк или столбцов.

Матрицей ступенчатого вида называют матрицу , обладающую свойством: если- первый ненулевой элементстроки, то все элементы матрицы, стоящие ниже и левее, равны нулю (т.е,при всех). При этом элементыназывают угловыми. Например, матрицаявляется матрицей ступенчатого вида. В первой строке первым отличным от нуля элементом является. Все элементы, стоящие ниже его равны нулю:. Во второй строке первым отличным от нуля элементом является. Все элементы, стоящие ниже и левее равны нулю:,. В третьей строке первый отличный от нуля элемент, а. В четвертой строке все элементы нулевые. Таким образом, угловыми элементами матрицы, имеющей ступенчатый вид, являются. Матрицане является матрицей ступенчатого вида, так как для первого отличного от нуля элемента второй строкиэлемент, стоящий ниже, отличен от нуля.

Рассмотрим преобразования, не меняющие ранга матрицы, т.е. не меняющие линейной зависимости (независимости) строк или столбцов матрицы. К ним относятся следующие преобразования, которые называют элементарными:

1. отбрасывание нулевой строки (столбца);

2. изменение порядка строк (столбцов);

3. транспонирование матрицы;

4. умножение всех элементов строки (столбца) на любое число ;

5. умножение всех элементов одной строки (столбца) на любое число и прибавление их к соответствующим элементам другой строки (столбца).

Можно доказать, что с помощью перечисленных выше преобразований любая матрица приводится к ступенчатому виду. При этом ее ранг будет равен числу угловых элементов матрицы.

Систему, состоящую из уравнений снеизвестнымивида

(1)

называют системой линейных уравнений. В ней - заданные числа. Решением такой системы называется набор чисел, при подстановке которых в систему, каждое из уравнений превращается в верное равенство. Решить систему уравнений (1) – значит найти множество всех решений или доказать, что система не имеет решений. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; в противном случае – несовместной.

Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают. В противном случае системы называют неэквивалентными.

Если , то систему (1) называют однородной; в противном случае (т.е. если хотя бы одно из чиселне равно нулю) – неоднородной.

Матрицу называют матрицей системы (1); матрицуназывают расширенной матрицей системы (1); матрицуназывают матрицей неизвестных, а матрицу- матрицей свободных членов. Нетрудно заметить, что систему (1) можно записать в матричной форме в виде

. (2)

Если в системе (1) число неизвестных совпадает с числом уравнений () и, то систему можно решить методом Крамера по формулам,, …,, где,определители, полученные иззаменойго столбца столбцом свободных членов.