Симплекс
.docx-
Симплекс-метод.
Для начала работы
требуется, чтобы заданная система
ограничений выражалась равенствами,
причём в этой системе ограничений должны
быть выделены базисные неизвестные.
Решение задачи симплекс-методом
распадается на ряд шагов. На каждом шаге
от данного базиса Б переходят к другому,
новому базису Б1
с таим расчётом, чтобы значение функции
Z
уменьшилось, т.е.
.
Для перехода к новому базису из старого
базиса удаляется одна из переменных и
вместо нее вводится другая из числа
свободных. После конечного числа шагов
находится некоторый базис Б(k),
для которого
есть искомый минимум для линейной
функции Z,
а соответствующее базисное решение
является оптимальным либо выясняется,
что задача не имеет решения.
4.1 Алгоритм симплекс-метода.
Рассмотрю систему ограничений и линейную форму вида:
(4.1)
(4.2)
,
.
(4.3)
Используя метод Жордана-Гауса, приведём записанную систему к виду, где выделены базисные переменные.
Введём условные обозначения:
– базисные
переменные;
– свободные
переменные.
(4.4)
.
(4.5)
По последней системе ограничений построим табл. 4.1.
Таблица 4.1
Симплекс-таблица
|
Свободные неиз- вест- ные Базисные неизвестные |
Свободный член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная таблица называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие преобразования связаны с изменением содержания этой таблицы.
Алгоритм симплекс-метода сводится к следующему.
1. В последней строке симплекс-таблицы находится наименьший положительный элемент, не считая свободного члена. Столбец, соответствующий этому элементу, считается разрешающим.
2. Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят наименьшее из этих симплекс-отношений, оно соответствует разрешающей строке.
3. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент.
4. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс-отношений, то выбирают любое из них, то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам последней строки симплекс-таблицы.
5. После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей стоке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится свободной переменной, и наоборот. Симплекс таблица преобразована следующим образом
Таблица 4.2
Симплекс-таблица
|
Свободные неиз- вест- ные Базисные неизвестные |
Свободный член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Элемент табл. 4.2 соответствующий разрешающему элементу табл. 4.1, равен обратной величине разрешающего элемента.
7. Элементы строки табл. 4.2, соответствующие элементам разрешающей стоки табл. 4.1, получаются путём деления соответствующих элементов табл. 4.1 на разрешающий элемент.
8. Элементы столбца табл. 4.2, соответствующие элементам разрешающего столбца табл. 4.1, получаются путём деления соответствующих элементов табл. 4.1 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.
9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника: мысленно вычерчиваем прямоугольник в табл.4.2, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом, а другая – с элементом, образ которого мы ищем; остальные две вершины определяются однозначно. Тогда искомый элемент табл. 4.2 будет равен соответствующему элементу табл. 4.1 минус дробь в знаменателе который стоит разрешающий элемент, а в числителе произведение элементов из двух неиспользованных вершин прямоугольника.
10. Как только получится таблица, в которой в последней стоке все элементы отрицательны, считается, что минимум найден. Минимальное значение функции равно свободному члену в строке целевой функции, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные в этом случае равны нулю.
11. Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).
5. Методы нахождения опорного решения задачи линейного программирования.
5.1. Метод искусственного базиса.
Сформулированный выше алгоритм Симплекс-метода можно применять лишь в том случае, если выделено первое допустимое решение, т.е. исходная задача линейного программирования приведена к виду
При этом
,
тогда, положив свободные неизвестные
равными нулю, получаем опорное решение
.
Рассмотрю метод
нахождения опорного решения, основанный
на введении искусственных переменных.
Для этого запишем задачу линейного
программирования в общем виде. Будем
рассматривать задачу с числом неизвестных
и
ограничениями:
(5.1)
Перепишем систему
(5.1) в другом виде. Для этого введём
искусственные переменные
так, чтобы был выделен базис. Тогда
система примет вид
(5.2)
Системы (5.1) и (5.2)
будут эквивалентны в том случае, если
все
,
для
будут равны 0. Кроме того, считаю, что
все
для
.
В противном случае соответствующие
ограничения из системы (5.1) умножим на
– 1. Для того чтобы
были равны 0, мы должны преобразовать
задачу таким образом, чтобы все
искусственные переменные
перешли
в свободные неизвестные.
В этом случае система (5.2) после преобразования примет вид:
(5.3)
От системы (5.2) к системе (5.3) всегда можно перейти шагами симплекс-метода. При таком переходе в качестве линейной формы рассматривают функцию
,
(5.4)
равную сумме
искусственных переменных. Переход
заканчивают, когда
и все искусственные переменные
переведены в свободные неизвестные.
Анализ вариантов решений
1. Если
,
а все
переведены в свободные переменные, то
задача не имеет положительного решения.
2. Если
,
а часть
осталась в базисе, то для перевода их в
свободные необходимо применять
специальные приёмы.
В симплекс-таблице,
соответствующей системе (5.3), после того
как
,
а все
- свободные, вычёркивают строку для
и столбцы для
и решают задачу для исходной линейной
формы
.
Рекомендуется вводить минимум искусственных переменных.
5.2. Второй алгоритм отыскания опорного плана.
Пусть задача линейного программирования записана в каноническом виде:
(5.5)
(5.6)
,
,
,
.
Построим первую таблицу Жордана-Гаусса для задач (5.5) и (5.6). Для единообразия вычислительной процедуры к исходной таблице приписываем строку целевой функции:
(5.7)
После приведения системы ограничений к единичному базису целевая функция, как и базисные переменные, будет выражена через свободные переменные. Аналогичным приёмом я пользовался, когда решали задачи графическим методом с числом переменных более двух.
Алгоритм метода
1. Запишем задачу
в форме (5.7), при этом все элементы столбца
свободных членов
должны быть неотрицательны
,
.
Уравнения системы (5.5), в которых свободные
члены отрицательны, предварительно
нужно умножить на – 1.
2. Таблицу (5.7) преобразуем шагами Жордана-Гаусса исключений. При этом на каждом шаге разрешающим может быть выбран любой столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент. Строка целевой функции на выбор разрешающих столбцов влияние не оказывает.
3. Разрешающая строка определяется по наименьшему из отношений свободных членов к элементам разрешающего столбца.
4. В процессе преобразований вычёркиваем строки, состоящие из одних нулей.
5. Если в процессе преобразований встречается строка, все элементы которой нули, а свободный член отличен от нуля, то задача не имеет решения. Если встретится строка, в которой, кроме свободного члена, других положительных элементов нет, то говорят, что задача не имеет положительных решений.
Пояснение. В п.1.1 алгоритма предполагается, что все элементы столбца свободных членов неотрицательны. Это требование необязательно. В случае когда в столбце свободных членов встречаются отрицательные числа, будем пользоваться теоремой.
Теорема. Если разрешающий элемент выбирать по наименьшему положительному симплекс-отношению, то после шага Жордана-Гаусса свободный член в разрешающей строке становится положительным, а остальные члены сохраняют свой знак.
Выбор разрешающего элемента производят иначе, а именно.
1. Просматривают строку, соответствующую какому-либо отрицательному свободному члену. Выбирают в ней какой-либо отрицательный элемент – соответствующий этому элементу столбец будет разрешающим.
2. Выбор разрешающего элемента производится по минимальному положительному симплекс-отношению. Если задача разрешима, то через конечное число шагов получают первое допустимое решение и можно применять симплекс-метод.
В некоторых случаях найденное таким образом первое допустимое решение является также и оптимальным решением.