Динамика вращательного движения

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ - φ₁) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет 

В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями 

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ - φ₁) складываемых колебаний. 

Сложение взаимно-перпендик. Колебаний. Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде  где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как 

и заменяя во втором уравнении на и  sinwt на  получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осей произвольно: Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Сложное периодическое движение — сложное колебание — можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Существуют математические методы обработки сложных колебаний. Фурье предложил метод разложения любой периодической функции в ряд гармонических функций, периоды которых кратны периоду сложного колебания. Разложение сложного колебания на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания. Пример сложного колебания x(t), которое раскладывается на сумму двух гармонических колебаний, представлен на рис. 10.4.

10.Собственные колебания, свободные колебания, колебания в механической, электрической или какой-либо другой физической системе, совершающиеся при отсутствии внешнего воздействия за счёт первоначально накопленной энергии (вследствие наличия начального смещения или начальной скорости). Характер С. к. определяется главным образом собственными параметрами системы (массой, индуктивностью, ёмкостью, упругостью). В реальных системах вследствие рассеяния энергии С. к. всегда затухающие, а при больших потерях они становятся апериодическими. 

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида  в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний  или её квадрата.

Логарифмический декремент колебаний — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону: Логарифмический декремент колебаний равен декременту, умноженному на период колебаний:

λ = δT

Вынужденные колебания, колебания, возникающие в какой-либо системе под действием переменной внешней силы (например, колебания мембраны телефона под действием переменного магнитного поля, колебания механической конструкции под действием переменной нагрузки и т.д.). Характер В. к. определяется как характером внешней силы, так и свойствами самой системы. В начале действия периодической внешней силы характер В. к. изменяется со временем (в частности, В. к. не являются периодическими), и лишь по прошествии некоторого времени в системе устанавливаются периодические В. к. с периодом, равным периоду внешней силы (установившиеся В. к.). Установление В. к. в колебательной системе происходит тем быстрее, чем больше затухание колебаний в этой системе.

уравнение вынужденных колебаний

Y”+ 2δy’+ ω₀² y=Fmax/m* cos(ωt)

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.

11. Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебания частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. В продольных волнах вследствие совпадения направлений колебаний частиц и волны появляются сгущения и разрежения. Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли  Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер.

^{Расстояние  , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны . Очевидно, что =vТ, (1.1)}

^{где v – скорость волны, Т – период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2П. Заменив в соотношении (1.1) Т через 1/  (  – частота колебаний), получим =  v} 

^{В 1826 г. Колладон и Штурм произвели на Женевском озере следующий опыт. На одной лодке производилась вспышка пороха и одновременно молоток ударял по колоколу, опущенному в воду. На другой лодке, находившейся на расстоянии 14 км от первой, измерялось время между вспышкой и появлением звука в рупоре, также опущенном в воду. Скорость звука в воде при 8°С оказалась равной 1435 м/с.Измеряя запаздывание звука по сравнению со светом, можно получить правильное значение скорости звука, очевидно, лишь в том случае, если временем распространения света можно пренебречь. В условиях обычных наблюдений это допущение вполне приемлемо, ибо, как показывают измерения, скорость распространения световых и вообще электромагнитных волн в вакууме (а практически и в воздухе) равна приблизительно 300000 км/с.}

^{Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями первого порядка по координатам и времени. Однако, во второй паре в каждое уравнение входят обе неизвестные векторные функции и  При отсутствии зарядов и токов можно перейти к уравнениям второго порядка, каждое из которых зависит только от одного, электрического или магнитного поля:}

^{Поток энергии упругой волны через любую поверхность можно определить интегрированием скалярного произведения вектора Умова на векторный элемент площадки dS(вектор dS напрвален по нормали к площадке ds): Здесь Sn- нормальная к площадке ds составляющая вектора S. Наконец, среднее по времени значение потока энергии упругой волны через поверхность:}

^{12. Акустика – область физики, исследующая упругие колебания и волны от самых низких частот до предельно высоких (1012–1013 Гц). Современная акустика охватывает широкий круг вопросов, в ней выделяют ряд разделов: физическая акустика, которая изучает особенности распространения упругих волн в различных средах, физиологическая акустика, изучающая устройство звуковоспринимающих и звукооб-разующих органов у человека и животных, и др.}

^{Под акустикой понимают учение о звуке, т. е. об упругих колебаниях и волнах в газах, жидкостях и твердых телах, воспринимаемых человеческим ухом (частоты от 16 до 20 000 Гц).}

^{Слух является объектом слуховых ощущений, поэтому оценивается человеком субъективно. Воспринимая тоны, человек различает их по высоте.}

^{Высота – субъективная характеристика, обусловленная прежде всего частотой основного тона. В значительно меньшей степени высота зависит от сложности тона и его интенсивности: звук большей интенсивности воспринимается как звук более низкого тона.}

^{Тембр звука почти исключительно определяется спектральным составом. Разные акустические спектры соответствуют разному тембру, хотя основной тон и, следовательно, высота тона одинаковы.}

^{Громкость характеризует уровень слухового ощущения. Несмотря на субъективность, громкость может быть оценена количественно путем сравнения слухового ощущения от двух источников. В основе создания шкалы уровней громкости лежит психофизический закон Вебера-Фехнера. Согласно этому закону, если увеличивать раздражение в геометрической прогрессии (т. е. в одинаковое число раз), то ощущение этого раздражения возрастает в арифметической прогрессии (т. е. на одинаковую величину). Применительно к звуку это означает, что если интенсивность звука принимает ряд последовательных значений, например а10, а210, а310 (а – некоторый коэффициент, а > I) и так далее, то соответствующее им ощущение громкости звука равно Е0, 2Е0, 3Е0 и т. д. Математически это означает, что громкость звука пропорциональна логарифму интенсивности звука. Если действуют два звуковых раздражения с интенсивностями I и I0, причем I0 – порог слышимости, то на основании закона Вебера-Фехнера громкость относительно него связана с интенсивностями следующим образом: где k – некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от частоты и интенсивности. Метод измерения остроты звука называют аудио-метрией. При аудиометрии на специальном приборе (аудиометре) определяют порог слухового ощущения на разных частотах; полученная кривая называется ау-диограммой. Сравнение аудиограммы больного человека с нормальной кривой порога слухового о Кривые равной громкости (см. рис. А-6) показывают, какая требуется разница в уровне звукового давления, чтобы звуки всех частот воспринимались с такой же громкостью, как референсный синусоидальный сигнал с частотой 1 кГц. Числа, находящиеся над каждой кривой, представляют собой меру громкости, выраженную вфонах. На референсной частоте 1 кГц фоны равны децибелам. щущения помогает диагностировать заболевание органов слуха.}